Здравствуйте, D14

D14>Аноним прав для случая когда вероятность равенства разных реализаций P{X1=X2} -> 0 .
D14>Для случая большинства непрерывных распределений это так и есть. В дискретным же случае только если это потребовать явно.

А чему, по-твоему, будет равняться такая вероятность в случае дискретных, но неограниченных множеств?

ЗЫ. В случае непрерывных распределений тоже можно извратиться и придумать что-то типа с вероятностью 40% выпадает 0, а остальные по какому-нибудь хитрому маквеллу.

ЗЫЫ. batu прав в случае, если ГСЧ имеет память/демонические возможности (а какие ещё надо иметь, чтобы по-честному выдавать ненулевое распределение на бесконечности) и для которого справедливо условие равенства априорной и апосториорной вероятности, что одно число будет больше, чем другое (апосториорной в данном контексте в смысле после выпадания первого числа)

Здравствуйте, frogkiller, Вы писали:

F>Здравствуйте, D14

D14>>Аноним прав для случая когда вероятность равенства разных реализаций P{X1=X2} -> 0 .
D14>>Для случая большинства непрерывных распределений это так и есть. В дискретным же случае только если это потребовать явно.

F>А чему, по-твоему, будет равняться такая вероятность в случае дискретных, но неограниченных множеств?

В случае, когда с.в. принимает значения на дискретном множестве — неважно ограниченном или нет — какой-то другой величине. Красивого ответа у меня нет. Можно в лоб просуммировать, можно монте-карло каким-нибудь посчитать.

F>ЗЫ. В случае непрерывных распределений тоже можно извратиться и придумать что-то типа с вероятностью 40% выпадает 0, а остальные по какому-нибудь хитрому маквеллу.

С этим согласен.

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>>>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>>>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?

Ш>>Условие некорректное. Не задано распределение вероятности. Если имеется ввиду равномерное, то на множестве целых или вещественных чисел нельзя прстроить равномерного распределения вероятности.

D>А можно привести пример распределения, при котором ответ будет отличаться от 1/(10!)? Сделаем только два предположения, не оговоренных явно, но подразумеваемых: (1) независимость последовательных выдач устройства; (2) вероятность повторения в серии одного и того же числа пренебрежимо мала, по крайней мере для 10-элементной серии.

Если брать вещественные числа, то достаточно потребовать, кроме независимости, P{x==y}=0 .
Если целые, то вероятность всегда будет меньше 1/(n!).

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?
B>После каждого события вероятность получить число большее предыдущему 0,5.
B>Поэтому вероятность (0,5)^9. Значение первого числа не имеет значения.

С чего это она 0.5? Приведи мне пример хотя бы одного распределения на всех целых числах, для которого это верно.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real)?

1. Если требуется строго возрастающая последовательность, то вероятность меньше 1/10! (точное значение зависит от распределения), если нестрого возрастающая, -- больше 1/10!.
2. Вероятность равна 1/10!, если у распределения нет особых точек, вероятность которых больше 0.

Рассмотрим последовательность чисел (x1,x2,...,x10), которую выдал генератор. Если рассмотреть распределение для вектора из 10 чисел, компоненты которого независимы и распределены так, как выдает генератор, то у этого распределения плотность будет "симметричной" в том смысле, что f(x1,...,x10)=f(P(x1,...,x10)), где P -- любая перестановка элементов.

Во втором случае все просто: т.к. вероятность совпадений равна нулю, то все перестановки имеют одинаковую плотность, среди них только одна возрастающая, т.е. все пространство можно разбить на 10! подпространств с одинаковой вероятностью, и одно из них -- все возрастающие последовательности.

В первом случае из-за того, что распределение определено на счетном множестве (нулевой меры), вероятности отдельных точек будут положительны. Таким образом вероятности совпадений будут больше нуля. Если последовательности с совпадениями считать возрастающими, то возрастающие последовательности будут в одном из 10! равновероятных подпространств + еще в других. Если же их считать невозрастающими (требуется строгое возрастание), то возрастающие последовательности будут составлять только часть того самого подпространства (одного из 10!).

Вот, например, пусть распределение имеет положительную равную вероятность 1/n для точек 1,...,n. Мы в пункте 1. Если возрастание строгое, то из n^10 равновероятных последовательностей, только C(n,10) будут возрастающими, вероятность C(n,10)/n^10 = 1/10!*(n-1)/n*(n-2)/n*...*(n-9)/n < 1/10! Если возрастание нестрогое, то посчитаем количество нестрого возрастающих последовательностей. Пусть их K(n,10), тогда K(n,10)=K(n-1,10)+K(n-1,9)+...+K(n-1,0). Далее, если предположить, что K(n-1,m)>(n-1)^m/m!, то K(n,m)m! > sum(j=0,m)(n-1)^j*m!/j! > sum(j=0,m)(n-1)^j*m!/j!/(m-j)! = n^m, т.е. по индукции вероятность K(n,10)/n^10 > 1/10!.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>>>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>>>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?
B>>После каждого события вероятность получить число большее предыдущему 0,5.
B>>Поэтому вероятность (0,5)^9. Значение первого числа не имеет значения.

