Расскажите простыми словами, что такое "тензор"!
У нас в интситуте эту тему осветили плохо.
А тут на старости лет мне захотелось заполнить пробел в образовании.
Из всей математики помню только простые интегралы и немножко теорию поля.
Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра".
Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет.
A>Господа!
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>У нас в интситуте эту тему осветили плохо. A>А тут на старости лет мне захотелось заполнить пробел в образовании. A>Из всей математики помню только простые интегралы и немножко теорию поля.
A>Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра". A>Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет. A>
Тензором в линейной алгебре называют элемент тензорного произведения нескольких линейных пространств (или, более общим образом, модулей над кольцом). Тензорное произведение -- это операция, которая ставит в соответствие нескольким линейным пространством новое линейное пространство, удовлетворяющее определённому "универсальному свойству".
За деталями, пожалуйста, в учебники. Данный форум технически не приспособлен для записи сколь-нибудь сложной математики.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>>
Ш>Тензором в линейной алгебре называют элемент тензорного произведения нескольких линейных пространств (или, более общим образом, модулей над кольцом). Ш>Тензорное произведение -- это операция, которая ставит в соответствие нескольким линейным пространством новое линейное пространство, удовлетворяющее определённому "универсальному свойству". Ш>За деталями, пожалуйста, в учебники. Данный форум технически не приспособлен для записи сколь-нибудь сложной математики.
Ш>википедия
Я просил простыми словами, а не очередной пример "сепулек и сепулькариев".
Ты бы хоть название учебника написал бы.
Для названий учебников наш форум приспособлен.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Тензором в линейной алгебре называют элемент тензорного произведения нескольких линейных пространств (или, более общим образом, модулей над кольцом). Ш>Тензорное произведение -- это операция, которая ставит в соответствие нескольким линейным пространством новое линейное пространство, удовлетворяющее определённому "универсальному свойству".
Старичок словно взорвался.
— Высочайшее достижение нейтронной мегалоплазмы! — провозгласил он. — Ротор поля наподобие дивергенции градуирует себя вдоль спина и там, внутре, обращает материю вопроса в спиритуальные электрические вихри, из коих и возникает синекдоха отвечания...
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра". A>Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет. A>
Нормально употребляю.
Семантический тензор также как и математический — похож на многомерный массив, только в семантике — слова, а в математике — числа. Кроме того, с-тензор обладает инвариантностью к перестановкам и поворотам.
Фаза в розетке и фаза вещества — имеют больше отличий.
За Hard ты вряд ли возьмёшься, так что на тензорное произведение модулей имеет смысл забить. А вот осознать частный пример тензорного произведения линейных пространств можно. Но перед этим хорошо бы, собтсвенно, линейную алгебру изучить по какому-нибудь нормальному учебнику: тот же Винберг; Кострикин, Манин "Линейная алгебра и геометрия"; Постников "Лекции по геометрии. Том 2. Линейная алгебра"; Axler "Linear Algebra Done Right". Беклемишев "Линейная алгебра" тоже не самый плохой вариант.
Наиболее простая разумная (а не "набор чисел, преобразующихся вот так"), работающая в конечномерном случае, конструкция тензора как полилинейного функционала разбирается, например, в Постникове.
Вообще, любим мы тензорное произведение, главным образом, за его универсальное свойство: https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product#Universal_property и в современной математике, как правило, явная конструкция не так важна (раз доказали, что она есть и забыли), как универсальное свойство. Это вообще в духе теоретико-категорного сдвига парадигмы, проолжающегося последние десятиления. Но в приложениях математики это не так видно: там, как правило, используется конкретная конструкция (как правило, вышеупомянутое полилинейное отображение), которая является языком для описания/построения нужных штук.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, SomeOne_TT, Вы писали:
SO_>>Как сказали выше, считай его многомерной матрицей. SO_>>NxM — матрица SO_>>NxMxK — тензор SO_>>NxMxKx.... — тоже тензор
__>Перефразируя известную фразу Лебедева: "Так считают только муд@ки".
Ну, ты всё-таки покультурнее выражайся. Например:
"Тензор" — это не просто набор чисел, это ещё и операции и смысл этих операций.
Здравствуйте, LVE, Вы писали:
LVE>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>>Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра". A>>Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет. A>>
LVE>Нормально употребляю. LVE>Семантический тензор также как и математический — похож на многомерный массив, только в семантике — слова, а в математике — числа. Кроме того, с-тензор обладает инвариантностью к перестановкам и поворотам.
Ну... не лезь в бутылку.
У меня на почве изучения испанского возник интерес к первоначальному значению слов.
Например, для меня было открытие, что
inteligente = умный
justicia = справедливость
sombrero = шляпа
arena = песок
Я знаю, что понятие можно передвигать в другую предметную область.
