Здравствуйте, D14, Вы писали:
D14>Но если рассматривать патологические распределения, то, если не ошибаюсь, ответ будет другим. D14>Пример патологического распределения: машина из точки 0 движется по оси x пока не сломается. Существует ненулевая вероятность, что она сломается при старте.
Это вообще не распредление будет. Фундаментальное свойство случайных событий -- их независимость...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, deniok, Вы писали:
D>А можно привести пример распределения, при котором ответ будет отличаться от 1/(10!)? Сделаем только два предположения, не оговоренных явно, но подразумеваемых: (1) независимость последовательных выдач устройства; (2) вероятность повторения в серии одного и того же числа пренебрежимо мала, по крайней мере для 10-элементной серии.
Очевидно, что нет.
Возьмём множество всех возможных серий без повторов. Очевидно, что серии, отличающиеся только перестановками равновероятны, в силу независимости событий. Отсюда всё следует...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
F>>Имхо мой способ вполне корректен, ведь можно ведь переходить к пределу, когда считается (1 — 1/N)^N. E>Ну пределом функций распределения, будет тождественный 0. Ну решай дальше...
Не. Не так. Я ж не зря привёл пример с 1/e. По твоей логике было бы так: lim(+inf, (1 — 1/N)^N) = (1 — 0)^+inf = 1^=inf = 1. Но это не верно.
Точно так же lim (+inf, sum(f(N)/N) не обязательно будет 0.
Курица — это инструмент, с помощью которого одно яйцо производит другие.
Здравствуйте, frogkiller, Вы писали:
F>Не. Не так. Я ж не зря привёл пример с 1/e. По твоей логике было бы так: lim(+inf, (1 — 1/N)^N) = (1 — 0)^+inf = 1^=inf = 1. Но это не верно. F>Точно так же lim (+inf, sum(f(N)/N) не обязательно будет 0.
Да ноль там предел. Просто вычисли его и всё...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
F>>Точно так же lim (+inf, sum(f(N)/N) не обязательно будет 0. E>Да ноль там предел. Просто вычисли его и всё...
Ты не предел суммы вычисляй, а саму функцию
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, D14, Вы писали:
D14>>А в дискретном случае ИМХО ответ существенно зависит от вида распределения. Поэтому смысла связываться нет.
E>Очевидно, что ответ исходно задачи от распределения почти не зависит
Ты ошибаешся. И в топике есть исчерпывающее объяснение данного "феномена". На моей стороне наука и численный эксперимент
numbers = 4;
attempts = 1000000;
matchAttempts = zeros(attempts,1);
samples=zeros(numbers,1);
for i=1:attempts
samples=randi([-15,15],numbers,1);
matchAttempts(i)=all(samples==sort(samples));
end
disp([sum(matchAttempts) / attempts,1/factorial(numbers)]);
0.0503 0.0417
Как видишь, искомая вероятность для равномерного распределения на [-15;15] и последовательности длины 4 равна 0.0503 супротив предсказанной по факториальной формуле 0.0417
D14>>Но если рассматривать патологические распределения, то, если не ошибаюсь, ответ будет другим. D14>>Пример патологического распределения: машина из точки 0 движется по оси x пока не сломается. Существует ненулевая вероятность, что она сломается при старте.
E>Это вообще не распредление будет. Фундаментальное свойство случайных событий -- их независимость...
Вполне себе будет. У занимающихся, к примеру, теорией надежности вполне себе естественная модель. Устройство с конечной вероятностью ломается при старте, а дальше время наработка на отказ подчинена экспоненциальному распределению.
Здравствуйте, D14, Вы писали:
D14>Как видишь, искомая вероятность для равномерного распределения на [-15;15] и последовательности длины 4 равна 0.0503 супротив предсказанной по факториальной формуле 0.0417
Ну, дык, вероятность повторов ненулевая, вот и не совпадает. Видимо ты два равных числа считаешь отсортированными...
D14>>>Пример патологического распределения: машина из точки 0 движется по оси x пока не сломается. Существует ненулевая вероятность, что она сломается при старте.
E>>Это вообще не распредление будет. Фундаментальное свойство случайных событий -- их независимость...
