Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.

Тут нагуглился очень интересный подход к решению — в трилинейных координатах: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml

Решение основано на том (см. рисунок), что сумма всех перпендикуляров (a, b, c), опущенных из любой точки равностороннего треугольника на его стороны, является постоянной величиной и равна его высоте для всех точек, лежаших внутри этого треугольника. Точно так же, как и сумма длин кусочков, на которые мы ломаем нашу палочку, тоже является постоянной величиной, равной длине палочки. Поэтому построим рядом с нашей палочкой равносторонний треугольник с высотой равной длине палочки и порассуждаем. Для того, чтобы из кусочков палочки можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина каждого из кусочков не превышала половины длины палочки: a <= L/2, b <= L/2, c <= L/2. В треугольнике всем трем условиям удовлетворяет множество точек, лежащих внутри малого равностороннего треугольника, обозначенного тонкими линиями. В самом деле, любая из точек, лежащая за пределами малого треугольника имеет один из перпендикуляров с длинной превышающих половину высоты большого треугольника (то есть, половину длины палочки). Площадь малого треугольника равна 1/4 плошади большого треугольника, что и является ответом к задаче