Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
К>>>Хмм. Почему-то я думал, что алеф[n] = 2^алеф[n-1], и континуум-гипотеза состоит в том, бывают ли кардинальные числа между алефами с целыми номерами.
Ш>>Континуум гипотеза (классическая), спрашивает, есть ли промежуточная мощность между счетной и континуальной.
К>А из положительного ответа на неё — не следует ли, что и другие промежуточные кардинальные числа есть?
Этого я не знаю.
К>Или по каждому следующему алефу можно заводить новый постулат?
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
К>>>>Хмм. Почему-то я думал, что алеф[n] = 2^алеф[n-1], и континуум-гипотеза состоит в том, бывают ли кардинальные числа между алефами с целыми номерами.
Ш>>>Континуум гипотеза (классическая), спрашивает, есть ли промежуточная мощность между счетной и континуальной.
К>>А из положительного ответа на неё — не следует ли, что и другие промежуточные кардинальные числа есть?
Ш>Этого я не знаю.
К>>Или по каждому следующему алефу можно заводить новый постулат?
Ш>Возможно. Только зачем?
Ну если у нас есть ряд независимых алеф-гипотез (про алеф-0.5 — это континуум-гипотеза, про алеф-1.5 я уж не знаю как назвать и т.д.) то получаем континуальное (!) множество аксиоматик.
Континуальное — поскольку есть счётное множество целочисленных алефов, а значит счётное множество алеф-гипотез, то есть каждой аксиоматике соответствует бесконечномерный булев вектор. А такие вектора однозначно отображаются на множество вещественных чисел, которых континуум.
Конечно, основной интерес представляют аксиоматики "все-нули" и "все-единицы" (т.е. "есть только целочисленные алефы" и "есть промежуточные алефы").
Ну и поскольку наиболее расхожие множества — это счётность и континуум, то — что там творится в более мощных множествах, не шибко интересно.
Даже ближайшее множество — функций вещественного переменного — кому оно нужно целиком (не тот или иной класс функций, а весь ассортимент).
Хотя, пожалуй, с классами функций и можно было бы нарваться на алеф-1.5
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
К>>>>>Хмм. Почему-то я думал, что алеф[n] = 2^алеф[n-1], и континуум-гипотеза состоит в том, бывают ли кардинальные числа между алефами с целыми номерами.
Ш>>>>Континуум гипотеза (классическая), спрашивает, есть ли промежуточная мощность между счетной и континуальной.
К>>>А из положительного ответа на неё — не следует ли, что и другие промежуточные кардинальные числа есть?
Ш>>Этого я не знаю.
К>>>Или по каждому следующему алефу можно заводить новый постулат?
Ш>>Возможно. Только зачем?
К>Ну если у нас есть ряд независимых алеф-гипотез (про алеф-0.5 — это континуум-гипотеза, про алеф-1.5 я уж не знаю как назвать и т.д.) то получаем континуальное (!) множество аксиоматик.
Только если допускать бесконечное множество аксиом. Но такое множество аксиом не может быть записано (чернил не хватит), а значит и не может служить базой какой-либо теории. По крайней мере, человеческой теории. Ну, конечно, для бога там или дьявола ограничений нет.
К>Континуальное — поскольку есть счётное множество целочисленных алефов, а значит счётное множество алеф-гипотез, то есть каждой аксиоматике соответствует бесконечномерный булев вектор. А такие вектора однозначно отображаются на множество вещественных чисел, которых континуум.
К>Конечно, основной интерес представляют аксиоматики "все-нули" и "все-единицы" (т.е. "есть только целочисленные алефы" и "есть промежуточные алефы"). К>Ну и поскольку наиболее расхожие множества — это счётность и континуум, то — что там творится в более мощных множествах, не шибко интересно. К>Даже ближайшее множество — функций вещественного переменного — кому оно нужно целиком (не тот или иной класс функций, а весь ассортимент).
Я вот тут посидел и задумался -- а какова мощность множества измеримых подмножеств, скажем, отрезка [0,1]? Не знаю ответа.