D14>Вполне себе будет. У занимающихся, к примеру, теорией надежности вполне себе естественная модель. Устройство с конечной вероятностью ломается при старте, а дальше время наработка на отказ подчинена экспоненциальному распределению.
И что? Случайные события тут -- время наработки на отказ РАЗНЫХ экземпляров устройства. Соответственно из-за того, что какое-то устройство сломалось на старте, не следует, что другое сломается или не сломается на старте.
То есть, если мы возьмём 10 устройств и замерим для каждого из них время наработки на отказ, то вероятность того, что мы априори их занумеровали так, что они сломаются в порядке возрастания времени наработки на отказ, будет как раз 1/10!...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну, дык, вероятность повторов ненулевая, вот и не совпадает.
Да, она всегда ненулевая. А я разве утверждал, что это не так?
E>И что? Случайные события тут -- время наработки на отказ РАЗНЫХ экземпляров устройства. Соответственно из-за того, что какое-то устройство сломалось на старте, не следует, что другое сломается или не сломается на старте.
Следует. Если одно устройство сломалось на старте, существует ненулевая вероятность, что второе устройство проработает в точности столько же, сколько первое.
E>То есть, если мы возьмём 10 устройств и замерим для каждого из них время наработки на отказ, то вероятность того, что мы априори их занумеровали так, что они сломаются в порядке возрастания времени наработки на отказ, будет как раз 1/10!...
Борис(c), ты не прав!
Промоделируем ситуацию, когда вероятность совпадения двух реализаций мала.
numbers = 4;
attempts = 1000000;
matchAttempts = zeros(attempts,1);
samples=zeros(numbers,1);
for i=1:attempts
samples=randi([-1000,1000],numbers,1);
matchAttempts(i)=all(samples==sort(samples));
end
disp([sum(matchAttempts) / attempts,1/factorial(numbers)]);
0.0418 0.0417
А теперь изменим распределение ГСЧ таким образом, что он с вероятносью 0.2 ломается и возвращает 0, и получим отличный результат.
numbers = 4;
attempts = 1000000;
matchAttempts = zeros(attempts,1);
samples=zeros(numbers,1);
for i=1:attempts
samples=randi([-1000,1000],numbers,1).*(randi([0,1000],numbers,1)>200);
matchAttempts(i)=all(samples==sort(samples));
end
disp([sum(matchAttempts) / attempts,1/factorial(numbers)]);
0.0553 0.0417
Здравствуйте, D14, Вы писали:
E>>Ну, дык, вероятность повторов ненулевая, вот и не совпадает. D14>Да, она всегда ненулевая. А я разве утверждал, что это не так?
Ну так я и не спорю. Просто в оригинальной задаче, возникает ощущение, что вероятность повторов пренебрежимо мала. А если не пренебрежимо, то в зависимости от того, считаем ли мы два одинаковых числа упорядоченными или нет, вероятность будет немного ниже или выше...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну так я и не спорю. Просто в оригинальной задаче, возникает ощущение, что вероятность повторов пренебрежимо мала.
Лично у меня не возникает. Напротив, уточнение что, имеется распределение на бесконечном интервале свидетельствет в пользу того, что оно обладает неким "хорошим" набором свойств, т.е. с каким-то адекватным матожиданием(возможно небольшим), дисперсией(то же небольшой). Напротив, устремленое к бесконечности равномерное распределение это большая бессмыслица с т.з. теории вероятности и практики. Непонятно, какая у такого распределения дисперсия, матожидание, как выглядит само распределение в формальной записи, и.т.д.
Здравствуйте, D14, Вы писали:
D14>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>>Ну так я и не спорю. Просто в оригинальной задаче, возникает ощущение, что вероятность повторов пренебрежимо мала.
D14>Лично у меня не возникает. Напротив, уточнение что, имеется распределение на бесконечном интервале свидетельствет в пользу того, что оно обладает неким "хорошим" набором свойств, т.е. с каким-то адекватным матожиданием(возможно небольшим), дисперсией(то же небольшой). Напротив, устремленое к бесконечности равномерное распределение это большая бессмыслица с т.з. теории вероятности и практики. Непонятно, какая у такого распределения дисперсия, матожидание, как выглядит само распределение в формальной записи, и.т.д.
