Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Расскажите о своих любимых.

В детстве подарили вот эту: Литлвуд Дж. 'Математическая смесь'
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000036/index.shtml
Весьма развлекала.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma> а Сканави — там слишком много задач (он у меня был, но я оттуда ничё не решал), к тому же это просто сборник задач ..

Я учился в школе с биологическим уклоном, не физ-мат. У нас в 10-11 классе учебником был Сканави группы А-Г. Я с легкостью сдал экзамены в 3 физ-мат фуза — МехМат МГУ, МГТУ, МИФИ и выбирал. В ФИЗТЕХ не поступал, так как ездить далеко. А так же поступил на Биофак МГУ, но родители настояли, что бы я бросал заниматься глупостями, а шел по физмат направлению. Математикой как наукой никогда не увлекался, хотя давалась она мне легко. До сих пор не фанат математики, хотя прикладной математик, ибо для меня это инструмент, как циркуль или карандаш применительно к чему-либо... не важно будь то физика, биология, экономика или программирование.

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Расскажите о своих любимых.

M>Я не был суперотличником по математике и не поступил в топовое место. Но я любил обдумывать то, что у меня получалось, и иногда находил интересные вещи. Допустим, я наткнулся, что 0,999... и 1 — это одно и то же? И начал думать об этом. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии это, вроде бы, было так, но сознание никак не могло что-либо сделать с этим и понять, в чём тут дело. Это один из примеров. Допустим, ещё из таких штук: я придумал, как не учить тригонометрические формулы. Ну и т.д. К сожалению, много времени прошло, и я сейчас не готов вспомнить, что там ещё из такого было.

M>Но изначально заданный вопрос — о книгах. Я ни одной нормально не прочитал до конца. Ну и что.

M>Из тематики школьной и вступительной мне нравились "Математика. Справочник" Черкасова и Якушева, "Математика — абитуриенту" Ткачука и справочник по теории Смирнова.

M>Нравилась "Комбинаторика" троих Виленкиных.

M>Нравились все мелкие книги А. Шеня.


M>В общем, интересно, что вам нравилось и производило впечатление.

И.Н.Бронштейн и К.А. Семендяев
«Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.»

Здравствуйте, a7d3, Вы писали:

один из лучших постов, что я пока прочёл на форуме, спасибо.
Сразу не ответил просто потому, что не сразу увидел, проскочило.

Здравствуйте, lpd, Вы писали:

lpd>Например, мощность множеств. Натуральных чисел столько же, сколько целых.

Это утверждение не совсем корректно. Доказывая это некоторыми трюками можно прийти к такому выводу. А другими трюками можно доказать что целых в 2 раза больше.
Например, найдем отношение целых и натуральных на интервале [-N, N], будет ровно 2, без нуля. Если найдем предел N->infinity, то по прежнему будет 2.
Если под "столько же" подразумевается что 2 * infinity = infinity. То infinity это не число, и это имеет смысл только в ограниченном контексте.
"Полноценных"(полностью корректных в всех контекстах) бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>"Полноценных"(полностью корректных в всех контекстах) бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.

Я про мощность множества — оно общепринято. И известный диагональный метод Кантора.

Здравствуйте, lpd, Вы писали:

S_S>>"Полноценных" бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.

lpd>Я про мощность множества — оно общепринято.

Да. Но после таких трюков надо с осторожностью относится к таким формулировкам:

... содержат одинаковое количество элементов

Если туда неявно прокралась infinity.
Так же, как в таком уравнении 2*infinity=infinity. Здесь уже операции '=','*' над другими типами данных — а не числовыми. Так же как в ЯП операции над string — уже не арифметические.
Для традиционных операций — целых чисел вдвое больше, чем натуральных, даже при бесконечных количествах (точнее предел к бесконечности)

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Да. Но после таких трюков надо с осторожностью относится к таким формулировкам:

Я предлагаю для начала определиться с тем, что такое число. Например, что такое число 3? Насколько я знаю, с этим не всё так просто:

«Троичность» — это абстрактное свойство, присущее всем наборам, или множествам, содержащим по три объекта. Например, «троичность» может быть использована и при описании поросят в известной детской песенке, и при описании множества сторон треугольника. Фреге заметил, что свойством «троичности» обладают многочисленные множества и воспользовался абстрактной идеей таких множеств для определения самого числа «3». Он создал новое множество и поместил в него все множества, обладающие свойством троичности, и назвал это новое множество «множество 3». Таким образом множество имеет три члена в том и только в том случае, если оно принадлежит «множеству 3».

Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:

N>Здравствуйте, Miroff, Вы писали:

M>>Странно что никто Бурбаки не вспомнил

N>А у них было что-то интересное?
Ну почти все книги картана довольно интересные.

Здравствуйте, lpd, Вы писали:

lpd>Я про мощность множества[/url] — оно общепринято.

Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу.

Возьмем ряд всех возможных натуральных чисел: 1,2,3,..., infinity
Умножим каждый элемент ряда на 2: 2,4,6,..., 2*infinity
Теперь это ряд всех возможных четных натуральных. И, якобы, из-за умножения количество элементов не могло измениться.

Но подвох виден если взять "более мягкий" вариант бесконечности:
Сделаем первый ряд конечным [1,N], но скажем — возьмем какое угодно большое N. При умножении на 2, верхняя граница тоже удваивается — так не корректно подсчитывать на разных интервалах.
А если считать на одинаковых интервалах, то четных вдвое меньше.

