Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
”Жить стало лучше... но противнее. Люди которые ставят точку после слова лучше становятся сторонниками Путина, наши же сторонники делают акцент на слове противнее ( ложь, воровство, лицемерие, вражда )." (с) Борис Немцов
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.
newbie
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
В задачах построения строят перпендикулярные прямые с помощью линейки и циркуля (две окружности с центрами на прямой и через точки пересечения окружностей), то есть без транспортира. То есть понятие угла в перпендикулярности не нужно.
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, pva, Вы писали:
pva>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.
Проекция понятие более простое по сравнению с углом?
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, pva, Вы писали:
pva>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? pva>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.
Одно НО — понятие проекции снова требует понятия прямого угла. Иначе как проецировать будешь?
Но вообще правильно, понятие угла это все равно мера длинны, поэтому без него запросто можно обойтись. Прямой угол можно определять используя теорему Пифагора, например, выбрав точку пересечения прямых, и еще по точке на каждой прямой получишь треугольник. Тогда потребовав выполнения равенства Пифагора получишь предикат прямого угла.
Есть и другие способы.
Re[3]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Прямой угол можно определять используя теорему Пифагора, например, выбрав точку пересечения прямых, и еще по точке на каждой прямой получишь треугольник. Тогда потребовав выполнения равенства Пифагора получишь предикат прямого угла.
Это по другому, но не проще.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Правильно ощущается. И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность. В том смысле, что если убрать из евклидовой геометрии углы и длины (абсолютные), останется содержательная часть -- аффинная геометрия. Наоборот же не получится.
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются
если они лежат в одной плоскости
O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
__>Правильно ощущается. И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Не говорите ерунды, и не вводите в заблуждение человека.
Вся Евклидова геометрия строится на метрике пространства, т.е. расстоянии. Тут нет необходимости вводить какие то углы. Сам угол — это тоже длинна, т.е. мера растояния.
Выше человек уже ответил, что достаточно циркуля и линейки для построений.
Здравствуйте, meadow_meal, Вы писали:
_>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Правильно ощущается. И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Не говорите ерунды, и не вводите в заблуждение человека. _>Вся Евклидова геометрия строится на метрике пространства, т.е. расстоянии. Тут нет необходимости вводить какие то углы. Сам угол — это тоже длинна, т.е. мера растояния.
_>Выше человек уже ответил, что достаточно циркуля и линейки для построений.
А здесь, уважаемые экскурсанты, вы можете наблюдать экспонат "эффект Даннинга-Крюгера".
Евклидова геометрия, -- это аффинное пространство (часть про точки и прямые) с положительно определённым скалярным произведением (часть про длины и углы). Причём одна без другой жизнеспособна: вторую часть можно выкинуть, и останется содержательная теория.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
_>>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Q>И это правильный ответ, тред закрыт.
Конечно нет. Спросили про нечто частное (перпендикулярность) -- ответили про нечто общее, включающее его как частный случай (скаларное произведение).
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
Не хочется переходить на личности, но не знаю, что ещё можно ответить на такое агрессивное невежество. Так вышло, что я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
Q>>Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
__>Не хочется переходить на личности, но не знаю, что ещё можно ответить на такое агрессивное невежество. Так вышло, что я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
Математика геометрией (тем более планиметрией) не исчерпывается. И понятие ортогональности в ней сквозное.
Я для примера взял лежащую под рукой pdf-книжку по математике, там много про многомерные векторные пространства. Строка «orthogonal» встречается там гораздо чаще, чем «parallel» (да и то последнее часто в контексте чего-нибудь типа «параллельно осям координат»). И это не удивительно и вполне закономерно.
__>...агрессивное невежество... Я профессионально занимаюсь наукой... Написана чушь.
Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Математика геометрией (тем более планиметрией) не исчерпывается.
Ясен пень.
Q>И понятие ортогональности в ней сквозное.
Ясен пень, нет.
Q>Я для примера взял лежащую под рукой pdf-книжку по математике, там много про многомерные векторные пространства. Строка «orthogonal» встречается там гораздо чаще, чем «parallel» (да и то последнее часто в контексте чего-нибудь типа «параллельно осям координат»). И это не удивительно и вполне закономерно.
Неоходимо ещё выполнение двух условий: адекватная книжка, понимание написанного. Открой любой букварь. Хоть "Линейную алгебру и геометрию" Кострикина и Манина, хоть "Геометрию" Берже (если хочется необычного).
Q>Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
Q>>Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
__>Не хочется переходить на личности, но не знаю, что ещё можно ответить на такое агрессивное невежество. Так вышло, что я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
Здравствуйте, night beast, Вы писали:
NB>базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
В некотором смысле. В том, в котором наиболее прозрачный способ построения евклидовой геометрии -- определить линейное пространство, на основе него аффинное, и ввести на нём структуру скалярного произведения. Это, конечно, можно всё делать аксиоматически, с тем же результатом, но очень неудобно.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
NB>>базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
__>В некотором смысле. В том, в котором наиболее прозрачный способ построения евклидовой геометрии -- определить линейное пространство, на основе него аффинное, и ввести на нём структуру скалярного произведения. Это, конечно, можно всё делать аксиоматически, с тем же результатом, но очень неудобно.
ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
Здравствуйте, night beast, Вы писали:
NB>ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
Ни разу, ввиду отсутствия соответствующего понятия. В свою очередь, поинтересуюсь, бывают ли базисы в линейный пространствах без скалярного произведения? С несколькими скалярными произведениями?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>>Спросили про нечто частное... ответили про нечто общее
Q>Почему нет?
Потому что вопрос, по сути, касался того, является ли перпендикулярность некоторой дополнительной структурой: "ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные". Является. Причём некоторые умудряются одновременно эту структуру предъявлять, и говорить, что это не дополнительная структура
Re[4]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>>Не говорите ерунды, и не вводите в заблуждение человека. _>>Вся Евклидова геометрия строится на метрике пространства, т.е. расстоянии. Тут нет необходимости вводить какие то углы. Сам угол — это тоже длинна, т.е. мера растояния.
_>>Выше человек уже ответил, что достаточно циркуля и линейки для построений.
__>А здесь, уважаемые экскурсанты, вы можете наблюдать экспонат "эффект Даннинга-Крюгера".
__>Евклидова геометрия, -- это аффинное пространство (часть про точки и прямые) с положительно определённым скалярным произведением (часть про длины и углы). Причём одна без другой жизнеспособна: вторую часть можно выкинуть, и останется содержательная теория.
А здесь, не менее уважаемый, вы пускаетесь в словоблудие.
Напомню Ваше оригинальное высказывание:
>И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Докажите пож-та это высказывание. Выше уже подметили, что скалярным произведением одинаково просто вычисляется и параллельность и перпендикулярность.
Так где тогда эта ваша более фундаментальная особенность параллельности?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
NB>>ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
__>Ни разу, ввиду отсутствия соответствующего понятия. В свою очередь, поинтересуюсь, бывают ли базисы в линейный пространствах без скалярного произведения? С несколькими скалярными произведениями?
возможно. но не улавливаю, какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
Q>>Я для примера взял лежащую под рукой pdf-книжку по математике, там много про многомерные векторные пространства. Строка «orthogonal» встречается там гораздо чаще, чем «parallel» (да и то последнее часто в контексте чего-нибудь типа «параллельно осям координат»). И это не удивительно и вполне закономерно. __>Неоходимо ещё выполнение двух условий: адекватная книжка
Не думаю, что от моего понимания (а оно безусловно неполное) зависит указанная статистика.
__>Открой любой букварь. Хоть "Линейную алгебру и геометрию" Кострикина и Манина
У Кострикина читал трёхтомник «Введение в алгебру». В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом.
__>хоть "Геометрию" Берже (если хочется необычного).
Это не читал, и вряд ли буду.
Q>>Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой? __>Математической физикой
И это очень странно, потому что в той математической физике, которая была у меня в вузе (а это фактически эвфемизм для функционального анализа и дифуров), понятие ортогональности (например, в гильбертовых пространствах) ну точно гораздо более фундаментальное, чем какая-то там параллельность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Потому что вопрос, по сути, касался того, является ли перпендикулярность некоторой дополнительной структурой
Скалярное произведение — да, это дополнительная структура на векторном пространстве.
Аффинное пространство — это, кстати, тоже дополнительная структура, включающая векторное пространство в своё определение. Более сложная структура, на мой взгляд.
Не, ну это не серьёзно. Книжка должна быть по математике.
Q>У Кострикина читал трёхтомник «Введение в алгебру».
Трёхтомник Кострикина неплох, но здесь определяющей фамилией является "Манин" (прототип профессора Вечеровского у Стругацких, кстати).
Q>В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом.
Я помогу: 2 том, 4 глава.
Q>>>Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой? __>>Математической физикой
Q>И это очень странно, потому что в той математической физике, которая была у меня в вузе (а это фактически эвфемизм для функционального анализа и дифуров), понятие ортогональности (например, в гильбертовых пространствах) ну точно гораздо более фундаментальное, чем какая-то там параллельность.
Это сильно устаревшее и узкое понимание математической физики. Сейчас математической физикой называют скорее всякие вопросы теории представлений, дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и т.п., имеющие некоторое отношение к формальным вопросам фундаментальных теорий с одной стороны, и некоторые слишком формальные вопросы теоретической физики, ну очень далёкие от эксперимента, как правило, связанные с физикой фундаментальных взаимодействий, с другой.