При этом оно приобретает другой, но в чём-то похожий смысл.
Я сам люблю двигать понятия из области в область.
Тем не менее бывает полезно знать, каким понятие было изначально.
Причём во всех подробностях.
Мы будем на всех базарах называть все вещи правильными именами (с).
A>Господа!
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>У нас в интситуте эту тему осветили плохо. A>А тут на старости лет мне захотелось заполнить пробел в образовании. A>Из всей математики помню только простые интегралы и немножко теорию поля.
A>Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра". A>Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет. A>
Тензор — это 2х, 3х или n-мерный вектор некоторого поля в каждой точке пространства
Например электрическое напряжение описывается скалярной величиной в Вольтах в кажой точке пространства. А вот в механике сплошных сред и при упругих и при пластических деформациях напряжение описывается тремя числами в каждой точке пространства
На картинке показана матрица с 9ю числами. Пусть это не вводит в заблуждение. На самом деле механическое напряжение описывается всего тремя числами в каждой точке
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>У меня на почве изучения испанского возник интерес к первоначальному значению слов. A>Например, для меня было открытие, что A>inteligente = умный A>justicia = справедливость A>sombrero = шляпа A>arena = песок
A>Я знаю, что понятие можно передвигать в другую предметную область. A>При этом оно приобретает другой, но в чём-то похожий смысл. A>Я сам люблю двигать понятия из области в область. A>Тем не менее бывает полезно знать, каким понятие было изначально. A>Причём во всех подробностях.
Вы обратите внимание вот на что!
Само по себе движение в геометрии является способом образования фигур большей размерности.
Двинули точку — получили отрезок.
Двинули отрезок — получили прямоугольник. И т.д.
Теперь представьте, что мы также двигаем слова.
Каждое новое движение является способом повышения мерности семантического тензора.
Только на практике это не очень удобно делать внутри одного языка и одной предметной области.
Проще искать противоположности, дополнения, смежности, общности и т.п. понятия.
Здравствуйте, VladCore, Вы писали:
VC>Тензор — это 2х, 3х или n-мерный вектор некоторого поля в каждой точке пространства
почти
0х — скаляр — это тоже тензор.
1x — вектор.
VC>... А вот в механике сплошных сред и при упругих и при пластических деформациях напряжение описывается тремя числами в каждой точке пространства
Это потому что пространство трёхмерно. Для тензора деформаций это будут смещения по осям.
Тензоры нужны для удобства работы с преобразованиями.
Это проще продемонстрировать на аффинных преобразованиях в плоской векторной графике.
А вот в семантике, тензор понятий означает, что слова связаны внутренними смысловыми отношениями.
Например:
Теперь сравните это с аффинным преобразованием.
Здесь я раскрыл тензорную форму в виде уравнений трансформации точки пространства:
(tXX — это компоненты аффинной матрицы)
X1 = t00 * X + t01 * Y + t02;
Y1 = t10 * X + t11 * Y + t12;
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Ну, ты всё-таки покультурнее выражайся.
То не в обиду и не всерьёз
A>Например: A>"Тензор" — это не просто набор чисел, это ещё и операции и смысл этих операций.
Дело в том, что что-то типа такого (и написанное выше SomeOne_TT) абсолютно misleading. И лучше не знать ничего, чем "знать" так -- на уровне девочки-наборщицы, ничего не понимающей, но, всё же, какую-то полезную работы выполняющую. Ты же что-то понять хочешь, а не бездумно какие-нибудь преобразования координат тензора инерции считать. Т.е. какой-нибудь Ландау, Лифшиц 2 по этому вопросу -- не трогать и трёхметровой палкой.
Скажем, определение вектора в таком духе звучало бы как-то так:
Вектором в n-мерном пространстве V называется множество упорядоченных наборов из n скаляров v^i, по одному для каждого базиса в V, причем для двух базисов e и e', связанных матрицей перехода S, элементы второго набора выражаются через первый по формуле v'^i = \sum_{j=1}^n (S^{-1})^i_j v^j.
Офигенно понятно и геометрично, и именно это нужно отвечать на вопрос: "А что такое вектор?" Ты ж сам пишешь, что, в своё время, тебе эту тему осветили плохо. Что толку с очередного плохого освещения? Причём когда методически и "идеологически" правильные способы давно есть.
A>Господа!
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"!
Оператор, который при преобразовании пространства преобразуется по определенным законам. Ковариантные компоненты по одним, контрвариантные по другим. Если у тебя есть опретор преобразования пространства кошечек в пространство собачек, то когда ты добавляешь своему пространству пушистости ( пространство пушистые кошки — > непонятно какие собаки), то рожа как пушистая кошикина голова как ковариантная компонента преобразуется в пушистую собачью, а пушистая кошкина задница как контрвариантная в лысую собачью жопу. Ибо гламурно и сохраняет определенные инварианты.
