KO>>Забыл сказать. что множество с минимальной мощностью, которое всюду плотно, называется сепарабельным (или я уже совсем того ).
RB>Понятие "всюду плотного" требует, как минимум, другого множества, в которое первое вложено, а также, нормированности этого самого "надмножества".
Ну это мы уже совсем ушли от темы.
RB>1. Пусть пропорции другие (это типа "докажем теорему на примере" ?).
Без разницы. Точнее, можно обобщить на другие пропорции. RB>2. Процедуру построения букв "Т", плз.
Разве я не достаточно описал?
RB>>>2. Процедуру построения букв "Т", плз. KO>>Разве я не достаточно описал?
RB>Нет. Можно хоть чуть поподробнее? Извини за тупость...
Видимо я не умею объяснять. Ладно, завтра повторю, если не забуду.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
AVS>>1) В Каждой букве есть точка с рациональными координатами т.к. Q всюду плотно. AVS>>2) Q — счетно AVS>>3) Множество букв, не более чем счетно (а пример счетного уже был)
AVS>>* Q — как обычно множество рац. чисел
RB>Не катит. Очевидно, это решение "не работает" для букв "Г"
Очень даже работает.
Нарисуем диагональ сверху-слева вниз-направо.
Разметим её как числовую ось.
Построим множество букв Г, которые своим углом лежат на рациональных точках этой оси.
Очевидно, что множество счётно и всюду плотно.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
C>>нет, просто таких непересекающихся окружностей будет несчётное множество..
RB>Замечательный результат. Как насчет букв?
Один момент! По условиям задачи нужно найти плотное покрытие.
Так вот, семейство R концентрических окружностей с рациональными радиусами — плотное. Хотя и счётное.
А семейство I окружностей с иррациональными радиусами — также плотное, при этом континуальное и "дырявое" (т.е. останутся точки, не принадлежащие этому семейству — поскольку (R & I) == 0).
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
AVS>>>1) В Каждой букве есть точка с рациональными координатами т.к. Q всюду плотно. AVS>>>2) Q — счетно AVS>>>3) Множество букв, не более чем счетно (а пример счетного уже был)
AVS>>>* Q — как обычно множество рац. чисел
RB>>Не катит. Очевидно, это решение "не работает" для букв "Г"
К>Очень даже работает. К>Нарисуем диагональ сверху-слева вниз-направо. К>Разметим её как числовую ось. К>Построим множество букв Г, которые своим углом лежат на рациональных точках этой оси. К>Очевидно, что множество счётно и всюду плотно.
Ну а я добавлю к твоим буквам еще и буквы, которые лежат на иррациаональных точках.
Очевидно, что мои буквы не пересекаются с твоими, и заполняют квадрат еще более плотно...
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
C>>>нет, просто таких непересекающихся окружностей будет несчётное множество..
RB>>Замечательный результат. Как насчет букв?
К>Один момент! По условиям задачи нужно найти плотное покрытие. К>Так вот, семейство R концентрических окружностей с рациональными радиусами — плотное. Хотя и счётное. К>А семейство I окружностей с иррациональными радиусами — также плотное, при этом континуальное и "дырявое" (т.е. останутся точки, не принадлежащие этому семейству — поскольку (R & I) == 0).
Ну и прекрасно. Нужно найти покрытие буквами, а не кругами.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
AVS>>>>1) В Каждой букве есть точка с рациональными координатами т.к. Q всюду плотно. AVS>>>>2) Q — счетно AVS>>>>3) Множество букв, не более чем счетно (а пример счетного уже был)
AVS>>>>* Q — как обычно множество рац. чисел
RB>>>Не катит. Очевидно, это решение "не работает" для букв "Г"
К>>Очень даже работает. К>>Нарисуем диагональ сверху-слева вниз-направо. К>>Разметим её как числовую ось. К>>Построим множество букв Г, которые своим углом лежат на рациональных точках этой оси. К>>Очевидно, что множество счётно и всюду плотно.
