Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

C>Ээээ... Немного запутался... Вероятность выигрыша 1/2 в любом случае, т.к при любом исходе в конце-концов игрок выбирает между двумя дверями, не зная о том, вырно предлагает ему ведущий сменить дверь, или нет.

В каком еще "любом случае"?

Anyway, ты рассуждаешь о статегии в которой игрок должен принять решение о том, менять ли ему свой выбор или нет. Если он с одинаковой вероятностью принимает одно из двух решений "менять"-"не менять", то вероятность выигрыша действительно будет 1/2.

Я же в своем сообщении говорю об оптимальной стратегии (с точки зрения максимизации вероятности выигрыша), в которой игрок всегда, не раздумывая меняет свой выбор после того, как ведущий откроет свою дверь. При такой стратегии вероятность выигрыша, как уже было однозначно показано, составляет 2/3. Ни больше, ни меньше. Если об этом подумать, это достаточно очевидно.

Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

C>Ээээ... Немного запутался... Вероятность выигрыша 1/2 в любом случае, т.к при любом исходе в конце-концов игрок выбирает между двумя дверями, не зная о том, вырно предлагает ему ведущий сменить дверь, или нет.

Дошло . Сам себе объясняю: игрок вначале с вероятностью 2/3 ошибся, из-за чего с той же вероятностью 2/3 ведущий делает вынужденный выбор, что дает игроку 2 шанса из 3-х найти машину, просто поменяв дверь

Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

C>
АТ>>В двух случаях их трех выбор ведущего просто-напросто в открытую говорит игроку — "машина за оставшейся дверью!". И только в одном случае из трех (если игрок изначально угадал правильно) эта "подсказка" неверна. Отсюда и ответ задачи при стратегии с безусловной сменой двери — вероятность выигрыша 2/3.

C>Нет. Ведущий в открытую говорит игроку "Машина за одной из двух оставшихся дверей!". Да, пусть игрок выбрал вначале дверь неправильно, ...

вероятность этого — 1/3.
тогда после открытия пустой двери, машина гарантировано за оставшейся.
если игрок придерживается "стратегии с безусловной сменой двери — вероятность выигрыша 2/3".

C>... и ведущий вынужденно (а не по выбору, как было бы в случае правильного выбора) открывает пустую дверь, НО ИГРОК НЕ ЗНАЕТ, СЛУЧАЙНО ВЕДУЩИЙ ВЫБИРАЕТ ИЛИ НЕТ! Поэтому и во втором случае выбор игрока произволен, и шанс на успех 1/2, что больше 1/3.

Совершенно верно. Если "во втором случае выбор игрока произволен, и шанс на успех 1/2". С этим никто и не спорит.

Давайте еще раз.

1) Если игрок НЕ меняет первый раз выбранную дверь, то ВСЕ РАВНО что потом делает ведущий, задача эквивалентна просто выбору 1 из 3.

2) Игрок во втором случае СЛУЧАЙНО открывает одну из оставшихся дверей, то ВСЕ РАВНО, какую дверь он выбирал вначале. Задача здесь ПОЛНОСТЬЮ эквивалентна задаче выбора 1 из 2.

3) Игрок ВСЕГДА меняет свой выбор на вторую оставшуюся дверь. И посчитать его шансы можно несколькими способами. Перебрать все варианты, например.

А можно гораздо проще. Раз он меняет свою первую дверь (с шансом 1/3) на оставшуюся (за открытой машины НЕТ — шанс = 0), то шансы оставшейся двери = 1 — 0 — 1/3 = 2/3. Все так просто.

Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

C>Дошло . Сам себе объясняю: игрок вначале с вероятностью 2/3 ошибся, из-за чего с той же вероятностью 2/3 ведущий делает вынужденный выбор, что дает игроку 2 шанса из 3-х найти машину, просто поменяв дверь

Нет. Почему все-таки 2/3. Ведь в итоге важно, чтобы игрок правильно открыл во 2-й раз. А первый раз не важно. Ведь он может сначала выбрать правильную дверь, а потом поменять ее на неправильную.