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>У нас в интситуте эту тему осветили плохо. A>А тут на старости лет мне захотелось заполнить пробел в образовании. A>Из всей математики помню только простые интегралы и немножко теорию поля.
Термин тензор хотя и является математическим, но по сути родом из физики и создан для физики. Собственно большинство физических величин является тензорами разных рангов.
Далее, тензор всегда определяется не сам по себе, а через некое векторное пространство размерности N, поверх которого он существует. В физике этим векторным пространством чаще всего служит наше обычное 4-ёх мерное пространство-время. Которое при этом можно описывать разными системами координат.
Так вот, если не углубляться в тонкости, тензор — это многомерный (это называется ранг тензора и может быть любым числом начиная с нуля) массив с количеством элементов N по каждой размерности. Т.е. по сути N^r величин (r — это ранг нашего тензора), причём не произвольных, а преобразующихся при изменение нашего пространства определённым специфическим образом (а именно как произведение соответствующего r числа векторов). Т.е. при таком определение тензор 1-го ранга становится равносилен просто понятию вектора. Тензор нулевого ранга — это скаляр, а тензоры старших рангов являются обобщением понятия вектора (т.е. величины, независящей от выбора системы координат, хотя при этом компоненты вектора зависят от её выбора) для более сложных многомерных конструкций.
Здравствуйте, SomeOne_TT, Вы писали:
A>>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! SO_>Как сказали выше, считай его многомерной матрицей. SO_>NxM — матрица SO_>NxMxK — тензор SO_>NxMxKx.... — тоже тензор
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>У нас в интситуте эту тему осветили плохо.
эх, а вот в советское время учили лучше!
A>Интерес возник от прочтения темы "Семантическая алгебра". A>Чё-то мне кажется, что топикстартер это слово неправильно употребляет.
тот топикастер феерическую пургу умными словами несет, не поинимая их смысла.
написал большой текст, при отправке сайт завис, все погибло ;(
писать по новой желания нет.
ну скажу совсем кратко. есть скаляры, например масса материальной точки, для описания достаточно одного числа. чтоб описать ее скорость — одного числа мало. нужен вектор. если мат.точка внезапно окажется не точкой, которая еще и вращается — понадобится тензор инерции, вектора мало. тензоры бывают сильно разные, в физике обычно это второго ранга- ну типа как матрица. в комплекте к этой "матрице" должны идти правила преобразования при замене базиса. но этим тензоры не исчерпываются, все довольно сложно и нужен толстый учебник.
_>Так вот, если не углубляться в тонкости, тензор — это многомерный (это называется ранг тензора и может быть любым числом начиная с нуля) массив с количеством элементов N по каждой размерности. Т.е. по сути N^r величин (r — это ранг нашего тензора), причём не произвольных, а преобразующихся при изменение нашего пространства определённым специфическим образом (а именно как произведение соответствующего r числа векторов). Т.е. при таком определение тензор 1-го ранга становится равносилен просто понятию вектора. Тензор нулевого ранга — это скаляр, а тензоры старших рангов являются обобщением понятия вектора
Здравствуйте, TMU_1, Вы писали:
N>>У меня настольная книга: Тензорное исчисление, Коренев
TMU>Готовишься поработить планету? TMU>Если серьезно — по работе нужно? А для чего?
И то и другое. Матана у нас очень много, работа с топологиями и т.п.
Здравствуйте, LVE, Вы писали:
LVE>Dym On, какая в розетке фаза: LVE>твёрдая, жидкая, газообразная или плазменная?
В нормальной ситуации — одна из трёх.
Хотя у тех кто не рефакторит свою архитектуру энергоснабжения, в розетке может оказаться как двойная фаза (между контактами розетки — ноль вольт), так и две фазы (между контактами розетки — межфазное напряжение).
Здравствуйте, Nikе, Вы писали:
N>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
N>>>У меня настольная книга: Тензорное исчисление, Коренев
A>>Да, это то, что надо. Про компот понравилось.
N>Хм, дальше первой страницы не прошёл?
Пока на двадцатой. Такую книжку не получается бысто читать.
Приходится в уме проделывать все операции (покомпонентно) и соображать,
почему результат получился такой и всегда ли так будет.
Здравствуйте, Mr.Delphist, Вы писали:
MD>Здравствуйте, LVE, Вы писали:
LVE>>Dym On, какая в розетке фаза: LVE>>твёрдая, жидкая, газообразная или плазменная?
MD>В нормальной ситуации — одна из трёх. MD>Хотя у тех кто не рефакторит свою архитектуру энергоснабжения, в розетке может оказаться как двойная фаза (между контактами розетки — ноль вольт), так и две фазы (между контактами розетки — межфазное напряжение).