Здравствуйте, night beast, Вы писали:
NB>базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
Я бы сказал, что нет! Но не в практическом смысле (у нас как правило векторные пространства встречаются всё-таки с базисами), а в философском. Если некоторое утверждение можно выразить в инвариантной форме, без рассмотрения в конкретном базисе — то именно так и надо делать. То есть избегать координат как можно дольше. Тогда не надо будет отдельно доказывать, что от выбора базиса истинность не зависит. Например, то же касается и скалярного произведения — как можно дольше рассматривать его как абстрактную операцию с заданными свойствами, а не прибегать к чему-то типа суммы произведений координат. (И это ещё если поле скаляров — не комплексные числа, там ещё сопряжение надо не забывать, зачем эта возня?)
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Аффинное пространство — это, кстати, тоже дополнительная структура, включающая векторное пространство в своё определение.
Да, но речь явно шла изначально о нём. Евклидовым пространством называют как просто линейное пространство со правильным скалярным произведением, так и множество, на котором оно свободно транзитивно действует (линейное пространство без отмеченной точки). Последнее -- человеческий способ (без 20 аксиом, на правильную формулировку которых потребовались тысячелетия и гений Гильберта, что говорит о неудачности аксиоматического языка для описания евклидовой геометрии) говорить о "школьной" евклидовой геометрии, которой вопрос и касался.
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Даже если вы правы — никогда не прибегайте к вашим титулам, заслугам, званиям и должностям. Как будто в академических кругах нет глупцов.
Это да. Но проблема в том, что иначе фонтан агрессивного невежества заткнуть нельзя. См. анекдот про игру в шахматы с голубем Например, ты не способен воспринять глубокий аргумент. А про то, что есть какие-то акажемические круги знаешь.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>Правильно ощущается. И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Q>Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
Есть точки и прямые, проходящие через точки/составленные из точек. "Если не существует такой точки, принадлежащей сразу двум прямым, то эти прямые параллельны." Где тут ортогональность и как ты её сформулируешь?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Так вышло, что я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов?
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов?
Речь о линейном пространстве?
Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются. Пример: пространство всех функций на окружности (сопоставляем каждой точке z число f(z); (f + g)(z) := f(z) + g(z); (k f)(z) = k f(z)). При желании можно рассмотреть выделенную билинейную функцию (называемую скалярным произведением): это даст новые отношения между векторами. В частности, ортогональность.
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной.
Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.
А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов? __>Речь о линейном пространстве?
Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным.
__>Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются.
Почему не требуется ортогональность? Оно тут означает независимость компонент.
Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b)
__>Пример: пространство всех функций на окружности
Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. ))
ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
_>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Cкалярное произведение это уже более комплексное понятие , требуется введение такого понятия как вектор, операции над векторами.
”Жить стало лучше... но противнее. Люди которые ставят точку после слова лучше становятся сторонниками Путина, наши же сторонники делают акцент на слове противнее ( ложь, воровство, лицемерие, вражда )." (с) Борис Немцов
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной. Ш>Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.
Ш>А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.
Кстати, занятный факт: утверждение выше о том, что перпендикуляр короче наклонной, остаётся в силе в геометрии Лобачевского.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов? __>>Речь о линейном пространстве?
V>Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным.
Фраза бессмысленна. Потому что изоморфизм -- это биекция, уважающая данную структуру (группы, линейного пространства, кольца, ...) на множествах. Т.е. говорить об изоморфизме можно, если у нас множества с одинаковой структурой. В данном случае -- линейного пространства.
__>>Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются.
V>Почему не требуется ортогональность?
Потому что вообще не причём.
V>Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b)
Здесь f -- это не отображение между линейными пространствами, а элемент пространства. Вектор рассматриваемого линейного пространства -- функция. И выше я написал, что понимается под их сложением и умножением на число. Я специально привёл пример существенно бесконечномерного пространства, на котором разумного скалярное произведения вообще нет (вооружившись аксиомой выбора и построив базис Гамеля, конечно, можно ввести; но разве это жизнь?).
V>Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. ))
z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.
V>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Cкалярное произведение это уже более комплексное понятие , требуется введение такого понятия как вектор, операции над векторами.
Зато как все это красиво и учено выглядит. Не то что твое школьное "Параллельные прямые это прямые которые никогда не пересекаются"
Re[3]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Здравствуйте, pva, Вы писали:
pva>>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? pva>>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.
_>Одно НО — понятие проекции снова требует понятия прямого угла. Иначе как проецировать будешь?
_>Но вообще правильно, понятие угла это все равно мера длинны, поэтому без него запросто можно обойтись. Прямой угол можно определять используя теорему Пифагора, например, выбрав точку пересечения прямых, и еще по точке на каждой прямой получишь треугольник. Тогда потребовав выполнения равенства Пифагора получишь предикат прямого угла. _>Есть и другие способы.
Можно обойтись и без прямого угла если использовать понятие "кратчайшее расстояние" от точки одной прямой до точки другой. Т.е. проекция точки одной прямой есть точка на другой прямой, расстояние до которой наименьшее.
Программа – это мысли спрессованные в код
Re[3]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной. Ш>>Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.
Ш>>А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.
__>Кстати, занятный факт: утверждение выше о том, что перпендикуляр короче наклонной, остаётся в силе в геометрии Лобачевского.
Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии,
поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии, Ш>поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.
Кстати, если интересно, недавно была переведена на русский лаконичная (относительно) "Геометрии" Сосинского, которую, в принципе, можно прочитать целиком, в отличие от прекрасной, но неохватной книжки Берже. Если интересует аксиоматически-глобальный взгляд на элементарные геометрии, в противовес стандартному "структурно-локальному", то занятно полистать.
Re[3]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, pagid, Вы писали:
pva>>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно. P>Проекция понятие более простое по сравнению с углом?
Мой ответ был исключительно на вопрос ТС: "можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла"
На мой взгляд проекцию детям можно на пальцах объяснить через размер тени.
newbie
Re[3]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Одно НО — понятие проекции снова требует понятия прямого угла. Иначе как проецировать будешь? Такое положение прямой А по отношению к прямой Б при котором при освещении А бесконечно удаленным источником ее тень на Б будет стремиться к нулю.
Да, плохое объяснение. Для этого пришлось бы ввести условие ортогональной освещенности )))
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Перпендикулярные прямые — это такие пересекающиеся прямые, что любая окружность с центром на одной из прямых и радиусом равным расстоянию от центра до точки пересечения будет касаться другой прямой только в одной точке — в точке их пересечения.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным. __>Фраза бессмысленна. Потому что изоморфизм -- это биекция, уважающая данную структуру (группы, линейного пространства, кольца, ...) на множествах. Т.е. говорить об изоморфизме можно, если у нас множества с одинаковой структурой. В данном случае -- линейного пространства.
Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное?
V>>Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b) __>Здесь f -- это не отображение между линейными пространствами, а элемент пространства.
Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками.
Поясни, почему f — элемент пространства?
__>Вектор рассматриваемого линейного пространства -- функция. И выше я написал, что понимается под их сложением и умножением на число. Я специально привёл пример существенно бесконечномерного пространства, на котором разумного скалярное произведения вообще нет (вооружившись аксиомой выбора и построив базис Гамеля, конечно, можно ввести; но разве это жизнь?).
Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? ))
V>>Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. )) __>z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.
Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать?
Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. ))
Называется, лишь бы ля-ля.
V>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются. __>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное?
Что такое "нелинейное пространство" человечеству неизвестно. На всякий случай: "линейное" в словосочетании "линейное пространство" надо воспринимать не как прилагательное, а как часть "одного существительного из двух слов".
V>Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками. V>Поясни, почему f — элемент пространства?
Непонятно, причём здесь гармоники, и что вообще под этим словом имеется в виду (про линейные операции над гармониками даже спрашивать боюсь). Я уже пожалел, что про окружность заикнулся. Давай попроще. Рассмотрим множество полиномов одной переменной R[x]. Полиномы можно складывать, умножать на числа и раскрывать скобочки как положено. Таким образом, это множество является линейным пространством относительно этих операций. Очевидно, бесконечномерное. И тот, кто скажет, что полиномы -- это неестественно, пусть первый бросит в меня камень.
Потом можно подумать про это пространство как подпространство в пространстве вообще всех функций на прямой. Т.е. множество: множество всех функций. Операции сложения и умножения на число определены выше.
V>Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? ))
Почему вырожденные, а не случаи общего положения? Но это не важно, потому что определение линейного пространства слов размерность и базис не содержит, и потому годится и там и сям.
V>Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать?
Что предъявил до фига линейно независимых векторов. А потому, пространство, мягко говоря, не одномерно, как говорил ты.
V>Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. ))
По-моему, ты вообще не понимаешь, о чём идёт речь. И
V>Называется, лишь бы ля-ля.
V>>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются. __>>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.
V>Ответь прямо на прямой вопрос, плиз.
Я ответил, но ты не понял. Т.е. "проблемы на вашей стороне" Если тебя интересует, что такое размерность пространства, то это мощность базиса.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?
Здравствуйте, pva, Вы писали:
pva>Мой ответ был исключительно на вопрос ТС: "можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла"
Так проекция должна быть ортогональной, а она через перпендикулярность определяется. Можно её через расстояния определить, но тогда можно и без проекции через расстояния перпендикуляр определить, но все равно не проще, чем через углы получится.
pva>На мой взгляд проекцию детям можно на пальцах объяснить через размер тени.
И перпендикуляр детям можно через размер тени объяснять, но зачем этим заниматься не объяснив предварительно что такое угол
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Ключевое слово: "кратчайшее расстояние".
Re[5]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии, Ш>>поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.