К>Хотя, пожалуй, с классами функций и можно было бы нарваться на алеф-1.5
Ш>Я вот тут посидел и задумался -- а какова мощность множества измеримых подмножеств, скажем, отрезка [0,1]? Не знаю ответа.
А смотря в какой мере!
В мере Бореля очевидно что континуум, поскольку все порождается интервалами, границы которых рациональные числа.
Для полной меры (Лебега или Жордано) таких множеств гиперконтинуум. Докажем для лебега.
Рассмотрим несчетное множество, имеющее меру 0. Тогда все его подмножества будут измеримыми и иметь меру 0. А их гиперконтинуум. Для плоскости найти такое мнодество легко -- прямая. На прямой сложнее, но можно найти что-то связанное с точками роста лестницы Кантора.
P/S/ Кто нить у меня ошибку в решении исходной задачи видит или будем считать что она решена?
Ш>>Я вот тут посидел и задумался -- а какова мощность множества измеримых подмножеств, скажем, отрезка [0,1]? Не знаю ответа.
PP4>А смотря в какой мере! PP4>В мере Бореля очевидно что континуум, поскольку все порождается интервалами, границы которых рациональные числа.
Что значит, порождается? Для того, чтобы замкнуть исходную базу в алгебру множеств, нужно сделать трансфинитное число шагов.
PP4>Для полной меры (Лебега или Жордано) таких множеств гиперконтинуум. Докажем для лебега. PP4>Рассмотрим несчетное множество, имеющее меру 0.
Верная мысль. А для борелевских множеств, есть ли несчетное множество меры нуль?
PP4>Тогда все его подмножества будут измеримыми и иметь меру 0. А их гиперконтинуум. Для плоскости найти такое мнодество легко -- прямая. На прямой сложнее, но можно найти что-то связанное с точками роста лестницы Кантора.
Стоп стоп. Берем Кантора -- разве это не то, что нам нужно? Причем оно борелевское -- вот и пример для борелевского класса.
PP4>P/S/ Кто нить у меня ошибку в решении исходной задачи видит или будем считать что она решена?
Какой пост? Я никак не прочитаю этот топик целиком!
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
Ш>>>Я вот тут посидел и задумался -- а какова мощность множества измеримых подмножеств, скажем, отрезка [0,1]? Не знаю ответа.
PP4>>А смотря в какой мере! PP4>>В мере Бореля очевидно что континуум, поскольку все порождается интервалами, границы которых рациональные числа.
Ш>Что значит, порождается? Для того, чтобы замкнуть исходную базу в алгебру множеств, нужно сделать трансфинитное число шагов.
Нет, борелевскую меру модно получить счетным колчиством операций. По определению это минимальная сигма-алгебра, положденная открытими мнодествами. В силу того что любое открытое множество представимо ввиде счетного объединения интервалов с рациональными точками (2-аксиома счетности), а так же способа построения сигма алгебры -- получается счетное количество множдеств. В самом деле рассмотрим такие множества A = B(i-1)Oper(i=1,+infifnty)B(i), где Oper это объединение, пересечение или разность, а B(i) отрезок с рациональными координатами. // короче счетная цепочка этих операций над рац. отрезками.
Ясно, что это сигма-алгербра -- потому как пересекая, объединяя и прочее таких множеств все равно остаешься в том же виде. Ясно, что оно содержит все открытые множества -- значит это сигма-алгебра, порожденная топологией, то есть это и есть болевская сигма-алгебра. // доказательство минимальности ее оставим за Вами.
Количество таких всевозможных мнодеств A тоже очевидно -- это N^N то есть R. И того это континнум. А поскольку мера Жордана полная, а потому гиперконтинуалая, легко доказать что есть множества измеримые по Жордано, но не по Борелю, и наоборот.
Ш>Стоп стоп. Берем Кантора -- разве это не то, что нам нужно? Причем оно борелевское -- вот и пример для борелевского класса.
Борелевская мера не полная, поэтому бессмысленно брать несчетное мнодество меры 0. Его подмножества могуть быть неизмеримыми....