RB>Ну а я добавлю к твоим буквам еще и буквы, которые лежат на иррациаональных точках. RB>Очевидно, что мои буквы не пересекаются с твоими, и заполняют квадрат еще более плотно...
Ты сказал "не катит", а я показал, что есть плотное счётное покрытие. Да, оно "дырявое", но ведь плотное же.
Понятно, что если построить семейство Г, углы которых лежат на всех точках диагонали, то это семейство совпадёт с искомым квадратом.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
AVS>>>>>1) В Каждой букве есть точка с рациональными координатами т.к. Q всюду плотно. AVS>>>>>2) Q — счетно AVS>>>>>3) Множество букв, не более чем счетно (а пример счетного уже был)
AVS>>>>>* Q — как обычно множество рац. чисел
RB>>>>Не катит. Очевидно, это решение "не работает" для букв "Г"
К>>>Очень даже работает. К>>>Нарисуем диагональ сверху-слева вниз-направо. К>>>Разметим её как числовую ось. К>>>Построим множество букв Г, которые своим углом лежат на рациональных точках этой оси. К>>>Очевидно, что множество счётно и всюду плотно.
RB>>Ну а я добавлю к твоим буквам еще и буквы, которые лежат на иррациаональных точках. RB>>Очевидно, что мои буквы не пересекаются с твоими, и заполняют квадрат еще более плотно...
К>Ты сказал "не катит", а я показал, что есть плотное счётное покрытие. Да, оно "дырявое", но ведь плотное же. К>Понятно, что если построить семейство Г, углы которых лежат на всех точках диагонали, то это семейство совпадёт с искомым квадратом.
Посмотри, каков был ответ: множество не более чем счетно (выделил).
В решении не используется форма буквы, и как следствие, решение не работает для букв "Г" — множество может быть более, чем счетным.
Кто сказал, что это не сработает и для букв "Т" ?
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Есть квадрат, 1х1. Его плотно покрывают буквами "Т". Каждая буква может быть разного размера и разных пропорций, но все они не пересекаются (т.е. никакая буква не пересекает никакую другую).
RB>Вопрос — какова мощность множества букв? (скажем так, "максимально возможная").
Сосед только что прислал мне решение.
Не знаю, как вставлять картинки в сообщение, поэтому постараюсь объяснить так.
Пусть буква Т нарисована прямо. Обозначим точка A — один конец перекладины, B — другой конец. C — точка в основании опоры, M — точка стыка опоры и перекладины.
Рассмотрим следущие точки P, Q, R.
P лежит на отрезке AM близко к M,
Q лежит на отрезке BM близко к M,
R лежит на отрезке CM близко к M.
Они задают треугольник PQR. Точки P,Q,R надо брать настолько близко, чтобы выполнялось следущее условие:
если для разных букв Т такие треугольники пересекаются, то в любом случае ни один из них не пересекает отрезок RM другого треугольника.
Надеюсь, понятно.
Теперь идея такая.
Для каждой буквы Т выбираем 2 точки с рациональными координатами — одну в треугольнике AMC, другую — в треугольнике BMC. Таким образом, каждой букве Т ставится в соответствие элемент Q^4. При этом разным буквам Т соответствуют разные пары точек, а, значит, и разные элементы Q^4. Это значит, что букв Т не больше, чем элементов Q^4, а их — счётное число.