__>Кстати, если интересно, недавно была переведена на русский лаконичная (относительно) "Геометрии" Сосинского, которую, в принципе, можно прочитать целиком, в отличие от прекрасной, но неохватной книжки Берже. Если интересует аксиоматически-глобальный взгляд на элементарные геометрии, в противовес стандартному "структурно-локальному", то занятно полистать.
Дожили. Книги Сосинского переводят НА русский.
Я не усмотрел ничего неохватного в Берже. Она просто скучновата.
А что касается глобального взгляда на классические геометрии, то как известно со времен Клейна, это и есть самый правильный подход.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Я не усмотрел ничего неохватного в Берже. Она просто скучновата.
Да, это и имелось в виду, при её объёме. Не "Elements de geometrie algebrique" же )
Ш>А что касается глобального взгляда на классические геометрии, то как известно со времен Клейна, это и есть самый правильный подход.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное? __>Что такое "нелинейное пространство" человечеству неизвестно.
Это которые не попадают под определение "линейное пространство".
__>На всякий случай: "линейное" в словосочетании "линейное пространство" надо воспринимать не как прилагательное, а как часть "одного существительного из двух слов".
Ес-но, это же термин.
Линейное пространство — это векторное пространство.
Но пространства могут быть какие угодно.
Например, метрика (мера) пространства изменяется, допустим, по одному из базисов.
V>>Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками. V>>Поясни, почему f — элемент пространства? __>Непонятно, причём здесь гармоники, и что вообще под этим словом имеется в виду (про линейные операции над гармониками даже спрашивать боюсь). Я уже пожалел, что про окружность заикнулся. Давай попроще.
Не давай, я просил ответа на мой уточняющий вопрос (выделил).
Можно пропустить обсуждение "что такое гармоника" и "что такое линейные операции над гармониками".
Скорее всего, ты всё это знаешь.
Поэтому, интересен ответ на вопрос.
V>>Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? )) __>Почему вырожденные, а не случаи общего положения? Но это не важно, потому что определение линейного пространства слов размерность и базис не содержит, и потому годится и там и сям.
Ну я спрашивал про пространства, обладающие некими размерностями, т.е. конечным их числом.
Есл бы спрашивал про бесконечномерные пространства, я бы так и спросил.
V>>Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать? __>Что предъявил до фига линейно независимых векторов.
Отож.
А при чём тут точка на окружности — я ХЗ, если можно было сразу дать список векторов и объявить их линейно-независимыми.
__>А потому, пространство, мягко говоря, не одномерно, как говорил ты.
Не надо бегать, само мн-во векторов — это просто множество, см. выделенное в моём процитированном.
Выглядит так, что тебе захотелось завернуть что-то эдакое, но на выходе банальности.
V>>Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. )) __>По-моему, ты вообще не понимаешь, о чём идёт речь.
Пока что ты виляешь, это мягко говоря.
V>>>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются. __>>>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное. V>>Ответь прямо на прямой вопрос, плиз. __>Я ответил, но ты не понял.
"Что такое" и "как задаются" — разные вещи.
Например, в теории мн-в "что такое мн-во" и "способы задания мн-в" — это, таки, немного разные вещи.
__>Т.е. "проблемы на вашей стороне"
Для пытающихся убежать от сути? — ес-но. ))
__>Если тебя интересует, что такое размерность пространства, то это мощность базиса.
Не прошло и пол-года.
А мог бы сразу по-делу говорить.
Сделаешь над собой усилие, ответишь на прямой вопрос прямо или что-то эдакое мешает, после всего сказанного?
Re[5]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Я бы объяснил перпендикулярность примерно так: "геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть срединный ПЕРПЕНДИКУЛЯР к отрезку, соединяющему эти точки".
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Не, ну это не серьёзно. Книжка должна быть по математике.
Это и есть книжка по математике. Или ты решил разыграть карту ненастоящего шотландца?
Q>>В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом. __>Я помогу: 2 том, 4 глава.
Не очень понял, к чему это ты. Глава 4 «Аффинные и евклидовы точечные пространства». Да, там найдётся слово параллельный, было бы странно, если бы оно нигде не встретилось в главе про аффинные пространства. Но уже во втором параграфе этой главы автор переходит к евклидовым пространствам, вводит понятие прямоугольной системы координат и ортонормированного базиса (через скалярное произведение, естественно) и перпендикуляра к многомерной плоскости (чтобы задать кратчайшее расстояние от точки).
__>Это сильно устаревшее и узкое понимание математической физики. Сейчас математической физикой называют скорее всякие вопросы теории представлений, дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и т.п., имеющие некоторое отношение к формальным вопросам фундаментальных теорий с одной стороны, и некоторые слишком формальные вопросы теоретической физики, ну очень далёкие от эксперимента, как правило, связанные с физикой фундаментальных взаимодействий, с другой.
Так что уже, всё, гильбертовых пространств, ортонормированных базисов и ортогональных разложений там нет? Нормали к поверхностям хотя бы есть в твоей математической физике?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Это да. Но проблема в том, что иначе фонтан агрессивного невежества заткнуть нельзя. См. анекдот про игру в шахматы с голубем :) Например, ты не способен воспринять глубокий аргумент. А про то, что есть какие-то акажемические круги знаешь.
Твои «академические круги» никого не впечатляют; монополии на знание математики у тебя нет, смирись.
К слову про «фонтан агрессивного невежества», напомни, из какого ты университета?
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>>>Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное? __>>Что такое "нелинейное пространство" человечеству неизвестно.
V>Это которые не попадают под определение "линейное пространство".
Т.е. непонятно чего. Ясно-понятно.
__>>На всякий случай: "линейное" в словосочетании "линейное пространство" надо воспринимать не как прилагательное, а как часть "одного существительного из двух слов".
V>Ес-но, это же термин. V>Линейное пространство — это векторное пространство.
V>Но пространства могут быть какие угодно. V>Например, метрика (мера) пространства изменяется, допустим, по одному из базисов.
"Срезал" Шукшина вспоминается. Бывает много чего. И чего? Ты, кажется, наделяешь слово "пространство" каким-то самостоятельным смыслом. Будто имеет смысл говорить просто о пространствах. Это не так.
V>>>Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками. V>>>Поясни, почему f — элемент пространства? __>>Непонятно, причём здесь гармоники, и что вообще под этим словом имеется в виду (про линейные операции над гармониками даже спрашивать боюсь). Я уже пожалел, что про окружность заикнулся. Давай попроще.
V>Не давай, я просил ответа на мой уточняющий вопрос (выделил). V>Можно пропустить обсуждение "что такое гармоника" и "что такое линейные операции над гармониками". V>Скорее всего, ты всё это знаешь. V>Поэтому, интересен ответ на вопрос.
По определению. Я специально привёл максимально простой пример пространства многочленов.
V>>>Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? )) __>>Почему вырожденные, а не случаи общего положения? Но это не важно, потому что определение линейного пространства слов размерность и базис не содержит, и потому годится и там и сям.
V>Ну я спрашивал про пространства, обладающие некими размерностями, т.е. конечным их числом. V>Есл бы спрашивал про бесконечномерные пространства, я бы так и спросил.
Ещё раз. Размерность -- это мощность базиса. Базис есть в любом пространстве. Бесконечная размерность -- тоже размерность. Но и это не важно. Можешь конечномерными ограничиться, раз тебе тяжко. В контексте разговора это не важно.
V>>>Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать? __>>Что предъявил до фига линейно независимых векторов.
V>Отож. V>А при чём тут точка на окружности — я ХЗ, если можно было сразу дать список векторов и объявить их линейно-независимыми.
При том, что я привёл каноничный пример линейного пространства -- функций на множестве.
__>>А потому, пространство, мягко говоря, не одномерно, как говорил ты.
V>Не надо бегать, само мн-во векторов — это просто множество, см. выделенное в моём процитированном. V>Выглядит так, что тебе захотелось завернуть что-то эдакое, но на выходе банальности.
Практически любой математический объект -- множество (с некоторой дополнительной структурой). Спасибо Бурбакам за наше счастливое детство. Так что утверждение о том, что линейное пространство -- это множество -- тавтологично.
V>>>Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. )) __>>По-моему, ты вообще не понимаешь, о чём идёт речь.
V>Пока что ты виляешь, это мягко говоря.
Пока что ты тупишь. Мягко говоря.
V>>>>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются. __>>>>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное. V>>>Ответь прямо на прямой вопрос, плиз. __>>Я ответил, но ты не понял.
V>"Что такое" и "как задаются" — разные вещи. V>Например, в теории мн-в "что такое мн-во" и "способы задания мн-в" — это, таки, немного разные вещи.
Опять Шукшином повеяло. Определением задаются. Я несколько примеров выше привёл.
__>>Т.е. "проблемы на вашей стороне"
V>Для пытающихся убежать от сути? — ес-но. ))
Ты находишься на стадии "неосознанного незнания": тупишь настолько, что не понимаешь, насколько тупишь
__>>Если тебя интересует, что такое размерность пространства, то это мощность базиса.
V>Не прошло и пол-года. V>А мог бы сразу по-делу говорить.
V>Сделаешь над собой усилие, ответишь на прямой вопрос прямо или что-то эдакое мешает, после всего сказанного?
Ты спросил, что такое линейное пространство. Я ответил пару раз. Сделай усилие над собой и хоть википедию открой.
Если вдруг тебе кажется, что слово "задаются" имеет некий сакральный смысл, то это не так. Как и первоначальное утверждение, что якобы линейные пространства задаются через множество ортогональных векторов (что бы это ни значило). Вот пример четырёх изоморфных n-мерных линейных пространств: пространство решений дифференциального уравнения f = f^(n) (n-я производная), пространство многочленов степени не выше n-1, пространство столбцов высоты n, пространство функций на множестве из n элементов. Они замечательно "заданы". Разумеется, без всякой ортогональности.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>>Не, ну это не серьёзно. Книжка должна быть по математике.