Здравствуйте, Jenyay, Вы писали:

C>>Дошло . Сам себе объясняю: игрок вначале с вероятностью 2/3 ошибся, из-за чего с той же вероятностью 2/3 ведущий делает вынужденный выбор, что дает игроку 2 шанса из 3-х найти машину, просто поменяв дверь

J>Нет. Почему все-таки 2/3. Ведь в итоге важно, чтобы игрок правильно открыл во 2-й раз. А первый раз не важно. Ведь он может сначала выбрать правильную дверь, а потом поменять ее на неправильную.

Нет. Выбор, сделанный, в первый раз очень важен. Повторяю уже в который раз: в стратегии с безусловной сменой двери, если первый выбор был неправильным, то второй вбор гарантированно будет правильным и наоборот. Таким образом, вероятность правильного второго выбора строго равна вероятности неправильного первого. Вероятность неправильного первого выбора — 2/3.

Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Нет. Выбор, сделанный, в первый раз очень важен. Повторяю уже в который раз: в стратегии с безусловной сменой двери, если первый выбор был неправильным, то второй вбор гарантированно будет правильным и наоборот. Таким образом, вероятность правильного второго выбора строго равна вероятности неправильного первого. Вероятность неправильного первого выбора — 2/3.

Правильно. Но ведь игрок не знает, надо ему менять дверь или нет. Так ему, естественно, дают 2 шанса. Если бы после первого выбора (если бы он был правильный) дали бы машину и не мучали. А так ему все-равно предложат еще раз открыть, не зная результата 1-го открытия.

Здравствуйте, Jenyay, Вы писали:

АТ>>Нет. Выбор, сделанный, в первый раз очень важен. Повторяю уже в который раз: в стратегии с безусловной сменой двери, если первый выбор был неправильным, то второй вбор гарантированно будет правильным и наоборот. Таким образом, вероятность правильного второго выбора строго равна вероятности неправильного первого. Вероятность неправильного первого выбора — 2/3.

J>Правильно. Но ведь игрок не знает, надо ему менять дверь или нет. Так ему, естественно, дают 2 шанса. Если бы после первого выбора (если бы он был правильный) дали бы машину и не мучали. А так ему все-равно предложат еще раз открыть, не зная результата 1-го открытия.

Ну так речь идет о том, что игроку надо заранее выбрать стратегию, согласно которой действовать, чтобы максимизировать свои шансы.

Оптимальной стратегией является стратегия с безусловной сменой выбранной двери. Т.е. игрок знает, что дверь менять надо. Такая стратегия дает вероятность выигрыша 2/3. Разумеется, игрок не может знать, приведет ли эта смена к выигрышу. Если бы он знал, он мог бы довести вероятность выигрыша до 1. Но об этом речи не идет. Речь идет не о стопроцентном выигрыше, а о максимизации шансов (которые все равно не будут стопроцентными). Реально достижимиый максимум — вероятность выигрыша 2/3.

Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Ну так речь идет о том, что игроку надо заранее выбрать стратегию, согласно которой действовать, чтобы максимизировать свои шансы.

Ааа. Понял. Спасибо.

Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>Монти Холл — "Let's make a deal"

Уважаемые коллеги, не в силах обозреть всё, что по данной теме написано, позволил себе влезть в первые ряды.
К моему стыду (а ведь когда-то сдал теор.вер. на 5), не все варианты задачи для меня очевидны.
Пошёл по принципу, провозглашённому некогда одним из моих профессоров в Алма Матер:
"Дайте нам факт, а мы подведём под него теорию".

Чтобы добыть факты, соорудил программку, моделирующую два варианта игры:

Дано: N дверей; одна машина; большое желание выиграть.
Вариант 1:
Вы выбираете дверь. МХ открывает все оставшиеся, кроме одной (они пусты, само собой). Вам предлагают возможность сменить выбор.