А ты ничегоь не путаешь? Вероятность повторов равна нулю, например, для нормального распределения. Причем тут вероятность повторов и существование МО/дисперсии?
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>А ты ничегоь не путаешь?
Нет
V>Вероятность повторов равна нулю, например, для нормального распределения.
Нормальное распределение имеет несчетное число исходов. Я про него сейчас речь не виду.
Но нормальное распределение — это хороший пример. Его счетная аппроксимация таки скорее будет иметь ненулевую вероятность совпадений. И со многими практически встречающимися распределениями так. В отличии от синтетического примера с равномерным распределением устремленным к бесконечности. Поэтому, мне совсем даже не очевидно, что в исходной формулировке подразмевалась нулевая вероятность совпадений. Наоборот.
Здравствуйте, D14, Вы писали:
D14>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>А ты ничегоь не путаешь? D14>Нет V>>Вероятность повторов равна нулю, например, для нормального распределения. D14>Нормальное распределение имеет несчетное число исходов. Я про него сейчас речь не виду. D14>Но нормальное распределение — это хороший пример. Его счетная аппроксимация таки скорее будет иметь ненулевую вероятность совпадений. И со многими практически встречающимися распределениями так. В отличии от синтетического примера с равномерным распределением устремленным к бесконечности. Поэтому, мне совсем даже не очевидно, что в исходной формулировке подразмевалась нулевая вероятность совпадений. Наоборот.
Странно. Егор написал: E>Просто в оригинальной задаче, возникает ощущение, что вероятность повторов пренебрежимо мала.
Ты на это написал: D14>Напротив, уточнение что, имеется распределение на бесконечном интервале свидетельствет в пользу того, что оно обладает неким "хорошим" набором свойств, т.е. с каким-то адекватным матожиданием(возможно небольшим), дисперсией(то же небольшой). Напротив, устремленое к бесконечности равномерное распределение это большая бессмыслица с т.з. теории вероятности и практики. Непонятно, какая у такого распределения дисперсия, матожидание, как выглядит само распределение в формальной записи, и.т.д.
Ну и что здесь, во-первых, правильно (как раз наоборот, на конечном всегда обладает хорошими свойствами -- только здесь это вообще ни при чем), а во-вторых, вообще относится к обсуждаемому вопросу?
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Ну и что здесь, во-первых, правильно (как раз наоборот, на конечном всегда обладает хорошими свойствами -- только здесь это вообще ни при чем), а во-вторых, вообще относится к обсуждаемому вопросу?
Здесь все правильно до тех пор, пока ты не снизойдешь указать конкретно, что именно тебе не понятно, или не верно. Ну, и относится к обсуждаемому вопросу, который не дает покоя Егору, напрямую. Используемые на практике распределения на счетном множестве будут иметь моду сиречь предположение, что вероятностью совпадения двух реализац ий можно пренебречь из исходной формулировки очень даже не очевидна. Ей можно принебречь в пределе, если отталкиваться от равномерного распределения устремленного к бесконечности, но такое распределение само по себе синтетическое и не практичное.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>1. Допустим есть некое абстрактное устройство с кнопкой, которое при нажатии на кнопку выдает случайное целое (integer) число от -бесконечности до +бесконечности А>кнопку нажимают 10 раз — какова вероятность что все числа в возрастающем порядке ?
А>2. А если заменить в условии целые числа на вещественные (real) ?
Можно ещё так подойти:
Допущения: считаем, что числа вещественные и распределение не содержит "особых точек" (т.е. вероятность выдачи совпадающих чисел нулевая).
Других ограничений на распределение не накладывается.
Шаг1. Генерируем первое число n1
Вероятность успеха P = 1.
Шаг2. Генерируем второе число n2
Для двух чисел есть 2 равновероятных исхода: n1>n2 и n1<n2
Нас устраивает только второй вариант.
Итого, общая вероятность успеха P = 1 * 1/2.
