Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

S_S>>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.
3>Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла.

Ну почему же лишена. Даже по-простому без лишних формальностей.
Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+N], выкинем 0 (это не существенно)

При N = 3: целых 6, натуральных 3, соотношение 2
...
При N = 1000, Целых 2000, натуральных 1000, соотношение 2
...
Через триллион триллионов лет ... снова соотношение 2.
И никогда уже не получится изменить это соотношение 2.

В этом есть большой практический смысл — знать это соотношение.
И весь мат анализ построен на таких трюках дающих конкретный практический результат.
Пределы — по сути, это когда пытаются "сократить бесконечности", выполняя только корректные операции, т.к. на самих бесконечностях арифметические операции не определены(не существуют).

Здравствуйте, lpd, Вы писали:

lpd> И строится взаимо-однозначное соответствие между целыми и натуральными:
lpd>N Z
lpd>1 0
lpd>2 1
lpd>3 -1
lpd>4 2
lpd>5 -2
lpd>5 3
lpd>6 -3
lpd>7 4
lpd>... ...
lpd>Таким образом каждому целому соответствует одно натуральное, и наоборот.

Когда работаем с конечными интервалами, существенно — на одинаковом интервале подсчитывается или нет.
Там у тебя для натуральных выбран интервал [1..7], а для целых [-3..4]. Если и натуральные тоже посчитаешь на [-3..4], то получится только 4 штуки, против 8 целых.
Если применять "предельный переход", то хотя бы корректно это делать.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Если применять "предельный переход", то хотя бы корректно это делать.

Предельный переход не имеет отношения к этому доказательству, тут строится взаимно-однозначное соответствие.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

3>>Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла.

S_S>Ну почему же лишена. Даже по-простому без лишних формальностей.

"По-простому" только кошки совокупляются . Математики "без лишних формальностей" не бывает. Бывают "правдоподобные рассуждения". Различной степени правдоподобия но обычно ошибочные. Жаль, что Вы даже этого не понимаете. Греки это поняли 2000 лет назад.

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>"По-простому" только кошки совокупляются . Математики "без лишних формальностей" не бывает. Бывают "правдоподобные рассуждения". Различной степени правдоподобия но обычно ошибочные. Жаль, что Вы даже этого не понимаете. Греки это поняли 2000 лет назад.

А ты понимаешь, что в "конечной математике", где, скажем, самое большое число 10 в триллионной степени. Количество целых в 2 раза больше, чем натуральных.
И это имеет больший практический смысл, чем абстрактные допущения (не доказанные), о том что существуют бесконечности. И на них какие-то абстрактные выводы о равной мощности.
Если 10 в триллионной степени даже мало, для компьютерных вычислений. То тут вообще то речь, о каком угодно большом числе, но чисто условно конечном (которому не нужны N + 1 = N).

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>А ты понимаешь, что в "конечной математике", где, скажем, самое большое число 10 в триллионной степени. Количество целых в 2 раза больше, чем натуральных.
S_S>И это имеет больший практический смысл, чем абстрактные допущения (не доказанные), о том что существуют бесконечности. И на них какие-то абстрактные выводы о равной мощности.
S_S>Если 10 в триллионной степени даже мало, для компьютерных вычислений. То тут вообще то речь, о каком угодно большом числе, но чисто условно конечном (которому не нужны N + 1 = N).

Математика, мой необразованный юный собеседник, не сводится к компьютерным вычислениям. Как я уже говорил, существуют направления в математике, обходящиеся без актуальной бесконечности (полностью или использующие ее с ограничениями, например без аксиомы выбора). Только вот того, что можно доказать с таким подходом, сильно недостаточно даже для прикладных задач (в том числе тех, для которых компьютерные вычисления используются). Простейший пример — понятие вещественного числа. Тут уж Вы никак не обойдетесь финитарными аппроксимациями, если хотите построить хоть сколько-нибудь полезный "мат. анализ", хотя бы на уровне аккуратного определения сходимости и производной. То, что в компьютере "вещественных чисел" конечное число, ничего не меняет. Несомненно, оперирования с бесконечностями требует некоторой привычки и образования. Незрелым умам лучше на подобные темы не рассуждать. По крайне мере публично. Просто чтобы не выглядеть совсем уж глупо. А Ваши познания в этой области явно less than rudimentary.
Засим откланиваюсь, ибо дальнейшее обсуждение явно бесполезно.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

3>>Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания.
S_S>Еще хуже — убеждение, что бесконечностей вообще не существует. Для практических целей существуют только пределы — доказали свою полезность.
В математике вообще ничего не "существует". Важно только то, что утверждения логически верны и правильно выводятся из аксиом.