Ш>Какой пост? Я никак не прочитаю этот топик целиком!
далее есть комментарии. чуть ранее построено счетное покрытие
P/S/ Шест лет назад учил, но до сих пор оказывается что то помню. Спасибо Мельникову Е.В. из ОмГУ
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
Ш>>>>Я вот тут посидел и задумался -- а какова мощность множества измеримых подмножеств, скажем, отрезка [0,1]? Не знаю ответа.
PP4>>>А смотря в какой мере! PP4>>>В мере Бореля очевидно что континуум, поскольку все порождается интервалами, границы которых рациональные числа.
Ш>>Что значит, порождается? Для того, чтобы замкнуть исходную базу в алгебру множеств, нужно сделать трансфинитное число шагов.
PP4>Нет, борелевскую меру модно получить счетным колчиством операций. По определению это минимальная сигма-алгебра, положденная открытими мнодествами. В силу того что любое открытое множество представимо ввиде счетного объединения интервалов с рациональными точками (2-аксиома счетности), а так же способа построения сигма алгебры -- получается счетное количество множдеств. В самом деле рассмотрим такие множества A = B(i-1)Oper(i=1,+infifnty)B(i), где Oper это объединение, пересечение или разность, а B(i) отрезок с рациональными координатами. // короче счетная цепочка этих операций над рац. отрезками.
Дайте, пожалуйста, определение результата такой последовательности операций.
PP4>Ясно, что это сигма-алгербра -- потому как пересекая, объединяя и прочее таких множеств все равно остаешься в том же виде.
Не ясно. Как быть со счетными объединениями?
PP4> Ясно, что оно содержит все открытые множества -- значит это сигма-алгебра, порожденная топологией, то есть это и есть болевская сигма-алгебра. // доказательство минимальности ее оставим за Вами.
PP4>Количество таких всевозможных мнодеств A тоже очевидно -- это N^N то есть R. И того это континнум. А поскольку мера Жордана полная, а потому гиперконтинуалая, легко доказать что есть множества измеримые по Жордано, но не по Борелю, и наоборот.
Ш>>Стоп стоп. Берем Кантора -- разве это не то, что нам нужно? Причем оно борелевское -- вот и пример для борелевского класса.
PP4>Борелевская мера не полная, поэтому бессмысленно брать несчетное мнодество меры 0. Его подмножества могуть быть неизмеримыми....
PP4>далее есть комментарии. чуть ранее построено счетное покрытие PP4>P/S/ Шест лет назад учил, но до сих пор оказывается что то помню. Спасибо Мельникову Е.В. из ОмГУ
Спасибо в таких случаях надо говорить себе прежде всего.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, Alglib, Вы писали:
A>>Здравствуйте, Кодт, Вы писали: К>>>алеф0 — счётность. К>>>алеф1 — континуум. К>>>алеф2 — 2^(алеф0) — мощность функций континуальной переменной.
A>>э-э-э? алеф2 = 2^(алеф1) ??? К>Ага. Очепятался маломало.
К>Кстати, а проблема промежуточных кардинальных чисел (алеф[n] < X < алеф[n+1]) — до сих пор проблема? К>А то я не в курсе...
я этим не особо интересуюсь по другому ведомству
Re[3]: Задача на множества
От:
Аноним
Дата:
21.07.04 08:21
Оценка:
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Да, решение, которое я знал, такое же — поставить каждой букве по паре точек.
RB>Однако, пост Кинг Олега
, насколько я понял, наводит на след. рассуждение.
RB>1. Есть квадрат. Рисуем в нем большую букву T. Это первый уровень. RB>2. Справа и слева от этой буквы рисуем еще по одной, но в два раза меньшего размера. Это второй уровень. RB>3. Справа и слева от каждой буквы второго уровня рисуем еще по одной букве, еще в 2 раза меньшего размера. Это третий уровень.
RB>И т.д. В итоге получаем бесконечно много уровней букв, которые удовлетворяют условию.