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"! A>>У нас в интситуте эту тему осветили плохо. A>>А тут на старости лет мне захотелось заполнить пробел в образовании. A>>Из всей математики помню только простые интегралы и немножко теорию поля.
_>Термин тензор хотя и является математическим, но по сути родом из физики и создан для физики. Собственно большинство физических величин является тензорами разных рангов.
_>Далее, тензор всегда определяется не сам по себе, а через некое векторное пространство размерности N, поверх которого он существует. В физике этим векторным пространством чаще всего служит наше обычное 4-ёх мерное пространство-время. Которое при этом можно описывать разными системами координат.
_>Так вот, если не углубляться в тонкости, тензор — это многомерный (это называется ранг тензора и может быть любым числом начиная с нуля) массив с количеством элементов N по каждой размерности. Т.е. по сути N^r величин (r — это ранг нашего тензора), причём не произвольных, а преобразующихся при изменение нашего пространства определённым специфическим образом (а именно как произведение соответствующего r числа векторов). Т.е. при таком определение тензор 1-го ранга становится равносилен просто понятию вектора. Тензор нулевого ранга — это скаляр, а тензоры старших рангов являются обобщением понятия вектора (т.е. величины, независящей от выбора системы координат, хотя при этом компоненты вектора зависят от её выбора) для более сложных многомерных конструкций.
Щас наткнулся на роскошную лекцию про тензоры: https://www.youtube.com/watch?v=4l-qzZOZt50
Там таблицы обзывают кладбищами, а представление тензоров в конкретных базисах, массивами, — черной магией (witchcraft), порицаемым занятием.
Зато дают определение определителя оператора (эндоморфизма) без использования матриц.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, SomeOne_TT, Вы писали:
SO_>>Как сказали выше, считай его многомерной матрицей. SO_>>NxM — матрица SO_>>NxMxK — тензор SO_>>NxMxKx.... — тоже тензор
__>Перефразируя известную фразу Лебедева: "Так считают только муд@ки".
Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра", издание ФИзматлит 2007, ISBN 978-5-9221-0778-5
"Матрицу можно рассматривать как способ задания числовой функции от дискретных переменных i, j или, в терминологии
некоторых языков программирования, как двумерный массив. Данная точка зрения приводит к такому естественному
обобщению, как m-мерный массив (m-мерная матрица) с элементами x i1...im или функция от m индексов i1..im,
часто называемая также тензором"
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"!
Это матрица преобразований координат.
Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор.
Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная:
a b e
c d f
где преобразованные координаты считаются по формуле:
x'=x*a+y*b+e
y'=x*c+y*d+f
Если начала обеих систем координат совпадают, то матрица будет 2x2, без e f.
Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат.
Далее.
Тензорное поле — это, в первом приближении, набор тензоров.
Например, есть некое магнитное поле вокруг проводника. Каждой точке пространства вокруг этого проводника можно поставить в соответствие тензор, который переводит 3D координаты этой точки в 3D вектор, описывающий направление и силу напряженности магнитного поля в этой точке.
Т.к. пространство в математическом смысле непрерывно, то существует бесконечное кол-во точек вокруг проводника из примера, поэтому этот "бесконечный набор тензоров" образует поле.
С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. )))
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. )))
Не вижу противоречий:
размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. ))) V>Не вижу противоречий: V>
V>размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат
Размерность то пространства может быть какая угодно, только в данном случае это безразлично — для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)?
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)?
Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 ))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Это матрица преобразований координат. V>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная:
Это не тензор, совсем. Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров и линейных операторов, по смыслу (и по типам) тензоры и линейные операторы это совсем разные вещи.
V>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат.
А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
V>>Это матрица преобразований координат. V>>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная: DM>Это не тензор, совсем.
DM>Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров
Угу, ранга (0, 2), когда речь о преобразовании координат.
Так, вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом (строкой или лучше — столбцом), а такие объекты, как линейный оператор и квадратичная форма, — двумерной матрицей.
DM>и линейных операторов, по смыслу (и по типам) тензоры и линейные операторы это совсем разные вещи.
V>>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат. DM>А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
И где ты увидел слово "ранг"? Речь шла о размерности представления тензора.
И примеры были вполне доступные для понимания. Пример с тензорным полем преобразования координаты в вектор можно далее обобщить, скажем, на силу Лоренца, задав отображение вектора из 6-ти компонент (мгновенные координаты и мгновенная скорость частицы, т.е. исходное многообразие) на вектор действующей силы из 3-х компонент. И т.д. Это же просто математическая абстракция.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>>>Это матрица преобразований координат. V>>>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>>>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная: DM>>Это не тензор, совсем.