S_S>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.
Если это так, то сломается куча всего в матанализе. Ведь если целых в 2 раза больше, то и нельзя (например), сопоставить tg(x) и arctan(x). Так как tan(x) может принимать сколь угодно большие значения, а вот arctan — только из ограниченного интервала.

Да и вообще вся концепция обратной функции теряет смысл, кроме как для линейной функции.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу.
S_S>Возьмем ряд всех возможных натуральных чисел: 1,2,3,..., infinity
S_S>Умножим каждый элемент ряда на 2: 2,4,6,..., 2*infinity
S_S>Теперь это ряд всех возможных четных натуральных. И, якобы, из-за умножения количество элементов не могло измениться.
Умножение тут вообще непричём.

Два множества равномощны (имеют одинаковый размер), если каждому элементу одного множества можно сопоставить ровно один элемент из другого. Т.е. если есть хотя бы один метод такого сопоставления ("отображение").

В случае с чётными и натуральными числами очевидный способ создания такого отображения — это сопоставить числа друг другу с помощью операции умножения. Так что 1 отображается в 2, 2 в 4, 3 в 6 и т.д. Можно легко доказать, что это отображение отвечает всем условиям.

Более того, можно сопоставить натуральные числа и все рациональные. Ещё хуже, можно сопоставить натуральные числа и все алгебраические.

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3> если хотите построить хоть сколько-нибудь полезный "мат. анализ", хотя бы на уровне аккуратного определения сходимости и производной.

Мат. анализ появился задолго до "аксиоматической теории множеств". Потом уже начали пытаться создавать аксиоматическую теорию и подгонять под существующий результат. И там было не все однозначно и гладко ...

Но меня интересует конкретный вопрос.
В примере выше, сравнивая множества целых и натуральных получилось 2 результата.
1) Мощности равны.
2) Целых в 2 раза больше, чем натуральных.

Как математики это интерпретируют? Что из приведенного ниже верно, или есть еще варианты ?
— Либо второй результат полностью ошибочный.
— Либо оба правильных. Второй точный, а первый приблизительный(более абстрактный). И в случаях, где можно сравнить точно, незачем применять приблизительное сравнение мощностей...

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>В случае с чётными и натуральными числами очевидный способ создания такого отображения — это сопоставить числа друг другу с помощью операции умножения. Так что 1 отображается в 2, 2 в 4, 3 в 6 и т.д. Можно легко доказать, что это отображение отвечает всем условиям.

Меня интересовал конкретно только этот вопрос (первое предложение можно отбросить) : https://rsdn.org/forum/education/8009171.1

Автор: Silver_S
Дата: 15.05.21

И все высказывания в этом контексте. Ответа я не дождался. Не считая ответа : "по-простому только кошки плодятся".
Если там недостаточно подробно, то в предыдущих постах ветки пояснения.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Меня интересовал конкретно только этот вопрос (первое предложение можно отбросить) : https://rsdn.org/forum/education/8009171.1

Автор: Silver_S
Дата: 15.05.21

S_S>И все высказывания в этом контексте. Ответа я не дождался. Не считая ответа : "по-простому только кошки плодятся".
S_S>Если там недостаточно подробно, то в предыдущих постах ветки пояснения.

Ответы были, причем весьма развернутые. Просто Вы их не поняли. Ну что же, бывает. Значит, как говаривал в таких случаях И.М.Гельфанд, не дано.

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Ответы были, причем весьма развернутые. Просто Вы их не поняли. Ну что же, бывает. Значит, как говаривал в таких случаях И.М.Гельфанд, не дано.

Когда не понимают, то переспрашивают. Ответ "в 2 раза больше" некорректный совсем? Или только в некоторых контекстах некорректный? Или корректный?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Когда не понимают, то переспрашивают. Ответ "в 2 раза больше" некорректный совсем? Или только в некоторых контекстах некорректный? Или корректный?

"Совсем неправильный".

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>"Совсем неправильный".

Все же последний вопрос.
На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя?
Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Все же последний вопрос.
S_S>На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя?
S_S>Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?