Q>Это и есть книжка по математике. Или ты решил разыграть карту ненастоящего шотландца?
Типа того. ПТУшные методички тоже, формально, могут быть книгами по математике.
Q>>>В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом. __>>Я помогу: 2 том, 4 глава.
Q>Не очень понял, к чему это ты. Глава 4 «Аффинные и евклидовы точечные пространства». Да, там найдётся слово параллельный, было бы странно, если бы оно нигде не встретилось в главе про аффинные пространства. Но уже во втором параграфе этой главы автор переходит к евклидовым пространствам, вводит понятие прямоугольной системы координат и ортонормированного базиса (через скалярное произведение, естественно) и перпендикуляра к многомерной плоскости (чтобы задать кратчайшее расстояние от точки).
Ну вот. Об этом же речь была с самого начала. Сначала наводим линейную структуру, которая ничего не знает про углы и расстояния. А потом можем и их навесить. А можем и не навешивать и так жить. С параллельностью, но без перпендикулярности. Моя изначальная мысль была ровно в этом.
Q>Так что уже, всё, гильбертовых пространств, ортонормированных базисов и ортогональных разложений там нет? Нормали к поверхностям хотя бы есть в твоей математической физике?
Ортогональность и всё такое -- это свойства дополнительной структуры -- внутреннего произведения. Повторю ещё раз изначальную мысль: если её выкинуть, содержание останется. Линейную структуру выкинуть не получится.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Где тут ортогональность...
Во-первых, в вопросе топик-стартера, во-вторых — везде.
Vi2>...и как ты её сформулируешь?
Через равенство нулю скалярного произведения. Прям как в главе 4 части II «Линейная алгебра» книги «Введение в алгебру» Кострикина, которую _vanger_ приводил выше как опровержение того, что... В общем, я не понял точно, что он этим примером опровергал, но определение перпендикуляра можно взять прям из приведённой им главы.
__>Практически любой математический объект -- множество (с некоторой дополнительной структурой). Спасибо Бурбакам за наше счастливое детство. Так что утверждение о том, что линейное пространство -- это множество -- тавтологично.
Почему не то так важно, чтобы все было множеством? Единая аксиоматика?
Здравствуйте, Sharov, Вы писали:
S>Почему не то так важно, чтобы все было множеством? Единая аксиоматика?
Почему важно, в смысле? В общем, да, общий базис -- это очень удобно. На практике теоретико-множественный взгляд приносит пользу тем, что это единый язык. Буквально, без него говорить о математике было бы гораздо тяжелей.
В последние десятиления в связи с развитием алгебраической топологии и проникновении её идей в другие разделы всё более популярным становится, язык теории категорий. Это, в некотором смысле, дуальный теории множеств взгляд: мы стартуем не с структур самих по себе, заданных элементами, так, что отображения между ними, уважающие эти структуры, -- производное понятие, а говорим о коллективном поведении объектов, в их внутренний мир не лазя.
pic related
Кстати, некоторый оффтопик, но занятное наблюдение. В некотором смысле, в математике бывают равенства разного уровня абстракций. Условно, нулевой -- одинаковость элементов объектов, самый частый случай. Пример -- формула Ньютона-Лейбница, утверждающая, что две чиселки -- предел интегральных сумм и разность значений первообразных -- равны. Первый -- одинаковость объектов. Пример -- изоморфность тех же линейных пространств одинаковой размерности. Но можно пойти и дальше, и говорить об одинаковости коллективного поведения объектов -- эквивалентности категорий. Пример -- теорема Серра-Суона про векторные расслоения и модули.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Ну вот. Об этом же речь была с самого начала. Сначала наводим линейную структуру, которая ничего не знает про углы и расстояния. А потом можем и их навесить. А можем и не навешивать и так жить.
Так жить можно, но плохо и бедно. Самая мякотка начинается, если ввести скалярное произведение, норму и/или метрику. Вся твоя математическая физика работает в пространствах, где эта структура предполагается навешенной.
__>Ортогональность и всё такое -- это свойства дополнительной структуры -- внутреннего произведения. Повторю ещё раз изначальную мысль: если её выкинуть, содержание останется. Линейную структуру выкинуть не получится.
Да, но чтобы рассуждать о параллельности, и одной только «линейной структуры» мало. Мы или рассматриваем структуру аффинного пространства над векторным пространством, или вообще абстрактные отношения принадлежности точек прямым и прочие из аксиоматики Гильберта. (Впрочем, это уже обсуждали в соседней ветке.)
Глаза у меня добрые, но рубашка — смирительная!
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Так жить можно, но плохо и бедно. Самая мякотка начинается, если ввести скалярное произведение, норму и/или метрику.
Конечно. Как будто с этим кто-то спорит.
Q>Вся твоя математическая физика работает в пространствах, где эта структура предполагается навешенной.
Про устаревшесть и узость явления, что "математической физикой", бывает, называют курс уравнений в частных производных, я уже говорил.
__>>Ортогональность и всё такое -- это свойства дополнительной структуры -- внутреннего произведения. Повторю ещё раз изначальную мысль: если её выкинуть, содержание останется. Линейную структуру выкинуть не получится.
Q>Да, но чтобы рассуждать о параллельности, и одной только «линейной структуры» мало. Мы или рассматриваем структуру аффинного пространства над векторным пространством, или вообще абстрактные отношения принадлежности точек прямым и прочие из аксиоматики Гильберта. (Впрочем, это уже обсуждали в соседней ветке.)
Об этом я так же писал. Вроде, удалось-таки замкнуть этот разболтавшийся контур реальности )
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Про устаревшесть и узость явления, что "математической физикой", бывает, называют курс уравнений в частных производных, я уже говорил.
Эта «узость» всё ещё довольно широка. (К слову, про устаревшесть: не понимаю твоего упорства в назывании векторных пространств линейными. Линейными их называли в советских учебниках по линейной алгебре в середине прошлого века. В современной литературе, что на западе, что в России, от этой традиции отказались. Но это оффтопик, мне в сущности всё равно, называй как хочешь. Но людей в треде запутывает.)
__>>>Ортогональность и всё такое -- это свойства дополнительной структуры -- внутреннего произведения. Повторю ещё раз изначальную мысль: если её выкинуть, содержание останется. Линейную структуру выкинуть не получится.
Повторю и я. Чтобы ввести понятие ортогональности, достаточно, оставаясь в структуре векторного пространства, ввести операцию скалярного произведения. Чтобы ввести понятие параллельности, векторного пространства недостаточно. Нужно перейти к совсем другой структуре — аффинному пространству.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>>Даже если вы правы — никогда не прибегайте к вашим титулам, заслугам, званиям и должностям. Как будто в академических кругах нет глупцов.
__>Это да. Но проблема в том, что иначе фонтан агрессивного невежества заткнуть нельзя.
Да даже и так нельзя. Потому что агрессивные невежды тут же спросят — слушайте, а в каком это вузе вы преподаёте? Если не в МГУ, то это скорее минус, чем плюс. Тут у нас уже один прохвессор есть, ну, будет два.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>"Срезал" Шукшина вспоминается. Бывает много чего. И чего? Ты, кажется, наделяешь слово "пространство" каким-то самостоятельным смыслом. Будто имеет смысл говорить просто о пространствах. Это не так.
Конкретно в этой ветке обсуждения топике имело смысл говорить о таких, к которым применимы "параллельность" и "ортогональность".
Сам этот спор глупее некуда, ес-но, но ты сам подставился своеобразным заходом в этот спор.
__>Бесконечная размерность -- тоже размерность. Но и это не важно. Можешь конечномерными ограничимся, раз тебе тяжко. В контексте разговора это не важною.
Контекст разговора ты потерял сходу.
Бесконечномерность, действительно, была не при чём, это упомянул ты, я лишь попытался удержать тебя от виляния в разные стороны.
А тяжко тут разве что от наблюдения раненного ЧСВ одновременно с недогадливостью. ))
Из определения линейного пространства:
Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью.
Тебе не понравилось, что я этот случай назвал вырожденным и ты решил пройтись по собеседнику еще и по этой причине?
Давно я такого упоротого ЧСВ не наблюдал, однако. ))
Про гармоники — это уже я тебе "подыгрывал", коль речь зашла о бесконечномерных пространствах и ты не в состоянии самостоятельно слезть с этой темы.
Ты ж так хотел в эту сторону? — дык, давай, смелее.
По этой теме мне по работе приходится периодически освежать, так шта, велкам.
============================
В принципе, сам ход обсуждения с тобой не удивителен, коль ты в этот топик зашёл не с аргументами по-делу, а с г-ном навроде:
я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
У меня достаточно знакомых, профессионально занимающихся наукой.
При этом самостоятельно находят и окучивают "темы" единицы из них, а 90% представляют из себя эдаких чернорабочих — тут посчитай, здесь проверь, там модель погоняй и т.д. и т.п.
Ничем не отличается от подобного разделения в инженерии, ес-но.
Поэтому, любой, заявляющий что-то типа "я профессионально занимаюсь наукой", с вероятностью 90% является тем самым чернорабочим, пока не покажет в аргументации обратное.
Ты пока обратного не показал.
(и преподают обычно вышку ровно того курса, который прошли здесь практически все, поэтому, можно прямо в рамках того курса общаться)
V>>А при чём тут точка на окружности — я ХЗ, если можно было сразу дать список векторов и объявить их линейно-независимыми. __>При том, что я привёл каноничный пример линейного пространства -- функций на множестве.
