Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.

Тут нагуглился очень интересный подход к решению — в трилинейных координатах: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml

Решение основано на том (см. рисунок), что сумма всех перпендикуляров (a, b, c), опущенных из любой точки равностороннего треугольника на его стороны, является постоянной величиной для всех точек, лежаших внутри этого треугольника и равна его высоте. Точно так же, как и сумма длин кусочков, на которые мы ломаем нашу палочку, тоже является постоянной величиной. Построим рядом с нашей палочкой равносторонний треугольник с высотой равной длине палочки и порассуждаем. Для того, чтобы из кусочков палочки можно было сложить треугольник необходимо и достаточно, чтобы длина каждого из кусочков не превышала половины длины палочки: a <= L/2, b <= L/2, c <= L/2. В треугольнике всем трем условиям удовлетворяет множество точек, лежащих внутри малого равностороннего треугольника, обозначенного тонкими линиями. В самом деле, любая из точек, лежащая за пределами малого треугольника имеет один из перпендикуляров с длинной превышающих половину высоты большого треугольника (то есть, половину длины палочки). Площадь малого треугольника равна 1/4 плошади большого треугольника, что и является ответом к задаче

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.

Тут нагуглился очень интересный подход к решению — в трилинейных координатах: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml

Решение основано на том (см. рисунок), что сумма всех перпендикуляров (a, b, c), опущенных из любой точки равностороннего треугольника на его стороны, является постоянной величиной для всех точек, лежаших внутри этого треугольника и равна его высоте. Точно так же, как и сумма длин кусочков, на которые мы ломаем нашу палочку, тоже является постоянной величиной, равной длине палочки. Поэтому построим рядом с нашей палочкой равносторонний треугольник с высотой равной длине палочки и порассуждаем. Для того, чтобы из кусочков палочки можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина каждого из кусочков не превышала половины длины палочки: a <= L/2, b <= L/2, c <= L/2. В треугольнике всем трем условиям удовлетворяет множество точек, лежащих внутри малого равностороннего треугольника, обозначенного тонкими линиями. В самом деле, любая из точек, лежащая за пределами малого треугольника имеет один из перпендикуляров с длинной превышающих половину высоты большого треугольника (то есть, половину длины палочки). Площадь малого треугольника равна 1/4 плошади большого треугольника, что и является ответом к задаче