V>Приплыли. V>Уже с определениями спорим.
О, веселуха. По ссылке у тебя нормально написано, но то ли прочитать ты не смог, то ли понять, то ли что такое линейный оператор не знаешь.
Хинт: смотри на типы, что именно стоит справа от стрелки.
DM>>Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров
V>Угу, ранга (0, 2), когда речь о преобразовании координат.
Да не занимается тензор преобразованием координат. На типы смотри еще раз. Ты не видишь отличия между элементом векторного пространства над полем и элементом того поля? Они ж совсем из разных множеств.
Открой свою же ссылку и прочитай:
Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, ... однако при этом тензорами не являющиеся:
Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат
V>>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат. DM>А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
V>И где ты увидел слово "ранг"? Речь шла о размерности представления тензора.
Что такое размерность по-твоему? Скажем так: число измерений в прадставлении тензора определяется его рангом, т.е. количеством векторов и ковекторов, которые он принимает, но не размерностью самого векторного пространства, откуда эти вектора берутся.
V>И примеры были вполне доступные для понимания. Пример с тензорным полем преобразования координаты в вектор можно далее обобщить
Это неправильные примеры. Ни один тензор никакие координаты в вектор не переводит.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)? V>Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 ))
Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг. Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга при этом данное его представление имеет размерность 3. И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат. Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор).
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>>>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)? V>>Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 )) _>Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг.
Не путаю. Представление тензора зависит от его ранга, заданного парой чисел и от размерностей участвующих в отношениях пространств (многообразий).
_>Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга
Это тензор ранга (1, 0).
Из теории множеств одноарное отношение тоже будет отношение ранга 1. ))
Т.е. не вижу пока никаких граблей.
_>при этом данное его представление имеет размерность 3.
Да хоть 10.
_>И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат.
Занимается преобразованием в самого себя прямо по определению.
Т.е. задаёт исходное пространство/многообразие.
_>Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор).
Э-э-э... Как бэ тут ответить, чтобы не сгоряча. В общем, я не думаю, что топикстартер спрашивал ссылки на точное математическое определение и тем более не думаю, что на первых же этапах знакомства интересуют вырожденные случаи. Думаю, что с задачей поиска ссылок он прекрасно справляется сам, а с вырожденными случаями лучше разобраться в самом конце, чем в самом начале. Поэтому я ответил сугубо прикладными примерами. Собсно, тензорное исчисление и родилось из подобных прикладных применений (геометрии/топологии/метрики и т.д.), где сам матаппарат впоследствии был обобщён до задания отношений м/у любыми многообразиями (или не обобщён, но оказался подходящим, что скорее всего, но не суть).
Тут важно скорее другое. Тензоры, как и лагранжианы, гамильтонианы, "соглашение Энштейна" и т.д. и т.п. используются как аппарат сокращённой математической записи. Т.е. задают эдакую терминологию. ИМХО, корни любой терминологии всегда любопытны. Тензорный анализ развился как обобщение векторного анализа, который исторически имел сугубо прикладное значение как раз в геометрии, топологии, ньютоновской физике и т.д.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг. V>Не путаю. Представление тензора зависит от его ранга, заданного парой чисел и от размерностей участвующих в отношениях пространств (многообразий).
Да.
_>>Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга V>Это тензор ранга (1, 0).
Да.
_>>при этом данное его представление имеет размерность 3. V>Да хоть 10.
Да.
_>>И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат. V>Занимается преобразованием в самого себя прямо по определению. V>Т.е. задаёт исходное пространство/многообразие.
_>>Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор). V>Э-э-э... Как бэ тут ответить, чтобы не сгоряча. В общем, я не думаю, что топикстартер спрашивал ссылки на точное математическое определение и тем более не думаю, что на первых же этапах знакомства интересуют вырожденные случаи. Думаю, что с задачей поиска ссылок он прекрасно справляется сам, а с вырожденными случаями лучше разобраться в самом конце, чем в самом начале. Поэтому я ответил сугубо прикладными примерами. Собсно, тензорное исчисление и родилось из подобных прикладных применений (геометрии/топологии/метрики и т.д.), где сам матаппарат впоследствии был обобщён до задания отношений м/у любыми многообразиями (или не обобщён, но оказался подходящим, что скорее всего, но не суть).
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной (но при этом его компоненты меняются, причём по строго определённому закону) при произвольных изменениях систем координат. Именно в этом ключевой смысл данной сущности — преобразуют её компоненты, а не она преобразует кого-то. Собственно прямо по твоей же ссылке на Википедию имеется практически мой вариант определения, в разделе "О классическом определении" — может ты до него не дочитал? )
V>Тут важно скорее другое. Тензоры, как и лагранжианы, гамильтонианы, "соглашение Энштейна" и т.д. и т.п. используются как аппарат сокращённой математической записи. Т.е. задают эдакую терминологию. ИМХО, корни любой терминологии всегда любопытны. Тензорный анализ развился как обобщение векторного анализа, который исторически имел сугубо прикладное значение как раз в геометрии, топологии, ньютоновской физике и т.д.