Ты можешь приводить что угодно, но требуется следовать логике спора.
Твои аргументы должны не терять контекст спора, одновременно с этим должны либо подтверждать аргументы оппонентов, либо опровергать, либо уточнять, а не показывать, что конкретно ты "еще что-то знаешь" (С).
В этом споре речь была о параллельности и ортогональности.
Покажи мне в своём "каноническом базисе" то и другое.
Или только параллельность, коль на твой взгляд это более фундаментальное.
V>>Не надо бегать, само мн-во векторов — это просто множество, см. выделенное в моём процитированном. V>>Выглядит так, что тебе захотелось завернуть что-то эдакое, но на выходе банальности. __>Практически любой математический объект -- множество (с некоторой дополнительной структурой).
Или несколько мн-в.
Ты же так любишь "обобщения" (С), сейчас решил пренебречь?
__>Так что утверждение о том, что линейное пространство -- это множество -- тавтологично.
Ты несёшь уже полнейшую чушь. ))
Мн-во элементов означает наличие некоего, назовём так, "признака однородности", по которому элементы собраны в множество.
Поэтому, никакой тавтологии, а прямое указание на существование такого признака.
V>>Пока что ты виляешь, это мягко говоря. __>Пока что ты тупишь. Мягко говоря.
Все ходы записаны. ))
V>>"Что такое" и "как задаются" — разные вещи. V>>Например, в теории мн-в "что такое мн-во" и "способы задания мн-в" — это, таки, немного разные вещи. __>Опять Шукшином повеяло.
Не, просто один из способов задания мн-в — простое перечисление.
Это был намёк на свершённую тобой глупость — привести насосанный из пальца "канонический пример" ф-ий зачем-то поверх точек на поверхности шара, когда достаточно было простого "есть некий базис".
Ты, наверно, чем-то таким занимался, выполняя свою чернорабочую работу — поверх шара чего-то там считал по указке сверху, и на автомате влепил, куда не следовало.
Здравствуйте, McSimoff, Вы писали:
MS>Я бы объяснил перпендикулярность примерно так: "геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть срединный ПЕРПЕНДИКУЛЯР к отрезку, соединяющему эти точки".
ГМТ здесь излишне, так как таких гмт очень много и нужно еще доказать, что они все входят в одну прямую. Достаточно будет двух равноудаленных точек через которые проведена прямая.
Программа – это мысли спрессованные в код
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
Отложи на сторонах пересекающихся прямых произвольные не равные 0 отрезки a и b от точки пересечения. Если концы отстоят на a^2 + b^2, то прямые перпендикулярны
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Эта «узость» всё ещё довольно широка.
Да что угодно довольно широко, при достаточно близком рассмотрении.
Q>(К слову, про устаревшесть: не понимаю твоего упорства в назывании векторных пространств линейными. Линейными их называли в советских учебниках по линейной алгебре в середине прошлого века. В современной литературе, что на западе, что в России, от этой традиции отказались. Но это оффтопик, мне в сущности всё равно, называй как хочешь. Но людей в треде запутывает.)
Никакого упорства нет. Это взаимозаменяемые синонимы, используемые в современном и русском и английском. Особенно в упомянутом функциональном анализе. Но, вообще, да. Я как-то не обращал внимания, что большинство людей предпочитает "векторное пространство".
Q>Повторю и я. Чтобы ввести понятие ортогональности, достаточно, оставаясь в структуре векторного пространства, ввести операцию скалярного произведения. Чтобы ввести понятие параллельности, векторного пространства недостаточно. Нужно перейти к совсем другой структуре — аффинному пространству.
Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь. О чём также ранее писалось. Действительно, от векторного пространства к "настоящему" евклидову два шага: аффинизация и введение скалярного произведения, которые можно делать в любом порядке. Вопрос, что какой из этих шагов больше приближает к цели, конечно, дурацкий и, в некотором смысле, вкусовщина. Но мой голос -- за то, что первый. Мне кажется, возможность рассматривать прямые, проходящие не только через одну точку, больше приближает к "школьной" евклидовой геометрии, чем возможность говорить о перпендикулярах, но только проходящих через одну точку. В такой геометрии даже треугольников нет. А многие вопросы евклидовой геометрии (типа теоремы Чевы) -- это буквально вопросы аффинной геометрии.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь.
Так это же прекрасно, скалярное произведение (и вытекающее понятие перпендикулярности) уже есть, а аффинного евклидова пространства ещё нет, оно просто не требуется для перпендикулярности. Это нечто более общее, чем школьная геометрия.
__>Мне кажется, возможность рассматривать прямые, проходящие не только через одну точку, больше приближает к "школьной" евклидовой геометрии, чем возможность говорить о перпендикулярах, но только проходящих через одну точку.
Так в том-то и дело, что само понятие – notion — ортогональности осмыслено и полезно даже на векторах (в смысле, элементах векторного пространства, не геометрических «школьных» векторах), не требуя точек и линий. И это уже позволяет формулировать содержательные утверждения и развивать на этой базе нетривиальные построения. Именно поэтому понятие ортогональности проникает почти во все разделы математики, оно универсально.
Именно это я имел в виду, когда написал исходный провокационный комментарий про «фундаментальность перпендикулярности», на который ты триггернулся выпадами про «агрессивное невежество».
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
__>>"Срезал" Шукшина вспоминается. Бывает много чего. И чего? Ты, кажется, наделяешь слово "пространство" каким-то самостоятельным смыслом. Будто имеет смысл говорить просто о пространствах. Это не так.
V>Конкретно в этой ветке обсуждения топике имело смысл говорить о таких, к которым применимы "параллельность" и "ортогональность".
Т.е. аффинные и евклидовы. А никакие не "нелинейные" и просто "пространства".
V>Сам этот спор глупее некуда, ес-но, но ты сам подставился своеобразным заходом в этот спор.
Я подставился тем, что "играю в шахматы с голубем". Но тред читают и более квалифицированные люди.
V>Контекст разговора ты потерял сходу. V>Бесконечномерность, действительно, была не при чём, это упомянул ты, я лишь попытался удержать тебя от виляния в разные стороны.
Нет. Ты как всегда нёc чушь не по делу, не понимая написанного.
V>Из определения линейного пространства: V>
V>Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Это не определение линейного пространства. Ей-богу, открой хоть Википедию.
V>следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью.
Это опять чушь. Но на этот раз, хотя бы, утверждение, которое можно распарсить и понять, что оно неверно. К примеру, размерность двойственного пространства к бесконечномерному строго больше. Это легко видеть, например на таком примере. Рассмотрим пространство финитных последовательностей. Любая линейная функция на нём задаётся последовательностью (уже не финитной). У них уже мощности не совпадают. Легче всего это видеть над конечным полем, например, из двух элементов. Первое счётно, второе -- континуум.
V>Давно я такого упоротого ЧСВ не наблюдал, однако. ))
+.
V>============================ V>В принципе, сам ход обсуждения с тобой не удивителен, коль ты в этот топик зашёл не с аргументами по-делу, а с г-ном навроде: V>
V>я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
Если бы это была устная дискуссия, то можно было бы рассчитывать на то, что то, что говорилось ранее, забылось. На что ты рассытываешь, так тупо набрасывая -- ХЗ.
V>У меня достаточно знакомых, профессионально занимающихся наукой. V>При этом самостоятельно находят и окучивают "темы" единицы из них, а 90% представляют из себя эдаких чернорабочих — тут посчитай, здесь проверь, там модель погоняй и т.д. и т.п. V>Ничем не отличается от подобного разделения в инженерии, ес-но.
Да, это так.
V>Поэтому, любой, заявляющий что-то типа "я профессионально занимаюсь наукой", с вероятностью 90% является тем самым чернорабочим, пока не покажет в аргументации обратное. V>Ты пока обратного не показал.
И не собирался. И формат не тот, и парадокс Блаба.
V>(и преподают обычно вышку ровно того курса, который прошли здесь практически все, поэтому, можно прямо в рамках того курса общаться)
Да, именно по этой причине в эту тему я и влез, не касаясь всяких флеймогонных EmDrive'ов и трёхметровой палкой.
V>>>А при чём тут точка на окружности — я ХЗ, если можно было сразу дать список векторов и объявить их линейно-независимыми. __>>При том, что я привёл каноничный пример линейного пространства -- функций на множестве.
V>Ты можешь приводить что угодно, но требуется следовать логике спора. V>Твои аргументы должны не терять контекст спора, одновременно с этим должны либо подтверждать аргументы оппонентов, либо опровергать, либо уточнять, а не показывать, что конкретно ты "еще что-то знаешь" (С).
V>В этом споре речь была о параллельности и ортогональности.
Конкретно в этом была речь о том, что ты не знаешь, что такое линейное пространство.
V>Покажи мне в своём "каноническом базисе" то и другое. V>Или только параллельность, коль на твой взгляд это более фундаментальное.
А про связь линейного пространства с аффинным было в другой ветке.
V>>>Не надо бегать, само мн-во векторов — это просто множество, см. выделенное в моём процитированном. V>>>Выглядит так, что тебе захотелось завернуть что-то эдакое, но на выходе банальности. __>>Практически любой математический объект -- множество (с некоторой дополнительной структурой).
V>Или несколько мн-в. V>Ты же так любишь "обобщения" (С), сейчас решил пренебречь?
Нет, ибо несколько множеств объединяются в одно, раз уж ты в очередной раз попытался прицепиться к словам.