Вариант 2:
Вы выбираете дверь. МХ открывает одну пустую дверь. Вам предлагают возможность сменить выбор.
После того, как Вы сменили (или нет) свой выбор, МХ снова открывает одну пустую дверь...
И так до упора, когда Вам придётся выбирать из 2-х оставшихся дверей.

В модели предполагается, что Вы всегда соглашаетесь сменить свой выбор.

Вот факты (т.е. результаты, просчитанные как ср. арифметическое 10000 проб для различных N):
Вариант 2: (результат для меня очевидный)
1 — 1/N

Вариант 1: (результат для меня неочевидный)
2/3

Прошу подводить Ваши теории под данные факты, товарищи господа.

Здравствуйте, filkov, Вы писали:

F>Вариант 2:
F>Вы выбираете дверь. МХ открывает одну пустую дверь. Вам предлагают возможность сменить выбор.
F>После того, как Вы сменили (или нет) свой выбор, МХ снова открывает одну пустую дверь...
F>И так до упора, когда Вам придётся выбирать из 2-х оставшихся дверей.

F>В модели предполагается, что Вы всегда соглашаетесь сменить свой выбор.

F>Вариант 1: (результат для меня неочевидный)
F>2/3

F>Прошу подводить Ваши теории под данные факты, товарищи господа.

На последнем шаге осталось 3 двери — на одной мы находимся и две закрытые. Вероятность того, что мы находимся на двери с машиной — 1/3. МХ открывает только пустую дверь. Следовательно, вероятность того, что оставшаяся дверь с машиной равна 1 — 1/3 = 2/3.

Здравствуйте, Anatolix, Вы писали:

A>Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

A>Дак вот как вы думаете вы сразу угадали дверь(вероятность одна из ста) или нет и вам всетаки стоит ее сменить

Это не мат. стат., а психология самая натуральная.

Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Ну так речь идет о том, что игроку надо заранее выбрать стратегию, согласно которой действовать, чтобы максимизировать свои шансы.

АТ>Оптимальной стратегией является стратегия с безусловной сменой выбранной двери. Т.е. игрок знает, что дверь менять надо. Такая стратегия дает вероятность выигрыша 2/3. Разумеется, игрок не может знать, приведет ли эта смена к выигрышу. Если бы он знал, он мог бы довести вероятность выигрыша до 1. Но об этом речи не идет. Речь идет не о стопроцентном выигрыше, а о максимизации шансов (которые все равно не будут стопроцентными). Реально достижимиый максимум — вероятность выигрыша 2/3.

Вот математически правильное обоснование (по формуле полной вероятности).

Есть две взаимоисключаемые стратегии:"А1: второй раз оставлять выбор двери" и "А2: второй раз менять дверь". Пусть вероятность выбора стратегии р(А1)=p1, тогда р(А2)=1-p1.

Теперь событие "В: Открыли дверь с машиной" распадается на р(В)=р(В|А1)*р(А1) + р(В|А2)*р(а2). Вероятности р(В|Аi) мы уже вычислили в предыдущем: р(В|А1)=1/3 и р(В|А2)=2/3.

Поэтому р(В)=1/3*р1 + 2/3*(1-р1)=2/3-1/3*р1=1/3*(2-р1).
Если выбираем безусловно первую стратегию, то р1=1 и р(В)=1/3.
Если случайно и равновероятно, то р1=1/2 и р(В)=1/2.
Если безусловно вторую стратегию, то р1=0 и р(В)=2/3.

Очевидно, что максимум вероятности как линейной функции равен 2/3 при р1=0.

Здравствуйте, filkov, Вы писали:

F>Дано: N дверей; одна машина; большое желание выиграть.
F>Вариант 1:
F>Вы выбираете дверь. МХ открывает все оставшиеся, кроме одной (они пусты, само собой). Вам предлагают возможность сменить выбор.

F>В модели предполагается, что Вы всегда соглашаетесь сменить свой выбор.