V>С чего это она 0.5? Приведи мне пример хотя бы одного распределения на всех целых числах, для которого это верно.
Приведи мне пример распределения для которого это не верно.

Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>>>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>>>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>>>>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>>>>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?
B>>>После каждого события вероятность получить число большее предыдущему 0,5.
B>>>Поэтому вероятность (0,5)^9. Значение первого числа не имеет значения.

V>>С чего это она 0.5? Приведи мне пример хотя бы одного распределения на всех целых числах, для которого это верно.
B>Приведи мне пример распределения для которого это не верно.

Да любое. Ну, например, числа от 1 до 5 с равной вероятностью. Чтобы ни выпало, "после этого события" вероятность того, что во второй раз выпадет большее число, не равна 1/2.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, batu, Вы писали:


V>Да любое. Ну, например, числа от 1 до 5 с равной вероятностью. Чтобы ни выпало, "после этого события" вероятность того, что во второй раз выпадет большее число, не равна 1/2.
На бесконечном диапазоне с обоих сторон. Или надо повторять условие задачи?

Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Здравствуйте, batu, Вы писали:
V>>Да любое. Ну, например, числа от 1 до 5 с равной вероятностью. Чтобы ни выпало, "после этого события" вероятность того, что во второй раз выпадет большее число, не равна 1/2.
B>На бесконечном диапазоне с обоих сторон. Или надо повторять условие задачи?

Ну, во-первых, распределение на бесконечном диапазоне может иметь только конечное множество элементов с положительной вероятностью. Ну, а во-вторых, что это меняет? Ну, допустим, у тебя распределение такое: с вероятностью 1/2 ноль, с вероятностью 1/2^(k+2) значения +k и -k, k>0. Покажи мне хоть одно значение, которое выпало в первый раз, такое, что вероятность того, что то, что выпадет во второй раз больше, равна 1/2.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

B>>На бесконечном диапазоне с обоих сторон. Или надо повторять условие задачи?

V>Ну, во-первых, распределение на бесконечном диапазоне может иметь только конечное множество элементов с положительной вероятностью. Ну, а во-вторых, что это меняет? Ну, допустим, у тебя распределение такое: с вероятностью 1/2 ноль, с вероятностью 1/2^(k+2) значения +k и -k, k>0. Покажи мне хоть одно значение, которое выпало в первый раз, такое, что вероятность того, что то, что выпадет во второй раз больше, равна 1/2.

Но правда же, что в исходной задаче интересно не то, с какой вероятностью второе число будет больше после выпадания первого, а то, с какой вероятностью оно будет больше до того.

V>С чего это она 0.5? Приведи мне пример хотя бы одного распределения на всех целых числах, для которого это верно.

P{x1 < x2} = 1 — P{x2 <= x1} = 1 — (P{x2 < x1} + P{x2 = x1}) = 1 — (P{x2 < x1} + 0), но P{x1 < x2} = P{x2 < x1} в силу симметричности. Поэтому, ровно 0,5.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

V>>С чего это она 0.5? Приведи мне пример хотя бы одного распределения на всех целых числах, для которого это верно.

А>P{x1 < x2} = 1 — P{x2 <= x1} = 1 — (P{x2 < x1} + P{x2 = x1}) = 1 — (P{x2 < x1} + 0), но P{x1 < x2} = P{x2 < x1} в силу симметричности. Поэтому, ровно 0,5.

Забавное доказательство. Только не надо было обрезать утверждение. Два замечания.

1) Утверждение было:
B>После каждого события вероятность получить число большее предыдущему 0,5.
B>Поэтому вероятность (0,5)^9. Значение первого числа не имеет значения.

"После каждого события" вероятность 0.5 -- и это как раз и неверно.

2) Верно следующее: вероятность того, что первые два сгенерированные числа будут такие, что x1<x2, равна 1/2 (если распределение не имеет точек с положительной вероятностью, т.е. распределение непрерывное). Т.е. не "после каждого события" она равна 1/2, а как раз до первого события, т.е. не условная, а безусловная вероятность. Но даже в этом случае, отсюда не следует, что вероятность (1/2)^9, она равна 1/2, потому, что 1/2!. Именно в силу симметрии дегко видеть, что безусловная вероятность для трех элементов 1/3!, а не 1/2^2.

Здравствуйте, frogkiller, Вы писали:

F>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

B>>>На бесконечном диапазоне с обоих сторон. Или надо повторять условие задачи?

V>>Ну, во-первых, распределение на бесконечном диапазоне может иметь только конечное множество элементов с положительной вероятностью. Ну, а во-вторых, что это меняет? Ну, допустим, у тебя распределение такое: с вероятностью 1/2 ноль, с вероятностью 1/2^(k+2) значения +k и -k, k>0. Покажи мне хоть одно значение, которое выпало в первый раз, такое, что вероятность того, что то, что выпадет во второй раз больше, равна 1/2.

F>Но правда же, что в исходной задаче интересно не то, с какой вероятностью второе число будет больше после выпадания первого, а то, с какой вероятностью оно будет больше до того.