__>>Так что утверждение о том, что линейное пространство -- это множество -- тавтологично.
V>Ты несёшь уже полнейшую чушь. )) V>Мн-во элементов означает наличие некоего, назовём так, "признака однородности", по которому элементы собраны в множество. V>Поэтому, никакой тавтологии, а прямое указание на существование такого признака.
Ты Википедию-то открой.
__>>Пока что ты тупишь. Мягко говоря. V>Все ходы записаны. ))
Вот именно.
V>Это был намёк на свершённую тобой глупость — привести насосанный из пальца "канонический пример" ф-ий зачем-то поверх точек на поверхности шара, когда достаточно было простого "есть некий базис".
V>Ты, наверно, чем-то таким занимался, выполняя свою чернорабочую работу — поверх шара чего-то там считал по указке сверху, и на автомате влепил, куда не следовало.
По себе людей не судят. Топологические пространства и многообразия -- это базовый объект, на котором разворачивается движ в подавляющем количестве математики и физики. Соответственно, и кольца функций на них -- это то, что мозолит глаза большинству математиков и физиков. Но так как ты с этим не знаком, и ковыряешь свой узкий пятачок, то этого не понимаешь. Парадокс Блаба, фигли.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>>Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь.
Q>Так это же прекрасно, скалярное произведение (и вытекающее понятие перпендикулярности) уже есть, а аффинного евклидова пространства ещё нет, оно просто не требуется для перпендикулярности. Это нечто более общее, чем школьная геометрия.
Или менее -- треугольников-то нет. Или почти такая же, но с отмеченной точкой, если рассматривать прямые, не являющиеся подпространствами.
Q>Так в том-то и дело, что само понятие – notion — ортогональности осмыслено и полезно даже на векторах (в смысле, элементах векторного пространства, не геометрических «школьных» векторах), не требуя точек и линий. И это уже позволяет формулировать содержательные утверждения и развивать на этой базе нетривиальные построения. Именно поэтому понятие ортогональности проникает почти во все разделы математики, оно универсально.
Меня за это агитировать не надо Под этими словами я подписываюсь. А аффинная геометрия -- тривиальная ерунда, специально учить которую особой необходимости нет. Но речь шла о ней, а не о советах школьнику, что почитать перед первым курсом.
Q>Именно это я имел в виду, когда написал исходный провокационный комментарий про «фундаментальность перпендикулярности», на который ты триггернулся выпадами про «агрессивное невежество».
Ну, мы вроде, поняли друг друга. Я триггернулся от рассказов "как оно на самом деле в математике бывает" после безапелляционных утверждений. Ещё раз повторю, что мои слова про "фундаментальность параллельности" касались того, что углы и длины из евклидовой геометрии можно убрать, и оcтанется значительная её часть со всякими теоремами Менелая, тогда как линейную структуру убрать нельзя. В этом смысле она (вместе с параллельностью) "более базисная" часть евклидовой геометрии, чем углы (вместе с перпендикулярностью). А не частотности слов в математических текстах в целом.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>А аффинная геометрия -- тривиальная ерунда, специально учить которую особой необходимости нет.
Программистам, кстати, полезно понимание аффинных пространств. Вот в каких сценариях.
1) Время. В некоторых слаботипизированных API моменты времени задаются секундами (с начала эпохи), в float. И интервалы времени задаются секундами, тоже float. И у неопытных программистов начинается чехарда с манипуляциями этими float'ами, с кучей ошибок и неразберихи. Потому что нет понимания, что это разные float'ы, которые в правильном API были бы разными типами. Можно из float-момента вычесть float-момент. Но при этом получается не float-момент, а float-длительность. А если к float-моменту прибавить float-момент, то получается float-ерунда. Как так-то, вычитать можно, а прибавлять нельзя? А прибавлять, кстати, тоже можно; только не float-момент, а float-длительность. И в результате получится float-момент. И так далее, идея понятна. Это пример аффинного пространства, «точки» тут — моменты времени, «векторы» тут — интервалы времени. Точки с точками складывать нельзя, но вычитать друг из друга можно, и так далее по чеклисту из определения аффинного пространства.
2) Собственно, пространство. Есть в API тип Point с компонентами x, y. И ровно точно так же устроенный тип Vector с такими же компонентами x, y. Зачем нам два одинаковых типа, непонятно; давайте везде для позиций пихать тип Vector, и для скоростей тоже, а Point не нужен, зачем только его добавили. Ещё и сложение Point'ов глупые авторы библиотеки забыли добавить, только вычитание почему-то оставили, как так-то?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Программистам, кстати, полезно понимание аффинных пространств. Вот в каких сценариях.
Хорошие примеры. Собственно, я не имел в виду, что незнание (аффинных пространств) -- сила. Но при нормальном понимании векторных, все факты о них воспринимаются: "А разговоров то было... Развели буквоедство на ровном месте". Поэтому ту же 4 главу 2 тома Кострикина читают меньше всего (я, например, не читал ).
Разобрались Капец, конечно, -- в реале пяти минут за глаза бы хватило.
А мне, например, относительно недавно, в хобби-проекте, потребовалось как-нибудь усреднять с разными весами значения наборов численных величин, когда каждому набору можно естественно сопоставить точку в векторном пространстве. Ну и барицентрические координаты затащили (подобно тому, как пиксели на текстурированном треугольнике закрашиваются). Не лучший пример, но зато про стандартную для аффинной геометрии конструкцию.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Гильберта почитай. Основания геометрии.
Q>Про его аксиоматику я знаю; но читал в пересказе, самого Гильберта читать не буду, извини.
Ну извини, если ты хочешь научиться понимать предмет, то без Гильберта -- никак.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Ну извини, если ты хочешь научиться понимать предмет, то без Гильберта -- никак.
Q>Какой именно предмет? Почему Гильберта, а не, скажем, Тарского?
Предмет называется "элементарная геометрия".
Это начало всех начал в математике.
Почему именно Гильберта.
Потому что именно Гильберт завершил работу, начатую Евклидом, по аксиоматизации геометрии.
Его работа является стандартом де-факто.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Vi2>А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?
Даже проще: по одной из прямых — сгибаем лист, чтобы он сложился пополам. Тогда вторая прямая распадается на два луча, которые полностью совпадут (смотрим лист на просвет). Можно даже иголкой лист попротыкать в нескольких точках вдоль любого из лучей, и увидеть, что "выходное отверстие" иголки всегда попадает на второй луч.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, meadow_meal, Вы писали:
_>>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Q>И это правильный ответ, тред закрыт.
Гым-гым... Вспоминается анекдот про воздушный шар и программиста...
Ситуация: перед Вами ребёнок-дошкольник, надо ему объяснить сам факт перпендикулярности, без транспортира, скалярных произведений и аксиоматики Гильберта. Пока что лидирует вот эта ветка https://rsdn.org/forum/education/7458721.1
Здравствуйте, Mr.Delphist, Вы писали:
MD>Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>>>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Vi2>>А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?
MD>Даже проще: по одной из прямых — сгибаем лист, чтобы он сложился пополам. Тогда вторая прямая распадается на два луча, которые полностью совпадут (смотрим лист на просвет). Можно даже иголкой лист попротыкать в нескольких точках вдоль любого из лучей, и увидеть, что "выходное отверстие" иголки всегда попадает на второй луч.
Это называется французский метод (применяется во французских школах). Сложить листочек пополам.
Только таким способом объясняют не перпендикулярность, а что такое осевая симметрия.
Т.е. две точки листочка, которые таким способом совместились, на самом деле осе-симметричны.
Сворачивание листочков в цилиндр — это квазиобъяснение. Зачем тогда вообще какие-то формальные системы аксиом планиметрии, если всё равно потом доказывать на оригами?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Потому что именно Гильберт завершил работу, начатую Евклидом, по аксиоматизации геометрии.
Q>Так ведь не завершил же, а в лучшем случае продолжил.
Да нет, завершил полностью.
Q>Расскажи, что там такого в первоисточнике, что непременно должно быть прочитано, и чего нет, скажем, в Википедии в статье про его аксиоматику?
Ну, есть разница между настоящим сексом и кратким рассказом о сексе.
Изучать математику по Википедии не стоит. Только по хорошим книжкам.
Что касается Гильберта. Ты можешь его не читать, но просто тогда не нужно с пеной у рта доказывать что-то, в чём ты явно не разбираешься.
Книга Гильберта показывает логическое устройство геометрии. Что из чего вытекает, что от чего зависит, а что не зависит.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Да нет, завершил полностью.
Тогда последователи не пытались бы сформулировать альтернативные аксиоматики с другими желаемыми свойствами.
Q>>Расскажи, что там такого в первоисточнике, что непременно должно быть прочитано, и чего нет, скажем, в Википедии в статье про его аксиоматику? Ш>Ну, есть разница между настоящим сексом и кратким рассказом о сексе.
То есть конкретики нет, только неуместные аналогии? А от чего ещё зависит восприятие этих аксиом, может, от цвета бумаги, на которой они напечатаны?
Ш>Что касается Гильберта. Ты можешь его не читать, но просто тогда не нужно с пеной у рта доказывать что-то, в чём ты явно не разбираешься.
А ты можешь сформулировать, что, по-твоему, я пытаюсь доказать?
Ш>Книга Гильберта показывает логическое устройство геометрии. Что из чего вытекает, что от чего зависит, а что не зависит.