RB>На каждой уровне N находится 2^(N-1) букв. Суммируя число букв от 1 уровня до уровня N получаем сумму 2^N — 1 (хотя суммирование значения не имеет). На базе "N -> oo" получаем, согласно "магической формуле" 2^alef0 = alef1.
RB>К чему бы это?
К тому, что свойства пределов числовых последовательностей, могут и не выполнятся для пределов последовательностей ординалов. (докажите что если x->kapa, то 2^x->2^kapa(где kapa некоторый ординал)? Кажется это не верно.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>>Да, решение, которое я знал, такое же — поставить каждой букве по паре точек.
RB>>Однако, пост Кинг Олега
, насколько я понял, наводит на след. рассуждение.
RB>>1. Есть квадрат. Рисуем в нем большую букву T. Это первый уровень. RB>>2. Справа и слева от этой буквы рисуем еще по одной, но в два раза меньшего размера. Это второй уровень. RB>>3. Справа и слева от каждой буквы второго уровня рисуем еще по одной букве, еще в 2 раза меньшего размера. Это третий уровень.
RB>>И т.д. В итоге получаем бесконечно много уровней букв, которые удовлетворяют условию.
RB>>На каждой уровне N находится 2^(N-1) букв. Суммируя число букв от 1 уровня до уровня N получаем сумму 2^N — 1 (хотя суммирование значения не имеет). На базе "N -> oo" получаем, согласно "магической формуле" 2^alef0 = alef1.
RB>>К чему бы это?
А>К тому, что свойства пределов числовых последовательностей, могут и не выполнятся для пределов последовательностей ординалов. (докажите что если x->kapa, то 2^x->2^kapa(где kapa некоторый ординал)? Кажется это не верно.
На сколько я помню, последовательность Алефов именно так и вводиться, как 2^ALEF_(i)=ALEF_(i+1). А то, что 2^x (x->ALEF_(i) ) -> 2^ALEF_(i) = ALEF_(i+1) "выводиться" из правил лимитов.
П.С, Что-то я сегодня не в настроении. Интересно, когда чушь начну пороть?
King Oleg
*Читайте DOC'и, они rules*
Re[3]: Задача на множества
От:
Аноним
Дата:
21.07.04 08:27
Оценка:
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
А>>Требуется порядок? Не совсем понятно условие. А>>во вс случае не меньше мощности нат чисел и вряд ли больше мощности вещ чисел
RB>Есть промежуточная?
А это, как вам захочется. Доказано, что при добавлении аксиомы существования(не существования) такой мощности к системе аксиом ZF+аксиома выбора получается не противоречивая система аксиом.
К>Ну если у нас есть ряд независимых алеф-гипотез (про алеф-0.5 — это континуум-гипотеза, про алеф-1.5 я уж не знаю как назвать и т.д.) то получаем континуальное (!) множество аксиоматик.
Нет. Это эквивалентные предположения. Если выполняется одно, то выполняются и все остальные.
Re[5]: Задача на множества
От:
Аноним
Дата:
21.07.04 08:43
Оценка:
RB>>>На каждой уровне N находится 2^(N-1) букв. Суммируя число букв от 1 уровня до уровня N получаем сумму 2^N — 1 (хотя суммирование значения не имеет). На базе "N -> oo" получаем, согласно "магической формуле" 2^alef0 = alef1.
RB>>>К чему бы это?
А>>К тому, что свойства пределов числовых последовательностей, могут и не выполнятся для пределов последовательностей ординалов. (докажите что если x->kapa, то 2^x->2^kapa(где kapa некоторый ординал)? Кажется это не верно.
KO>На сколько я помню, последовательность Алефов именно так и вводиться, как 2^ALEF_(i)=ALEF_(i+1). А то, что 2^x (x->ALEF_(i) ) -> 2^ALEF_(i) = ALEF_(i+1) "выводиться" из правил лимитов.
KO>П.С, Что-то я сегодня не в настроении. Интересно, когда чушь начну пороть?
Но, очевидно что 2^n->aleph_(0),принатуральном n->aleph(0)
или я что-то путаю?
Только зачем?
Перекуём баги на фичи!