Кстати, из этого следует интересный вывод:
на шаге 2, после генерации двух чисел, получаем 3 диапазона: -∞ .. n1 .. n2 .. +∞
при этом, при генерации третьего числа (варианты 1, 3, 4) оно в среднем с одинаковой вероятностью может попасть в любой из этих диапазонов, несмотря на кажущуюся их неравномерность
Это, опять же, говорит о характере распределения (что оно должно иметь повышенную плотность вероятности в диапазоне n1..n2).
M>>>ИМХО здесь неверно. Диапазон [n1 n2] в любом случае конечен. А диапазоны [-inf n1] и [n2 inf] — бесконечны. Поэтому можно предположить, что вероятность попадания в [n1 n2] бесконечно мала, а в [-inf n1] и [n2 inf] — одинаковы. Поскольку нам нужен [n2 inf], то его вероятность — 1/2.
... M>Я понимаю решение с перестановками. Я не понимаю в чем ошибка в рассуждениях с диапазонами.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
F>>Не. Не так. Я ж не зря привёл пример с 1/e. По твоей логике было бы так: lim(+inf, (1 — 1/N)^N) = (1 — 0)^+inf = 1^=inf = 1. Но это не верно. F>>Точно так же lim (+inf, sum(f(N)/N) не обязательно будет 0.
E>Да ноль там предел. Просто вычисли его и всё...
А задачу останова тебе попутно не решить?
ЗЫ. Читаю тему и огорчаюсь, вместо попытки найти общий язык народ ругается. А жаль, ведь задача-то интересная.
ЗЗЫ. А ещё она очень хорошо иллюстрирует разницу между априорной и апосториорной оценкой. Для апосториорной рассуждения о перестановках будут вполне верными. Но фишка в том, что после того, как получили (зафиксировали) все числа, получился пусть очень большой, но фиксированный диапазон чисел. И в нём, да, можно рассуждать в терминах кобинаций и т.д. При этом, пока очередное число не выбрано — всё принципиально не так. Предположим, что у нас таки есть такой ГСЧ, который может выдать дейтвительно неограниченное число. А что это значит — неограниченное? Это значит, что для любого фиксированного числа, мощности множеств чисел, больших и меньших его — одинаковы. Да, операция выбора из этих множеств будет неаддитивной, поэтому говорить о ней как о распределении нельзя. Но если уж мы получили вышеописанный ГСЧ, то придётся с этим смириться.
Теперь, как это всё связанно с исходной задачей. Попробуем индуктивно посмотреть, что происходит на каждом шаге эксперимента. Очевидно, что первое полученное число будет удовлетворять условию возрастания. Теперь пусть у нас есть несколько успешных шагов, т.е. на них у нас были получены возрастающие значения. При каком условии мы продолжим эксперимент? Очевидно, при условии, что новое число будет больше максимального из имеющихся. Это опять приводит нас к выбору из двух равномощных множеств, поскольку это максимальное число, очевидно, фиксированно. Что можно сказать о таком выборе? Ну, что в принципе, что он может быть любым, т.е. имея злой умысел, можно всегда, например, выбирать только одну из кучек. Однако, теория игр с природой говорит, что такую особенность можно эксплуатировать, придумав комплиментраную игру, в которой будем выигрывать при проигрыше в данной. И наихудшим случаем будет ситуация, когда нельзя будет получить бенефит от предпочтения одной из кучек — т.е. когда вероятность выбора из одной кучки будет равна вероятности выбора из другой. Вот такое поведение давайте и будем называть равномерным распределением на бесконечности. Вот как прикольно получилось. Обнаружились связи с новомодной проблемой аксиомы выбора, с вычислимостью и т.д.
ЗЗЗЫ. Вот какая интересная задача. Давайте не будем ругаться (это я к batu и vadimcher'у)
Курица — это инструмент, с помощью которого одно яйцо производит другие.
F>ЗЗЫ. А ещё она очень хорошо иллюстрирует разницу между априорной и апосториорной оценкой. Для апосториорной рассуждения о перестановках будут вполне верными. Но фишка в том, что после того, как получили (зафиксировали) все числа, получился пусть очень большой, но фиксированный диапазон чисел. И в нём, да, можно рассуждать в терминах кобинаций и т.д.