Ты переоцениваешь значимость аксиоматики Гильберта в этой дискуссии, и в целом значимость для построения фундамента математики. В этом вопросе почти согласен с _vanger_: «Последнее -- человеческий способ (без 20 аксиом, на правильную формулировку которых потребовались тысячелетия и гений Гильберта, что говорит о неудачности аксиоматического языка для описания евклидовой геометрии) говорить о "школьной" евклидовой геометрии»
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Конкретно в этой ветке обсуждения топике имело смысл говорить о таких, к которым применимы "параллельность" и "ортогональность". __>Т.е. аффинные и евклидовы. А никакие не "нелинейные" и просто "пространства".
Дык, о чём и речь.
Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара (а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения.
В принципе, рядом QBit86 этот момент с тобой уже обсудил, т.е. вопрос исчерпан.
Введение параллельности и ортогональности независимое, посему мне этот спор и кажется глупым изначально.
V>>следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью. __>Это опять чушь. Но на этот раз, хотя бы, утверждение, которое можно распарсить и понять, что оно неверно. К примеру, размерность двойственного пространства к бесконечномерному строго больше.
Условия
неких линейных пространств, отличающихся только размерностью
недостаточно разве?
V>>Покажи мне в своём "каноническом базисе" то и другое. V>>Или только параллельность, коль на твой взгляд это более фундаментальное. __>А про связь линейного пространства с аффинным было в другой ветке.
Таки, речь о конкретно твоём примере.
Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос)
И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность?
__>По себе людей не судят. Топологические пространства и многообразия -- это базовый объект, на котором разворачивается движ в подавляющем количестве математики и физики. Соответственно, и кольца функций на них -- это то, что мозолит глаза большинству математиков и физиков. Но так как ты с этим не знаком, и ковыряешь свой узкий пятачок, то этого не понимаешь. Парадокс Блаба, фигли.
Тоже о чём и речь. ))
а не показывать, что конкретно ты "еще что-то знаешь" (С).
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Дык, о чём и речь. V>Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара
Снова ты говоришь о чём-то своём. Причём здесь какой-то базис? Было конкретное задание линейного пространства без упоминания слов "базис" и "ортогональность". С вопроса о чём эта ветка и началась. Выше ещё несколько примеров были, которые ты проигнорировал.
V>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?),
Нулевая и везде равная 1.
V>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения.
Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний. Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1); или, в некотором смысле, невозможно. Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно. Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
V>>>следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью. __>>Это опять чушь. Но на этот раз, хотя бы, утверждение, которое можно распарсить и понять, что оно неверно. К примеру, размерность двойственного пространства к бесконечномерному строго больше.
V>Условия V>
V>неких линейных пространств, отличающихся только размерностью
V>недостаточно разве?
Недостаточно для чего? Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
V>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос)
Как и куда угодно: аффинизация.
V>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность?
Да можно. Как и много чего другого. linux_дома.jpg
V>Ну как не зарисоваться...
Когда не знаешь, что такое линейное пространство и его размерность...
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара __>Снова ты говоришь о чём-то своём. Причём здесь какой-то базис?
Чем тебе не нравится базис?
В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.
Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.
__>Было конкретное задание линейного пространства без упоминания слов "базис"
На базис хотел выйти я, ес-но, это видно уже по 3-му моему посту в этой подветке.
__>и "ортогональность".
Наверно потому что "ортогональность" означает кое-какие св-ва базиса (попарно для его элементов), не?
Не зря же даже в программировании есть выражение "да это ортогонально".
Думаю, ты хорошо в курсе, что значит это выражение.
V>>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), __>Нулевая и везде равная 1.
Всё? ))
V>>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения. __>Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний.
Объясни, в чём странность?
__>Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
"Нафиг не надо" — вкусовщина.
__>И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
Ну, для всего должна быть причина.
Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом.
__>И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1);
Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент.
__>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно.
Тут пролетарское чутье подвело.
"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо.
__>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
Численные методы уже отменили?
Я как-то это упустил. ))
V>>Условия V>>неких линейных пространств, отличающихся только размерностью V>>недостаточно разве? __>Недостаточно для чего?
Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством.
__>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
Ес-но разные. ))
Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга, поэтому аргумент тоже так себе, на любителя повыступать среди "голубей".
V>>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос) __>Как и куда угодно: аффинизация.
Интересует на конкретном примере.
И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить.
А то ты так долго формулировал, что это за ф-ии, как получаются из неких попарных 3D координат поверхности шара, но я так и не увидел примеров таких ф-ий, чтобы три координаты участвовали. Вернее шесть, у нас же попарность там, помнится, была?
V>>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность? __>Да можно. Как и много чего другого.
Да это было с самого начала понятно, хосподя, что правильный ответ определяется личным вкусом автора.
Жесть как она есть...
Сам факт влезания "учёного" в подобные обсуждения — это уже ой.
__>Когда не знаешь, что такое линейное пространство и его размерность...
Если знаю, что такое базис, знаю что такое размерность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Поэтому, любой, заявляющий что-то типа "я профессионально занимаюсь наукой", с вероятностью 90% является тем самым чернорабочим, пока не покажет в аргументации обратное. V>>Ты пока обратного не показал. __>И не собирался. И формат не тот, и парадокс Блаба.
Парадокс блабла он о том, что кто-то знает больше кого-то.
Но люди деляться на эти 10% и 90% не по этому признаку, бо часто которые на подхвате, знают в какой-то области больше руководителя (почти всегда так).
Разделение это идёт чаще по демонстрируемым повадкам, что ле.
Поэтому, одним доверяют принимать решения (или они сами их принимают и эти решения становятся заметны), а других необходимо направлять.
Мотивы твоего участия в подобных спорах стрёмные по самое нимогу, однако. ))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Чем тебе не нравится базис?
Тем, что ни при чём.
V>>>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), __>>Нулевая и везде равная 1.
V>Всё? ))
Абцисса точки, при стандартном вложении в евклидово пространство. Ты опять непонятно чего хочешь.
V>>>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения. __>>Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний.
V>Объясни, в чём странность?
Например, тем, что "масло масляное". То, что не в тему -- это уже привычно.
__>>Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
V>"Нафиг не надо" — вкусовщина.
Нет. Ты опять, видимо, не понимаешь о чём речь.
__>>И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
V>Ну, для всего должна быть причина. V>Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом.
Очередная нераспарсиваемая ахинея.
__>>И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1);
V>Мде, сплошное изложение в духе "пролетарское чутьё подсказывает". )) V>Эдакий фирменный стиль.
V>Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент.
Причём здесь "аргумент", "чутьё"? Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство?
__>>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно.
V>Тут пролетарское чутье подвело. V>"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо.
Нет. Очень часто уравнение -- это и есть "решение".
__>>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
V>Численные методы уже отменили? V>Я как-то это упустил. ))
А выше на кой-то ляд аналитические выражения просил.
V>Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством.
Очередная бессмысленная фраза.
__>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
V>Ес-но разные. )) V>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга, поэтому аргумент тоже так себе, на любителя повыступать среди "голубей".
Что значит "выражать друг через друга"? Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). Это не так. Не уверен, что ты это понял.
V>>>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>>>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос) __>>Как и куда угодно: аффинизация.
V>Интересует на конкретном примере. V>И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить.
Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
V>А то ты так долго формулировал,
Одно короткое предложение -- это никак не долго. Это ты долго тупил.
V>что это за ф-ии, как получаются из неких попарных 3D координат поверхности шара, но я так и не увидел примеров таких ф-ий, чтобы три координаты участвовали.
И продолжаешь тупить. Я не знаю, к чему эта неизвестно откуда взявшаяся ахинея. Ты снова говоришь сам с собой. Иногда чему-то радуешься.
V>Вернее шесть, у нас же попарность там, помнится, была?
Не было, конечно. Там вообще окружность была.
V>>>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность? __>>Да можно. Как и много чего другого.
V>Да это было с самого начала понятно, хосподя, что правильный ответ определяется личным вкусом автора.
Ответ на что?
V>Если знаю, что такое базис, знаю что такое размерность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Ну, для всего должна быть причина. V>>Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом. __>Очередная нераспарсиваемая ахинея.
Ну ты же утверждал, что "определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо".
Откуда ты взял "совершенно" и "необходимо", если это же пространство можно определить через базис?
V>>Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент. __>Причём здесь "аргумент", "чутьё"?
Потому что сплошная вкусовщина.
__>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство?
Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна.
Иначе бы ты не разбрасывался словами насчёт "совершенно" и "необходимо".
__>>>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно. V>>Тут пролетарское чутье подвело. V>>"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо. __>Нет. Очень часто уравнение -- это и есть "решение".
Это смотря как задача стоит.
Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис.
Т.е. твоё замечание насчёт "часто" не релевантно собственному примеру.
__>>>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах. V>>Численные методы уже отменили? V>>Я как-то это упустил. )) __>А выше на кой-то ляд аналитические выражения просил.
Опять беготня или работа на публику, ХЗ.
Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы.
Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор.
V>>Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством. __>Очередная бессмысленная фраза.
Бессмысленным было сравнивать несравнимое.
__>>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры. V>>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга __>Что значит "выражать друг через друга"?
y=x2, x->oo пойдёт?
__>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма).
Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью".
V>>Интересует на конкретном примере. V>>И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить. __>Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
В твоём примере, таки, функциональное пространство.
Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере.
Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север".
V>>А то ты так долго формулировал, __>Одно короткое предложение -- это никак не долго.
z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.
Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия.
Сдаётся мне, что скалярное произведение тут уже определено, поэтому я не совсем понимаю, как этот пример демонстрирует линейное пространство без ортогональности.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Ну ты же утверждал, что "определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо". V>Откуда ты взял "совершенно" и "необходимо", если это же пространство можно определить через базис?