Вот и я про того же. Во-первых, интересно, как раз ДО, во-вторых, эта вероятность все равно не 1/2, а примерно 1/2 (она 1/2 ДО только для непрерывных распределений), ну и в-третьих, вероятность 1/2 для непрерывных не потому, что 1/2^1, а потому, что 1/2!, для трех вероятность ДО 1/3!, для 10 -- 1/10! Я уже суть решения расписал там где-то.

F>Но правда же, что в исходной задаче интересно не то, с какой вероятностью второе число будет больше после выпадания первого, а то, с какой вероятностью оно будет больше до того.

но вероятность "до" равна усредненной "после". Проблема только в том что усреднять пытались по несуществующему распределению..

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, batu, Вы писали:

B>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>>Здравствуйте, batu, Вы писали:
V>>>Да любое. Ну, например, числа от 1 до 5 с равной вероятностью. Чтобы ни выпало, "после этого события" вероятность того, что во второй раз выпадет большее число, не равна 1/2.
B>>На бесконечном диапазоне с обоих сторон. Или надо повторять условие задачи?

V>Ну, во-первых, распределение на бесконечном диапазоне может иметь только конечное множество элементов с положительной вероятностью. Ну, а во-вторых, что это меняет? Ну, допустим, у тебя распределение такое: с вероятностью 1/2 ноль, с вероятностью 1/2^(k+2) значения +k и -k, k>0. Покажи мне хоть одно значение, которое выпало в первый раз, такое, что вероятность того, что то, что выпадет во второй раз больше, равна 1/2.
Я с тобой согласен. У меня написано "не равно 1/2" Это был ответ тем, кому и твое сообщение предназначено.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real)?

V>1. Если требуется строго возрастающая последовательность, то вероятность меньше 1/10! (точное значение зависит от распределения), если нестрого возрастающая, -- больше 1/10!.
Ну, почему? Я в шоке! Выпало первое число а1. Вероятность того что следующее будет больше=0,5. И такая же вероятность что следующее число меньше тоже 0,5. Откуда вы берете 1/10? Ведь и слева и справа от этого числа будет равное бесконечное количество чисел. Вероятность попадания следующего числа равным предыдущему равна 0! И вообще вероятность попадания значения в любой конечный диапазон тоже =0. Это же классика! Конечно, можно придумать распределение где сумма вероятностей конечного числа значений равна 1, а на остальном множестве 0, но тогда теряет смысл задача. Все. Нет выбора из бесконечного числа значений. Потому как вероятность их выпадения равно 0. Все ограничено только теми числами сумма вероятнстей выпадения которых=0.
V>2. Вероятность равна 1/10!, если у распределения нет особых точек, вероятность которых больше 0.

V>Рассмотрим последовательность чисел (x1,x2,...,x10), которую выдал генератор. Если рассмотреть распределение для вектора из 10 чисел, компоненты которого независимы и распределены так, как выдает генератор, то у этого распределения плотность будет "симметричной" в том смысле, что f(x1,...,x10)=f(P(x1,...,x10)), где P -- любая перестановка элементов.
Классическая ошибка. Вы рассматриваете последовательность при условии что она уже выпала. А вероятность ее выпадения равна 0. Вы про условную вероятность слышали? После этой ошибки все дальнейшии рассуждения не правильные.
Повторюсь. Вероятность того, что выпадут конкретные значения а1, а2, ...а10 равна 0 на бесконечном множестве. Что б было понятней она равна сумме вероятностей Р(а1)+ .. Р(а10) каждая из которых равна 0..

Ужас!!!

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности
А>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?

А>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?
Заметил или нет обе задачи решаются абсолютно одинаково.
Сформулируй вторую задачу заменив вещественные числа на четные. Там другой ответ будет, и лучше будет понимание вероятности на бесконечном множестве.

V>Во втором случае все просто: т.к. вероятность совпадений равна нулю, то все перестановки имеют одинаковую плотность, среди них только одна возрастающая, т.е. все пространство можно разбить на 10! подпространств с одинаковой вероятностью, и одно из них -- все возрастающие последовательности.

А откуда следует, что все перестановки будут равновероятными?

B>Ну, почему? Я в шоке! Выпало первое число а1. Вероятность того что следующее будет больше=0,5. И такая же вероятность что следующее число меньше тоже 0,5. Откуда вы берете 1/10? Ведь и слева и справа от этого числа будет равное бесконечное количество чисел.

Равномерного распределения там быть не может; если взять любое бесконечное, то, так как вероятность интервала (-∞, +∞) равна 1, слева и справа от первой выпавшей точки, очевидно, бесконечные интервалы будут иметь разные конечные вероятности, в сумме дающие 1, зависящие от того, где выпало первое число (я рассматриваю случай вещественных чисел).

А>Следуя этой логики на кнопку нужно нажимать ∞ раз .
А>Вопрос на ту же логику: согласно условию задачи устройство не сломалось, работающее ж, так? а при нажатии оно дает какой-то результат, так? А дальше продолжить?

Я ерунду написал, я привел рассуждения для равномерного распределения, а оно и так для данной задачи смысла не имеет, так как бесконечным быть не может.