ES>Сосед только что прислал мне решение. ES>Не знаю, как вставлять картинки в сообщение, поэтому постараюсь объяснить так. ES>Пусть буква Т нарисована прямо. Обозначим точка A — один конец перекладины, B — другой конец. C — точка в основании опоры, M — точка стыка опоры и перекладины. ES>Рассмотрим следущие точки P, Q, R. ES>P лежит на отрезке AM близко к M, ES>Q лежит на отрезке BM близко к M, ES>R лежит на отрезке CM близко к M. ES>Они задают треугольник PQR. Точки P,Q,R надо брать настолько близко, чтобы выполнялось следущее условие: ES>если для разных букв Т такие треугольники пересекаются, то в любом случае ни один из них не пересекает отрезок RM другого треугольника. ES>Надеюсь, понятно. ES>Теперь идея такая. ES>Для каждой буквы Т выбираем 2 точки с рациональными координатами — одну в треугольнике AMC, другую — в треугольнике BMC. Таким образом, каждой букве Т ставится в соответствие элемент Q^4. При этом разным буквам Т соответствуют разные пары точек, а, значит, и разные элементы Q^4. Это значит, что букв Т не больше, чем элементов Q^4, а их — счётное число.
, насколько я понял, наводит на след. рассуждение.
1. Есть квадрат. Рисуем в нем большую букву T. Это первый уровень.
2. Справа и слева от этой буквы рисуем еще по одной, но в два раза меньшего размера. Это второй уровень.
3. Справа и слева от каждой буквы второго уровня рисуем еще по одной букве, еще в 2 раза меньшего размера. Это третий уровень.
И т.д. В итоге получаем бесконечно много уровней букв, которые удовлетворяют условию.
На каждой уровне N находится 2^(N-1) букв. Суммируя число букв от 1 уровня до уровня N получаем сумму 2^N — 1 (хотя суммирование значения не имеет). На базе "N -> oo" получаем, согласно "магической формуле" 2^alef0 = alef1.
, насколько я понял, наводит на след. рассуждение.
RB>1. Есть квадрат. Рисуем в нем большую букву T. Это первый уровень. RB>2. Справа и слева от этой буквы рисуем еще по одной, но в два раза меньшего размера. Это второй уровень. RB>3. Справа и слева от каждой буквы второго уровня рисуем еще по одной букве, еще в 2 раза меньшего размера. Это третий уровень.
RB>И т.д. В итоге получаем бесконечно много уровней букв, которые удовлетворяют условию.
RB>На каждой уровне N находится 2^(N-1) букв. Суммируя число букв от 1 уровня до уровня N получаем сумму 2^N — 1 (хотя суммирование значения не имеет). На базе "N -> oo" получаем, согласно "магической формуле" 2^alef0 = alef1.
RB>К чему бы это?
Да откуда вообще такая формула-то?
По определению, счётное множество — это множество, для которого существует взаимно-однозначное отображение во множесто натуральных чисел. Говоря простым языком, это бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать. Континуум — это мощность множества вещественных чисел (по-моему, это определение, а не следствие из каких-то теорем, но могу ошибаться, конечно).
Буквы Т, расположенные описанным способом пронумеровать, естественно, можно. Остаётся доказать лишь, что получающееся покрытие полностью удовлетворят условиям задачи. И именно тут-то нас и ждёт подвох
И вот почему. Если никакие буквы Т не пересекаются (не имеют общих точек), и множество, представляющее букву Т, замкнуто, то плотно покрыть квадрат ими нельзя, так как между любыми двумя точками на плоскости существует как минимум ещё одна. Которая, в нашем случае, и будет "дыркой".
Возможно, что кое-что в условии задачи попросту опущено (например, что буква Т может быть представлена открытым множеством). Вопрос: что же именно?
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Есть квадрат, 1х1. Его плотно покрывают буквами "Т". Каждая буква может быть разного размера и разных пропорций, но все они не пересекаются (т.е. никакая буква не пересекает никакую другую).
RB>Вопрос — какова мощность множества букв? (скажем так, "максимально возможная").
Простите возможно уже ответили, но поскольку ответов уже не один десяток:
Задача очевидная. Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно, то каждая бука T все-таки содержит рациональное число (считая, что толщина линнии не нулевая), таким образом можность множетсва букв не более чем счетное. Так же ясно что за конечно число так покрыть плоскость нельзя. Итого — счетное.
).
Перекуём баги на фичи!