Еще раз. Рассуждения о перестановках верны априорно ДО получения даже первого числа. Пусть X множество всех векторов из 10 чисел, которые мы можем получить после того, как генератор сработает 10 раз. Договоримся, что у нас равномерное распределение, чтобы не впадать в дискуссию о повторяющихся элементах (там я уже тоже все расписал, вроде как). Разделим это множество на 10!+1 часть. В первой части возрастающие последовательности, в следующих 10!-1 -- какие-то их фиксированные перестановки (например, пусть во второй части все такие последовательности, у которых второй элемент меньше всех, а остальные по возрастанию), ну и т.д. В самой последней части -- все вектора из X, у которых есть одинаковые элементы. Мы договорились, что распределение непрерывное, т.е. последняя часть имеет вероятность 0. Так вот как раз АПРИОРНО, до получения первого числа, вероятности всех остальных частей одинаковая. После получения даже первого числа, т.е. условно на это первое значение, это уже не так.
F>При этом, пока очередное число не выбрано — всё принципиально не так. Предположим, что у нас таки есть такой ГСЧ, который может выдать дейтвительно неограниченное число.
Здесь нет совсем никакой проблемы. Возьми конечный генератор для равномерного на [0,1]. Чтобы получить исходное распределение, тебе надо взять F^-1(x). Но тебе даже этого не надо делать. Если распределение непрерывное, то функция распределения F(x) сторого возрастающая, т.е. x1<x2 равносильно F^-1(x1)<F^-1(x2). Т.е. можешь оставаться в пределах [0,1].
F>А что это значит — неограниченное? Это значит, что для любого фиксированного числа, мощности множеств чисел, больших и меньших его — одинаковы.
Мощности здесь ни при чем. Важны не мощности множеств этих чисел, а их вероятности. Важно, какая вероятность получить число большее, или меньшее, когда первое уже получено. А это уже не одна вторая, а зависит от распределения. А вот априорная, как раз 1/2. Например, у меня нормальное распределение.
F>Да, операция выбора из этих множеств будет неаддитивной, поэтому говорить о ней как о распределении нельзя. Но если уж мы получили вышеописанный ГСЧ, то придётся с этим смириться.
Если уж мы представили, что получили вечный двигатель, давайте поговорим о нем.
Ну давайте. Давайте представим, что у нас такой ГСЧ, что вероятность того, что он выдаст x > фиксированного y всегда 1/2, и не зависит от y (т.е. то самое равномерное на бесконечности). Применим его сначала один раз. Получили x. Теперь применим еще раз, с вероятностью 1/2 получили y<x, с вероятностью 1/2 -- y>x. В первом случае (y<x) вероятность того, что третье число <y и <x равна 1/2, >y и >x -- 1/2. Получаем, что вероятность быть между y и x равна нулю. А теперь главное, т.к. испытания независимые, то вероятность попадания в любой интервал при третьем испытании не зависит от исходов первых двух испытаний! Т.е. для любых x и y получаем, что вероятность попасть в интервал (x;y) равна 0. Т.е. такой генератор не может в принципе выдавать никакие конечные числа. Либо, ты неявно предполагаешь, что испытания зависимы -- а тогда это уже другая история с другим ответом.
Очевидно, что задача абстрактно математическая из серии свойства
К реальному миру задача отношения не имеет, нет тут никаких бесконечностей.
Ну а если об идеальном мире..
задачу можно переформулировать так (чтобы избежать слова бесконечность, уж слишком часто с нею неправильно оперируют)
итак. Для любых двух заданных целых чисел вероятность их выпадения равна и отлична от нуля. распределение, кстати, равномерное.
в этом случае надо ответить на вопрос: как соотносится мощности подмножеств целых чисел не превосходящих данное и превосходящих данное. Они равны.
Ответ: 2^-9. уже был здесь озвучен.
попытки решать через комбинаторику в принципе неверные (идущие от непонимания основ матана) — это ж только для конечных интервалов
И в топике есть исчерпывающее объяснение данного "феномена". На моей стороне наука и численный эксперимент