Да, причём не только в ньютоновской физике, но и по сути вообще во всей современной физике. )))
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной
Это результат применения тензора должен оставаться неизменным.
_>(но при этом его компоненты меняются, причём по строго определённому закону)
Угу. По тому "закону", что я написал абзацем выше. ))
_>при произвольных изменениях систем координат.
И это интуитивно-понимаемое, согласись, бо напряженность, скажем, электрического поля в какой-то точке пространства не должна зависеть от выбранной системы координат.
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной V>Это результат применения тензора должен оставаться неизменным.
Ты всё же настаиваешь на своём? ) Ну тогда укажи к чему конкретно применяется например мощность системы (физическая величина, которая является скаляром и соответственно тензором 0-го ранга).
V>И это интуитивно-понимаемое, согласись, бо напряженность, скажем, электрического поля в какой-то точке пространства не должна зависеть от выбранной системы координат.
Конечно. Для того вектора и позже тензоры собственно и придуманы.
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>Ты всё же настаиваешь на своём? ) Ну тогда укажи к чему конкретно применяется например мощность системы (физическая величина, которая является скаляром и соответственно тензором 0-го ранга).
И соответственно вектором (1) или матрицей (1, 1) или многомерной матрицей (1, 1, 1, ...)
Это разговор ни о чём.
V>>И это интуитивно-понимаемое, согласись, бо напряженность, скажем, электрического поля в какой-то точке пространства не должна зависеть от выбранной системы координат. _>Конечно. Для того вектора и позже тензоры собственно и придуманы.
Здравствуйте, Sharov, Вы писали:
_>>Конечно. Для того вектора и позже тензоры собственно и придуманы. S>Вектора вообще геометры изобрели для своих нужд -- поворот, сдвиги системы коорд.и проч. Явно не для описания магнитных полей и задолго до.
Векторы ввёл Гамильтон, который был физиком-теоретиком (кстати, из предложенного им принципа сейчас выводится вообще вся современная физика). И было это как раз во времена Максвелла, который очень быстро оценил данные методы и применил в своих работах (как раз описание электромагнитного поля). )))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>Ты всё же настаиваешь на своём? ) Ну тогда укажи к чему конкретно применяется например мощность системы (физическая величина, которая является скаляром и соответственно тензором 0-го ранга). V>И соответственно вектором (1) или матрицей (1, 1) или многомерной матрицей (1, 1, 1, ...) V>Это разговор ни о чём.
Ну т.е. ответа не будет, правильно? )
_>>Конечно. Для того вектора и позже тензоры собственно и придуманы. V>Вот именно что. Скаляр в этом случае не катит.
Скаляр — это полноправный частный случай тензора. Но если тебя напрягает данный вырожденный случай, то можем взять например элементарный тензор инерции из обычной классической механики и ты подробно опишешь преобразование какой сущности в какую он задаёт (чтобы нести гордое имя тензора). )))
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>можем взять например элементарный тензор инерции из обычной классической механики и ты подробно опишешь преобразование какой сущности в какую он задаёт (чтобы нести гордое имя тензора).
из угловой скорости в момент инерции или в кинетическую энергию вращения
прямо по определению
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>Векторы ввёл Гамильтон, который был физиком-теоретиком (кстати, из предложенного им принципа сейчас выводится вообще вся современная физика). И было это как раз во времена Максвелла, который очень быстро оценил данные методы и применил в своих работах (как раз описание электромагнитного поля). )))
Тут пишут что Декарт с чем-то подобным работал. Хотя в другом комментарии и Гамильтон упоминается.
Здравствуйте, Sharov, Вы писали:
S>Вектора вообще геометры изобрели для своих нужд -- поворот, сдвиги системы коорд.и проч. Явно не для описания магнитных полей и задолго до.
Тут рядом правильно сказали насчёт Максвела.
Он изначально описал электрическое и магнитное поле в виде линейной системы дифуров.