Здесь неявно вкралось сомнительное уравнение: 2*infinity = infinity

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

Судя по библиографии ты так и не поступил никуда.

TM>Судя по библиографии ты так и не поступил никуда.

С какой целью ты это написал?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу.

Ну и каша у Вас в голове! Вы в лейб-гвардии не служили?

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Ну и каша у Вас в голове!

Это было не мое доказательство. Каша у писателей статей про парадоксы с бесконечностями в математике.
Или ты о другом, и тоже считаешь, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных или целых?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Это было не мое доказательство. Каша у писателей статей про парадоксы с бесконечностями в математике.

В математике есть аксиомы и есть теоремы, выводимые из них.


S_S>Или ты о другом, и тоже считаешь, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных или целых?

Вот согласно аксиомам и теоремам так и есть. Только не в том контексте, как его используешь ты. В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.

Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:

N> В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.

Теорема кривоватая из-за кривого определения "сравнения мощностей бесконечных множеств".

Можешь ответить на вопрос: у 2 множеств, приведенные ниже, мощности равны? :
Первое конечное множество [1,2,...,N]
Второе множество образуется добавлением ровно одного элемента 1+N
Т.е. по определению во втором множестве всегда на 1 элемент больше.
Теперь устремим N к бесконечности (N -> infinity)
Здесь мощности равны? Хотя во втором все равно на 1 элемент больше?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

N>> В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.

S_S>Теорема кривоватая из-за кривого определения "сравнения мощностей бесконечных множеств".

Определение равномощности простое и понятное. Если Вы не в состоянии его уразуметь, это Ваши проблемы.

Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания. Вообще-то, одно из определений конечно множества — это такое множество, которое не равномощно никакому своему собственному (т.е. не совпадающему с ним) подмножеству. При таком подходе натуральное число можно определить как мощность конечного (в смысле приведенного ранее определения) множества (конечный кардинал). Для конечного кардинала N в самом деле N <> N + 1. А вот если N — бесконечный кардинал (например "алеф-0" — мощность множества натуральных чисел), то N = N + 1 = N + N = N * N.... Но! N < 2^N (мощность множества всех его подмножеств). А вот существуют ли множества мощности промежуточной между N и 2^N — это как раз содержание т.н "континуум-гипотезы".

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Определение равномощности просто я понятное. Если Вы не в состоянии его уразуметь, это Ваши проблемы.
Простое но бесполезное.

3>Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания.
Еще хуже — убеждение, что бесконечностей вообще не существует. Для практических целей существуют только пределы — доказали свою полезность.

А эти все костыли, создают больше проблем, чем решают.

одно из определений конечно множества — это такое множество, которое не равномощно никакому своему собственному (т.е. не совпадающему с ним) подмножеству
N = N + 1 = N + N ...

Есть хоть какое то разумное объяснение — почему нельзя делать предельный переход для простой формулы подсчета "того что целых в 2 раза больше, чем натуральных".
Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Есть хоть какое то разумное объяснение — почему нельзя делать предельный переход для простой формулы подсчета "того что целых в 2 раза больше, чем натуральных".

Доказывать в математике нужно как раз возможность предельного перехода, всегда, и часто получается что переход сделать нельзя без доп. условий. Тебе тогда уж нужно определить число элементов не обязательно конечного множества.
А опровергнуть твое рассуждение очень просто. Равномощные множества — упрощенно — такие, для элементов которых можно построить взаимно-однозначное соответствие между ними. И строится взаимно-однозначное соответствие между целыми и натуральными:
N Z
1 0
2 1
3 -1
4 2
5 -2
6 3
7 -3
8 4
... ...
Таким образом каждому целому соответствует одно натуральное, и наоборот.
Аналогично можно элементарно доказать, что множество рациональных равномощно целым, и, следовательно, натуральным.
А вот действительные уже не равномощны им, это и доказывает диагональный метод Кантора, тоже тривиальный.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.

Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла. Значение работ Кантора (которые Вы именуете "костылями") как раз и состоит в изобретении способа правильно обращаться с бесконечными множествами. В принципе, существуют направления в математике, которые обходятся без "актуальной бесконечности" (например интуиционизм). Просто оказывается, что в рамках этого подхода можно очень мало чего содержательного сказать.

А с "предельными переходами" нужно быть весьма аккуратным, даже когда речь идет об анализе, где корректный подход был выработан только во второй половине 19 века (Коши и Вейерштрасс). Для начала попробуйте внятно сформулировать (для себя), в каком смысле множество всех натуральных чисел является "пределом" конечных интервалов [0, N]. Далеко не всегда при предельном переходе предел наследует все свойства членов последовательности, которая к оному пределу "стремится". Например последовательность функций может "сходиться" в очень многих разных смыслах. И, в зависимости от того, в каком смысле она сходится, свойства предела могут быть очень различными.

Еще раз. Основным источником проблем "чайников" пытающихся рассуждать о математике является оперирование не до конца (или некорректно) определенными понятиями. Поэтому у них и получается игра в софизмы типа античних "парадоксов". Кстати, Ваш "предельный переход" чем-то близок парадоксу Ахиллеса и черепахи.