F>Вот факты (т.е. результаты, просчитанные как ср. арифметическое 10000 проб для различных N):

F>Вариант 1: (результат для меня неочевидный)
F>2/3

F>Прошу подводить Ваши теории под данные факты, товарищи господа.

Что такое 2/3? Для какого (каких?) N? Каком образом выбирались эти "различные N"? У тебя что, вероятность в таком варианте получилась не зависящей от N? Это, разумеется, неверно. Для N дверей вероятность выигрыша равна (N-1)/N, что намного больше 2/3 для больших N.

Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>У тебя что, вероятность в таком варианте получилась не зависящей от N? Это, разумеется, неверно.
Мне бы Вашу уверенность... Для меня это никак не разумеется.

Прошу прощения, с опозданием заметил свою опечатку. Должно быть:

Вариант 1: (для меня очевидно) 
1 - 1/N 

Вариант 2: (для меня неочевидно) 
2/3

Вы очевидно, говорите про вариант 1. Так там я и указал вероятность 1 — 1/N, что в точности равняется Вашим (N-1)/N, обратите внимание.
А если же Вы говорите про вариант 2, было бы очень поучительно привести доказательство.

Благодарю

Здравствуйте, filkov, Вы писали:

F>Вариант 2: (результат для меня неочевидный)
F>2/3

F>А если же Вы говорите про вариант 2, было бы очень поучительно привести доказательство.

Рассуждения таковы. Если стратегии "A1:оставить выбор на текущем выборе" и "A2:выбрать произвольно среди неоткрытых, исключая текущий выбор", то опять же P(A1) + P(A2) = 1. Далее, число должно быть нечетным, т.е. N = 2K+1
Последний шаг (m=K):.......... P[K] = P[K-1]*P(A1) + (1-P[K-1])*P(A2)
Предпоследний шаг (m=K-1): P[m] = P[m-1]*P(A1) + 1/(N-2m)*P(A2) = P[m-1]*P(A1) + 1/(N-2K+2)*P(A2) = P[m-1]*P(A1) + 1/3*P(A2).
m-тый шаг (m=m):............... P[m] = P[m-1]*P(A1) + 1/(N-2m)*P(A2)
Первый шаг (m=1):.............. P[1] = 1/N*P(A1) + 1/(N-2)*P(A2)

Поэтому, если мы безусловно выбираем стратегию A2, то P(A2)=1 и P(A1)=0, тогда P[K] = 1-P[K-1] = 2/3.

Привет всем!

Мне кажется, что подобные дебаты разворачиваются в силу того, что большинство участвующих в них лиц говорят о совершенно разных задачах.

А мы забываем о главном. Слава Богу, жил в нашей стране Андрей Николаевич, благодаря которому в современной теории верооятностей нет необходимости говорить лишние слова! Надо лишь формализовать задачу, явно указав тем самым, что мы имеем в виду. В дискретном случае формализация состоит в определении множества элементарных событий и определении их вероятностей.

Итак, зададим четверку чисел от 1 до 3. Первое число — дверь, за которой стоит машина, второе число — дверь, которую мы выбираем в первый раз, третье — дверь, которую открывает ведущий, и, наконец, четвертое — наше окончательное решение.

Фактически мы имеем вектор случайных величин. А какие его компоненты как распределены, зависимы или нет и т.п. — это уже и есть постановка конкретной задачи.

Первое и второе числа по условию у нас имеют случайное равномерное распределение. В принципе, мы могли бы сразу поставить машину, например, за первую дверь, а выбор оставить случайным. Но (чтобы не порождать дальнейшие дебаты), мы этого делать не будем.

Третье число по условию является зависимым от первых двух. А именно, оно обязано не совпадать с ними. Поэтому четверки, в которых третье число совпадает с одним из первых двух чисел, имеют нулевую вероятность. Если игрок с первого раза угадал, то ведущий открывает оставшиеся двери с равной вероятностью. Можно, на самом деле, в этом случае положить любую верятность, результат от этого не изменится.