Потому что базис -- подмножество линейного пространства. "Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
V>Потому что сплошная вкусовщина.
Сказал человек, не мыслящий задания линейного пространства иначе как линейной оболочки линейно независимых векторов.
__>>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство? V>Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна.
Ну избыточна. И что?
V>Это смотря как задача стоит. V>Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис.
Вот именно. А ещё нам может не требоваться оперировать элементами пространства решений диффура.
V>Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы. V>Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор.
Итого: ты опять написал ерунду не по делу. По-прежнему, видимо, этого не понимая.
V>Бессмысленным было сравнивать несравнимое.
Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
__>>>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры. V>>>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга __>>Что значит "выражать друг через друга"?
V>y=x2, x->oo пойдёт?
Конечно нет (что бы эта бессмыслица не значила).
__>>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). V>Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью".
Насколько я понимаю, ты хочешь сказать, что, подобно тому, что все n-мерные векторные пространства изоморфны, все бесконечномерные векторные пространства изоморфны. Это не так.
__>>Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное. V>В твоём примере, таки, функциональное пространство. V>Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере. V>Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север".
Вид функций -- их описание выше (которое ты до сих пор умудрился не понять), демонстрация на их примере -- написана в цитировании. Но ты и это не понял.
V>Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия.
Какое-то безумие.
V>Сдаётся мне, что скалярное произведение тут уже определено, поэтому я не совсем понимаю, как этот пример демонстрирует линейное пространство без ортогональности.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Потому что базис -- подмножество линейного пространства.
Что с того, если все пространство через него выразимо?
__>"Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
Скорее, естественное желание не оперировать избыточностями.
V>>Потому что сплошная вкусовщина. __>Сказал человек, не мыслящий задания линейного пространства иначе как линейной оболочки линейно независимых векторов.
Твой пример с дискретными ф-иями с непересекающимися областями, где ф-ия имеет отличное от 0-ля значение, тоже сводится к этому.
__>>>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство? V>>Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна. __>Ну избыточна. И что?
Не что, а зачем?
Меня твой пример с ф-иями от точек на окружности напряг именно избыточностью сразу по нескольким аспектам.
Т.е. или во всём этом был какой-то глубокий смысл, или было незачем.
V>>Это смотря как задача стоит. V>>Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис. __>Вот именно. А ещё нам может не требоваться оперировать элементами пространства решений диффура.
Но ты предложил рассмотреть именно пространство решений диффура.
Приведи пример, плиз, когда это пространство нужно, но способ найти любой его элемент не требуется.
V>>Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы. V>>Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор. __>Итого: ты опять написал ерунду не по делу. По-прежнему, видимо, этого не понимая.
Достаточно того, что корни характеристического уравнения 5-й степени найти можно, а значит вот это твоё утверждение ложно:
при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится
Неразрешимость в радикалах не является препятствием.
V>>Бессмысленным было сравнивать несравнимое. __>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности.
Т.е. когда есть зависимость этих ф-ий друг от друга или от третьего/третьих параметров, которые стремятся к бесконечности с одинаковой "скоростью".
Из классики: сравнить y1=2*x vs y2=3*x, x->oo
или найти: (1+x)/(1-x), x->oo
В этих примерах 'x' стремится к такой бесконечности oo, которая одна на всех. ))
y1 и y2 тоже не уходят в разные бесконечности, они уходят в одну и ту же, просто с разной скоростью при одинаковой скорости ухода в бесконечность своего аргумента.
Даже если бы y1=x2 и y2=xx — всё в силе.
Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность.
__>>>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). V>>Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью". __>Насколько я понимаю, ты хочешь сказать, что, подобно тому, что все n-мерные векторные пространства изоморфны, все бесконечномерные векторные пространства изоморфны. Это не так.
Я сказал то, что сказал:
среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью,
Собери все пространства в группы, в каждой из которых будут содержатся только изоморфные друг другу плюс отличающиеся только размерностью, и накати на каждую группу в отдельности это утверждение.
V>>Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере. V>>Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север". __>Вид функций -- их описание выше (которое ты до сих пор умудрился не понять)
Пока что есть вопросы, да.
1. Почему ты определил ф-ии только на попарно-различимых точках?
2. Зачем именно окружность, почему не отрезок?
3. Если уж приводить в пример дискретные ф-ии, то почему бы не привести минимально-достаточный пример — некое мн-во ф-ий от одного аргумента, где области (или точки) в которых ф-ии имеют значения, отличные от 0-ля, не пересекаются?
__>демонстрация на их примере -- написана в цитировании. Но ты и это не понял.
Это:
Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
?
Это твой пример, поэтому берешь и подставляешь ты.
Тем более, что тут произвольное функциональное пространство.
V>>Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия. __> Какое-то безумие.
И что не так?
Ты же сам захотел попарность?
В дискретном виде это была бы таблица или половина её по диагонали, если порядок элементов в паре не важен.
В непрерывном, соответственно, область-квадрат или треугольник.
Ты ж задал свои ф-ии "многошагово", через "серию" пространств:
— всех точек на окружности;
— их попарных комбинаций, исключая пару с самим собой;
— выборка из последнего;
Мне лишь охота понять — был ли в этом всём какой-то смысл, и если был, то какой?
Или я наткнулся на болтуна, рассыпающего массу избыточной информации?
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
__>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
V>Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности. V>Т.е. когда есть зависимость этих ф-ий друг от друга или от третьего/третьих параметров, которые стремятся к бесконечности с одинаковой "скоростью".
V>Из классики: сравнить y1=2*x vs y2=3*x, x->oo V>или найти: (1+x)/(1-x), x->oo
V>В этих примерах 'x' стремится к такой бесконечности oo, которая одна на всех. )) V>y1 и y2 тоже не уходят в разные бесконечности, они уходят в одну и ту же, просто с разной скоростью при одинаковой скорости ухода в бесконечность своего аргумента. V>Даже если бы y1=x2 и y2=xx — всё в силе.
V>Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
V>>Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность. Vi2>В википедии есть страница про размерность множества. Именно про неё идёт речь.
Наверно, ты имел ввиду мощность множества?
Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Наверно, ты имел ввиду мощность множества? V>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Ну, а у пространства функций мощность несчётного множества.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
V>>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств. Vi2>Ну, а у пространства функций мощность несчётного множества.
В "своей группе" рассуждения остаются верными: есть бесконечное мн-во двойственных пространств к бесконечному мн-ву линейных пространств конечной размерности и всего одно двойственное к линейному бесконечномерному пространству.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Что есть линейные пространства со счётным базисом, есть линейные пространства с несчётным базисом. Они не изоморфны.
Вдогонку, бери пространства с дробной размерностью, их бесконечное мн-во с конечной размерностью — тоже континиум и тоже среди них всего одно пространтсво с бесконечной размерностью.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
__>>"Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
V>Скорее, естественное желание не оперировать избыточностями.
Естественным является желание определить объект обсуждения.
V>Но ты предложил рассмотреть именно пространство решений диффура. V>Приведи пример, плиз, когда это пространство нужно, но способ найти любой его элемент не требуется.
Вычисление размерностей когомологий де Рама.
Типичным способом различать сложные объекты является вычисление некоторых инвариантов, постоянных при отображениях, сохраняющих все свойства объектов. Соответственно, если инварианты различны, объекты разные. Скажем, для "голых" векторных пространств есть только размерность. И этим инвариантом векторное пространство однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется. В этом смысле теория векторных пространств тривиальна.
Примером такого инварианта для многообразий (формализация и обобщение идеи поверхности) являются когомологии де Рама. Технически -- это как раз классы эквивалентности решений некоторых диффуров. Например, для сферы пространство первых когомологий де Рама нульмерно, а для тора двумерно. Что доказывает, что тор нельзя гладко продеформировать в сферу.
V>Достаточно того, что корни характеристического уравнения 5-й степени найти можно, а значит вот это твоё утверждение ложно: V>
V>при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится
V>Неразрешимость в радикалах не является препятствием.
Нет нельзя. Именно в написанном смысле.
V>>>Бессмысленным было сравнивать несравнимое. __>>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
V>Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности.
Помнишь неправильно.
V>Я сказал то, что сказал: V>
V>среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью,
V>Собери все пространства в группы, в каждой из которых будут содержатся только изоморфные друг другу плюс отличающиеся только размерностью, и накати на каждую группу в отдельности это утверждение.
Т.е. я верно тебя понял. Твоё утверждение неверно. Пример (ты его снова не поймёшь, но для других): векторные пространства многочленов и формальных степенных рядов оба бесконечномерные, отличаются размерностью и не изоморфны.
V>И что не так?
То, что ты пишешь ахинею, никак не связанную с написанным мной. И не способен понимать текст уровня средних классов.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
Vi2>>В википедии есть страница про размерность множества. Именно про неё идёт речь.
V>Наверно, ты имел ввиду мощность множества?
размерность векторного пространства.
V>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Это зависит от поля, и, очевидно, для всех не нульмерных пространств над действительными числами, неверно.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Здравствуйте, Kernan, Вы писали:
K>Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Kernan, Вы писали:
K>>Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Q>В 12:15 между стрелками угол не прямой, а острый.
А ведь ты прав!
Sic luceat lux!
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Понятие перпендикулярности имеет смысл только для векторных пространств со скалярным произведением (симметрической билинейной формой), т.е. требуется дополнительная структура. Более того, чтобы перпендикулярность соответствовала "житейской" интуиции, эта форма должна буть невырожденной (или даже положительно определенной). Так что понятин перпендикулрности реально "более сложное".
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
Капец, конечно, -- в реале пяти минут за глаза бы хватило.
