Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй.
У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй. A>У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
Ну так, все-таки, одна область, или несколько? Цифру, сестра, цифру!
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
Здравствуйте, rg45, Вы писали: R>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>>Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй. A>>У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
R>Ну так, все-таки, одна область, или несколько? Цифру, сестра, цифру!
Ну чё пристал? Там, где W — можно.
. . . . . . . . . . W . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W . . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W W .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W W W
W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W
. W W W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . W W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . . W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . . . W W . . . . . . . . .
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
Ну, концептуально правильно Несколько смущает расплывчатость формулировки "независящая от положения этого отрезка".
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
R>Ну, концептуально правильно Несколько смущает расплывчатость формулировки "независящая от положения этого отрезка".
Да, точно сам заметил. Графический способ нагляднее.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Да, точно сам заметил. Графический способ нагляднее.
На самом деле, ты тоже мыслил в правильном направлении, но чуть-чуть не довел рещени до конца. Мысленно разобьем наш отрезок (палочку) на две равных части. Тогда для образования треугольника необходимо и достаточно одновременное выполнение двух независимых условий: 1) изломы должны располагаться по разные части от середины отрезка; 2) расстояние между изломами не должно превышать половину общей длины. Вероятность каждого из условий в отдельности равна 1/2 (это не сложно), поэтому вероятность совместного события — 1/4.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
X ~ U(0,1), Y ~ U(0,1)
P(|Y-X| < 0.5) = P(Y-X < 0.5 | Y > X)
P(Y-X < 0.5 | Y > X) = P(Y-X < 0.5 | Y > X, X > 0.5) + P(Y-X < 0.5 | Y > X, X < 0.5) = 1/4
P(Y-X < 0.5 | Y > X, X > 0.5) = 0.0
P(Y-X < 0.5 | Y > X, X < 0.5) = P(X < 0.5)*P(X < Y < X + 0.5) = 1/2*1/2 = 1/4
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. <...> Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
IMHO, именно в этом месте и сидит сложность. Что такое "распределено равномерно"? Если так, что любая точно квадрата 1х1 равновероятна, то очевидное "графическое" решение.
А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Есть похожая более известная задачка. Есть линованная бумага с шагом между линий L, и есть игла длины l.
Иглу случайно бросают на бумагу, какова вероятность, что игла заденет линию? Для начала можно рассмотреть случай L == l
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, torvic, Вы писали:
T>Здравствуйте, rg45, Вы писали:
T>а ещё можно усложнить и ломать в два приёма: T>сначала случайно один раз, а потом второй, то что осталось
T>не могу посчитать аналитически, прогнал монте-карло, получается около 19%
X ~ U(0, 1)
Y ~ U(0, 1 — X)
P(Y < 0.5 and 1 — X — Y < 0.5 | X < 0.5) = P(0.5 — X < Y < 0.5 | X < 0.5) = integral(x/(1-x), 0, 0.5) = 0.1931477
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>IMHO, именно в этом месте и сидит сложность. Что такое "распределено равномерно"?
Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x.
E>А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x.
Что такое dx/L ДЛЯ ПАРЫ?
R>Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем.
Я же с этого и начал, в условии неточно определено что за распределение имеется в виду. Если имеется в виду равномерно распределённая в квадрате 1х1 точка, то всё очевидно, как бы...
Если имеется в виду что-то другое, то ответ зависит от того, что
Я же не зря задачку про иголку привёл.
Если её знаешь, то должен понять, если не знаешь порешай и её. Она тоже прикольная.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
R>>Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x. E>Что такое dx/L ДЛЯ ПАРЫ? R>>Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем. E>Я же с этого и начал, в условии неточно определено что за распределение имеется в виду.
Условие я формулировал, что называется, "на пальцах", без претензии на математическую точность, в расчете на интуитивное понимание. И, походу, всем все понятно, одному тебе подавай точное определение Ну хорошо, попробую, специально для тебя.
Под равномерным распределением вероятности выбора точек излома понимается то, что, при случайном выборе очередной точки излома на отрезке L (не важно какой по счету — первой, второй, пятой или десятой) вероятность ее попадания в любой участок длинной l зависит только от длины этого участка и равна l/L, и не зависит от распололжения этого участка на отрезке (в хвосте, голове, или где-нибудь еще). Наличие уже выбранных точек излома никак не влияет на выбор новых точек. Очень надеюсь, что на этот раз мне удалось удовлетворить твою строгость.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Под равномерным распределением вероятности выбора точек излома понимается то, что, при случайном выборе очередной точки излома на отрезке L (не важно какой по счету — первой, второй, пятой или десятой) вероятность ее попадания в любой участок длинной l зависит только от длины этого участка и равна l/L, и не зависит от распололжения этого участка на отрезке (в хвосте, голове, или где-нибудь еще). Наличие уже выбранных точек излома никак не влияет на выбор новых точек. Очень надеюсь, что на этот раз мне удалось удовлетворить твою строгость.
Я не про строгость, а про суть. То, что ты описал, можно описать проще: равномерно распределённая точка квадрата
Где х -- координата первого разлома, а y — второго.
Но можно и другими способами выбирать точки разлома
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Решение основано на том (см. рисунок), что сумма всех перпендикуляров (a, b, c), опущенных из любой точки равностороннего треугольника на его стороны, является постоянной величиной и равна его высоте для всех точек, лежаших внутри этого треугольника. Точно так же, как и сумма длин кусочков, на которые мы ломаем нашу палочку, тоже является постоянной величиной, равной длине палочки. Поэтому построим рядом с нашей палочкой равносторонний треугольник с высотой равной длине палочки и порассуждаем. Для того, чтобы из кусочков палочки можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина каждого из кусочков не превышала половины длины палочки: a <= L/2, b <= L/2, c <= L/2. В треугольнике всем трем условиям удовлетворяет множество точек, лежащих внутри малого равностороннего треугольника, обозначенного тонкими линиями. В самом деле, любая из точек, лежащая за пределами малого треугольника имеет один из перпендикуляров с длинной превышающих половину высоты большого треугольника (то есть, половину длины палочки). Площадь малого треугольника равна 1/4 плошади большого треугольника, что и является ответом к задаче
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
E>Я не про строгость, а про суть. То, что ты описал, можно описать проще: равномерно распределённая точка квадрата
Егор, ну нет в задаче никаких квадратов. Квадрат — это уже твоя интерпретация. Я понимаю, что ты имеешь в виду, но чтобы включить такое описание в условие задачи, сперва нужно дать формальное описание этого подхода. Честно, не вижу смысла что-либо усложнять. Ну понятно же, что имелось в виду?
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