Четвертое число и определило объем сего топика. Его распределение определяет стратегию игрока. Выше были рассмотрены следующие варианты стратегий:
— "упрямая" — игрок стоит на своем;
— "случайная" — игрок случайно выбирает одну из оставшихся дверей;
— "умная" — игрок меняет свой выбор.
Мы же формализуем все стратегии следующим образом — игрок с верятностью p меняет свой выбор.

Исходы   Вероятность
+явЯ
1121 +   1/9 * (1-p) * 0.5
1123     1/9 * p * 0.5
1131 +   1/9 * (1-p) * 0.5
1132     1/9 * p * 0.5
1231 +   1/9 * p
1232     1/9 * (1-p)
1321 +   1/9 * p
1323     1/9 * (1-p)
2132 +   1/9 * p
2131     1/9 * (1-p)
2212 +   1/9 * (1-p) * 0.5
2213     1/9 * p * 0.5
2231     1/9 * p * 0.5
2232 +   1/9 * (1-p) * 0.5
2312 +   1/9 * p
2313     1/9 * (1-p)
3123 +   1/9 * p
3121     1/9 * (1-p)
3213 +   1/9 * p
3212     1/9 * (1-p)
3312     1/9 * p * 0.5
3313 +   1/9 * (1-p) * 0.5
3321     1/9 * p * 0.5
3323 +   1/9 * (1-p) * 0.5

Итак, верятность успеха (1 + p) / 3 !

Т.е., чем с большей вероятностью мы меняем свое мнение, тем с большей вероятностью мы выигрываем. Выгоднее всего поменять решение — вероятность выигрыша 2/3.

Верятность в стратегиях:
— "упрямая" — 1/3;
— "случайная" — 1/2;
— "умная" — 2/3.

Вероятность разочарования, т.е. когда сразу угадал, а потом поменял решение — p/3. Эта вероятность растет вместе с вероятностью выигрыша. При наиболее выгодной "умной" стратегии составляет 1/3 — берегите нервы, друзья!

Здравствуйте, Slamin, Вы писали:

S>Здравствуйте, Slamin, Вы писали:

S>>Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>>> Дает ли это вам пpеимущества?
S>>Да.

S>Вот моя цепочка рассуждений. Допустим ведущий загадал карту и сказал вам ее (туз пик для примера), после этого предложил выбрать одну из колоды. После того как вы выбрали ведущий переворачивает все карты кроме одной — туза пик там нет. Итого имеем две закрытые карты: у вас и у ведущего. Вероятность того что туз пик окажется у ведущего на много больше.

хехе не прошло и года....
но позвольте не согласиться... вероятность того что у ведущего туз пик , таже самая что и у вас, НО при одном условии, что он заранее знает какая из карт туз пик, т.е. он при выборе тех карт которые он вам показывает (все кроме одной своей и одной вашей) он (ведущий) на них даже не смотрит!!! и действительно к чему??? он же знает где туз пик, поэтому нероятность того что карта у него такаяже как и того что она у вас.

A>Самое простое обоснование задачи: изменим значение констант в условии. Теперь у нас не 3 двери, а сто дверей. Итак ты показываешь на любую дверь, вероятность равна 1/100. На что ведущий открывает 98 дверей и показывает что за ними ничего нет.

вероятность повышается ТОЛЬКО ПРИ УСЛОВИИ что ведущий будет открывать ЗАВЕДОМО пустые двери...

если ведущий открывает двери наугад и при открывании двери с машиной вы сразу проигрываете, то вероятность того что в оставшейся двери машина точно такая же как и вероятность того что машина в двери которую выбрали вы т.е 1/100

Здравствуйте, _JoKe_, Вы писали:

Не прошло и двух лет

Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>Монти Холл — ведущий пеpедачи "Let's make a deal"

Кто-то правда считает, что получая возможность повторного выбора, мы будем иметь вероятность выигрыша больше чем 1/2 ?

А если бы Монти Холл сплясал лизгинку, а потом открыл всегда существующую пустую дверь, как бы изменилась вероятность нашего выигрыша?