Да дело не этом. Просто Вы никак не поймете, что, Ваши "пределы" не являются числами а обычном смысле. Поэтому выражение "в два раза больше" для них просто лишено смысла. Вы же сравниваете две бесконечности. Если угодно, два бесконечных кардинала. А для бесконечных кардиналов "в два раза больше" — то же самое, что "равно". Ну невозможно корректно определить смысл утверждения о том, что в одном бесконечном множестве элементов "в два раза больше", чем в другом. Я уже писал об этом. Повторю. Если N — бесконечный, а k — конечный кардиналы, то N = N * k = N ^ k.
Операции умножения и возведения в степень определяются в данном случае следующим образом:
Если Т = |X| (мощность множества X), то N*k — это мощность дизъюнктивного объединения к экземпляров множества X, а N^k — мощность декартова произведения k экземпляров X или (что тоже самое) мощность множества различных отображений из множества мощности k в X.

Если N и M — два бесконечных кардинала, то N < M тогда и только тогда когда существует однозначное отображение (вложение) N -> M, но не наоборот. Можно доказать (с помощью аксиомы выбора) что любый два кардинала можно сравнить в смысле приведенного определения, более того, для любого кардинала существует наименьший их тех, что строго больше его. В этом смысле они чем-то похожи на натуральные числа. Но вот "арифметика" у них совершенно другая.

Все это придумано более ста лет назад. Прежде чем с апломбом вываливать на публику свои вопиюще безграмотные идеи, прочтите хотя бы один нормальный учебник.

Вы же элементарных вещей не понимаете, о чем свидетельствует в частности Ваш последний вопрос. Даже спросить толком не можете из-за своего дремучего невежества. Вы точно хотя бы среднюю школу закончили?

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

SS> 3>"Совсем неправильный".
SS> Все же последний вопрос.
SS> На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя?
SS> Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?
В пределах бесконечность не используется. Эта запись x->∞, просто условное обозначение для понятия предела, который определяется вполне алгебраически без всяких бесконечностей, например, через ε,δ.

3>Вы же элементарных вещей не понимаете, о чем свидетельствует в частности Ваш последний вопрос. Даже спросить толком не можете из-за своего дремучего невежества. Вы точно хотя бы среднюю школу закончили?

Инженерное образование (даже скорее с мат. уклоном) тут мало что дает. Еще и давно было. Там была только математика, а здесь вопрос по "математике математики".

3>Все это придумано более ста лет назад. Прежде чем с апломбом вываливать на публику свои вопиюще безграмотные идеи, прочтите хотя бы один нормальный учебник.

"Идеи" — слишком громко сказано. Скорее положительно ответил вопрос(года 3 назад) "можно ли понятие предела распространить на этот случай". Показалось, что это вопрос только терминологии и недоказуемо и ни на что не влияет.

Насчет того — стоит ли "чайникам" лезть в эту тему. Если "резонансный" вопрос всплывает сам собой, и нигде не получается подсмотреть правильный ответ.
То либо признать это парадоксом(для себя), либо ответ появится сам и скорее всего неправильный.
Например — теория относительности. Многие "чайники" просто не могут обойти ее стороной, хотя и многим инженерам ее даже не преподают т.к. им не нужна.
Работа с бесконечностями — тоже такая "резонансная" тема для чайников.

Когда то, что-то читал на эту тему. Но и тогда не смог бы доказать, что пределы(из мат. анализа) нельзя распространять на такие случаи.

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Когда то, что-то читал на эту тему. Но и тогда не смог бы доказать, что пределы(из мат. анализа) нельзя распространять на такие случаи.

Проблема в твоем рассуждении не в пределах, а в отсутствии определений, как уже здесь писали.
Определи сначала "количество элементов множества" для бесконечных множеств, и тогда уже рассуждай дальше. Может и получится простроить теорию. Но я бы сначала изучил основы высшей математики, которую вообще кроме мех. матов нигде не преподают. Как минимум нужен математический подход к рассуждениям.
Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.

Здравствуйте, lpd, Вы писали:

lpd>Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.

Скорее равномощность. Для разной мощности соответствия уже не взаимные.

Здравствуйте, ути-пути, Вы писали:

lpd>>Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.

УП>Скорее равномощность. Для разной мощности соответствия уже не взаимные.

И тут нужно влезть. Хотя ни уха ни рыла, как всегда. Мощность — есть класс эквивалентности по взаимно-однозначному соответствию. Если конечно это что-то говорит "патриотически" настроенному индивидууму.