А без векторов там никуда. Там всё на векторном произведении зиждется. ))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>можем взять например элементарный тензор инерции из обычной классической механики и ты подробно опишешь преобразование какой сущности в какую он задаёт (чтобы нести гордое имя тензора). V>из угловой скорости в момент инерции или в кинетическую энергию вращения V>прямо по определению
Т.е. получается что данный тензор "преобразует" другие тензоры (векторы)? И это "преобразование" заключается в тензорном умножение? )))
Здравствуйте, Sharov, Вы писали:
_>>Векторы ввёл Гамильтон, который был физиком-теоретиком (кстати, из предложенного им принципа сейчас выводится вообще вся современная физика). И было это как раз во времена Максвелла, который очень быстро оценил данные методы и применил в своих работах (как раз описание электромагнитного поля). ))) S>Тут пишут что Декарт с чем-то подобным работал. Хотя в другом комментарии и Гамильтон упоминается.
Работали на подобные темы много кто. Но самое понятие (термин) ввёл именно Гамильтон. Более того, он не просто ввёл это понятие, но и разработал необходимый математический аппарат для комфортной аналитической работы с векторами. Не даром вторым названием оператора набла ∇ (который элементарно даёт нам и градиент и дивергенцию и ротор) является "оператор Гамильтона". )
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
V>>из угловой скорости в момент инерции или в кинетическую энергию вращения _>Т.е. получается что данный тензор "преобразует" другие тензоры (векторы)?
Тензор является многокомпонентной характеристикой чего-либо. Некоего математического или физического объекта. Поэтому, физический или математический смысл тензора важен, разумеется, бо при одинаковом "внешнем представлении" различные тензора могут нести различную смысловую нагрузку.
_>И это "преобразование" заключается в тензорном умножение? )))
Ага, примерно в таком же смысле, как масса служит для преобразования силы в ускорение.
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
V>>И соответственно вектором (1) или матрицей (1, 1) или многомерной матрицей (1, 1, 1, ...) V>>Это разговор ни о чём. _>Ну т.е. ответа не будет, правильно? )
А что тут ответить?
Был вопрос: "объясните, что такое тензор"?
И ты такой: "всё является тензором! объяснение окончено."
))
Ты ответил примерно в том смысле, что "все является числом".
Нет, всё описывается числами, но не является числом.
Да, скаляр является частным случаем вектора. Но поможет ли нам этот вырожденный случай для понимания того, зачем вообще нужны вектора, когда уже есть скаляры? ))
Так же и с тензорами.
Тензорная величина — это многокомпонентная величина.
Это "компот" из разных физических или математических смыслов.
Отличие тензора от вектора в том, что вектор содержит (не знаю как сказать лучше) "однородные" характеристики. Например, вектор силы содержит 2 или 3 и т.д. скаляра, которые означают проекции на координатные оси, т.е. математическая или физическая природа которых однородна. При этом считается, что начало координат совпадает с точкой, к которой приложена сила. Ввиду того, что все величины вектора однородны, их имеет смысл записывать в один ряд, т.е. в один столбец или строку.
Если же мы описываем некоторую силу, приложенную к точке, находящуюся не в начале координат, то мы имеем дело с многокомпонентной величиной — {координаты точки, вектор силы в этой точке}. Компоненты получаются "разнородными", поэтому, подобные описания называются тензором.
Т.е., тензор в общем случае описывает разнородные физические или математические величины, собранные в одну "сущность" (или зависимость м/у несколькими такими величинами). Собсно, поэтому для тензора важно не только его представление, но и физический или математический смысл его компонент, потому что они определяют уникальный для него инвариант.
В моём первоначальном примере (тензор преобразования координат точки) компоненты матрицы содержали разнородные величины:
— линейные зависимости искомых координат от исходных (матрица 2x2 или 3x3 для 2D или 3D соответственно), т.е. коэфициенты подобия и вращения;
— абсолютное смещение в новой системе координат (вектор 2 или 3), т.е. координаты точки в искомой системе координат, соответствующей началу координат в исходной системе.
Инвариантом моего тензора будут являться целевые (искомые) координаты точки, которые не должны зависеть от исходной системы координат.
Или взять твой пример с тензором инерции. Его компоненты получаются из "разнородных сущностей" и описывают векторную связь м/у следующими величинами:
— собственным моментом инерции тела (при вращении через ось, параллельную оси вращения, если бы та проходила через центр масс);
— расстоянием от начала выбранной системы координат до оси вращения объекта и направлением этой оси;
— расстоянием от центра масс тела до оси вращения;
— массы тела.
Эти связи выражены в виде матрицы — проекций векторных и скалярных произведений величин. Инвариантом твоего тензора является такое значение момента инерции или энергии вращения, которое получилось бы в некоей системе координат, где целевая ось вращения вращения совпадала бы с осью Z (направление вектора момента инерции определяется по правилу буравчика, т.е. перпендикулярно плоскости вращения). Т.е., при выборе другой системы координат, умножая угловую скорость в новой системе координат на тензор инерции, мы должны получать тот самый исходный момент инерции.
Здравствуйте, Sharov, Вы писали:
V>>Отличие тензора от вектора в том, что вектор содержит (не знаю как сказать лучше) "однородные" характеристики. S>Вектор содержит направление и магнитуду.
А направление ты как представишь? Опять в виде вектора? ))
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
DM>Открой свою же ссылку и прочитай:
Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, ... однако при этом тензорами не являющиеся:
DM>Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат
И далее пример такой матрицы, которая при линейном преобразовании может лишь вращать и масштабировать, сохраняя начало координат.
Ничего не смущает?
Как ты собрался сохранять инвариант в таком преобразовании?
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
DM>>Открой свою же ссылку и прочитай: "Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, ... однако при этом тензорами не являющиеся: DM>>Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат"
V>И далее пример такой матрицы, которая при линейном преобразовании может лишь вращать и масштабировать, сохраняя начало координат. V>Ничего не смущает? V>Как ты собрался сохранять инвариант в таком преобразовании?
Так я и не собрался, я ж и говорю, что это не тензор.
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
V>>Как ты собрался сохранять инвариант в таком преобразовании? DM>Так я и не собрался, я ж и говорю, что это не тензор.
Верно. В твоём варианте инвариант не сохраняется.
Я надеялся, что тебя в этом месте должно было засмущать нерелевантность твоего примера к моему.
Просто глянь внимательней на мой вариант: http://www.rsdn.org/forum/education/6941536.1
моя матрица 3x2, а не 2x2, про которую в ссылке/цитате утверждается, что она не является тензором.
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>Здравствуйте, sharpcoder, Вы писали:
S>>Tamara G.Kolda : A tensor is a multidimensional array S>>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tamara_G._Kolda
_>Ерунда какая. Ты тогда ещё скажи, что например символ Леви-Чивиты является тензором. )))
—-
Tamara "Tammy" G. Kolda is an American applied mathematician and Distinguished Member of Technical Staff at Sandia National Laboratories. She is noted for her contributions in computational science, multilinear algebra, data mining, graph algorithms, mathematical optimization, parallel computing, and software engineering.[1][2] She is currently a member of the SIAM Board of Trustees and serves as associate editor for both the SIAM Journal on Scientific Computing and the SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications.[3] She received her bachelors degree in mathematics in 1992 from the University of Maryland Baltimore County and her PhD in applied mathematics from the University of Maryland College Park in 1997.
—-
А ты?
Ладно, бог с ними, с авторитетами.
Может расскажешь, как тензор представлен в оперативной памяти процессора?
Что за тендерные процессоры и какие операции они делают?
А то мы не знаем?
А так хочется нейросети научиться кодить
Здравствуйте, sharpcoder, Вы писали:
S>>>Tamara G.Kolda : A tensor is a multidimensional array S>>>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tamara_G._Kolda _>>Ерунда какая. Ты тогда ещё скажи, что например символ Леви-Чивиты является тензором. ))) S>Может расскажешь, как тензор представлен в оперативной памяти процессора? S>Что за тендерные процессоры и какие операции они делают? S>А то мы не знаем? S>А так хочется нейросети научиться кодить
Не стоит путать внутренний жаргон узкого мирка любителей нейронных сетей с общеупотребимым во всей физике и математике термином. )
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"!
Некоторый обьект, свойства которого не зависят от изменения системы координат.
Примеры тензоров (математические):
— число (тензор 0-го ранга)
— вектор (тензор 1-го ранга)
Примеры тензоров (физические):
— упругость материала (тензор 2го ранга)
— инерция твердого тела (тензор 2го ранга)
Тензор может быть представлен в безкомпонентной форме и компонентной форме.
Компонентная форма может иметь разные "проекции" в зависимости от выбора системы координат, но сами компоненты изменяются по определенному правилам при изменении системы координат.
— число в компонетной форме внезапно представляется одной компонентой — числом
— вектор в компонентной форме представляется в виде набора из N чисел (в зависимости от размерности пространства)
— тензоры упругости, напряжений, инерции, (и тд) в компонентной форме представляются матрицами 3x3
— тензор кручения пространства в компонентной форме представляется матрицей 4x4
SO_>Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра", издание ФИзматлит 2007, ISBN 978-5-9221-0778-5 SO_>"Матрицу можно рассматривать как способ задания числовой функции от дискретных переменных i, j или, в терминологии SO_> некоторых языков программирования, как двумерный массив. Данная точка зрения приводит к такому естественному SO_>обобщению, как m-мерный массив (m-мерная матрица) с элементами x i1...im или функция от m индексов i1..im, SO_>часто называемая также тензором"
Тензор 2го ранга может быть представлен в компонентном виде в виде матрицы компонентов. Но никак не наоборот.
Данный форум технически не приспособлен для записи сколь-нибудь сложной математики.
, так и есть.
