PP4>Простите возможно уже ответили, но поскольку ответов уже не один десяток: PP4>Задача очевидная. Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно, то каждая бука T все-таки содержит рациональное число (считая, что толщина линнии не нулевая), таким образом можность множетсва букв не более чем счетное. Так же ясно что за конечно число так покрыть плоскость нельзя. Итого — счетное.
PP4>P.S. Континуум-гипотеза рулеззззз
Понимаешь, в чем дело. В твоем доказательстве не используется форма буквы.
Попробуй то же самое сделать для букв "Г" — а их можно очевидно напихать континуум.
OV>И вот почему. Если никакие буквы Т не пересекаются (не имеют общих точек), и множество, представляющее букву Т, замкнуто, то плотно покрыть квадрат ими нельзя, так как между любыми двумя точками на плоскости существует как минимум ещё одна. Которая, в нашем случае, и будет "дыркой".
Еще раз — не забывайте про вариант с буквами "Г" — ими можно покрыть плотно, они не будут пересекаться и их будет континуум.
PP4>>Простите возможно уже ответили, но поскольку ответов уже не один десяток: PP4>>Задача очевидная. Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно, то каждая бука T все-таки содержит рациональное число (считая, что толщина линнии не нулевая), таким образом можность множетсва букв не более чем счетное. Так же ясно что за конечно число так покрыть плоскость нельзя. Итого — счетное.
PP4>>P.S. Континуум-гипотеза рулеззззз
RB>Понимаешь, в чем дело. В твоем доказательстве не используется форма буквы. RB>Попробуй то же самое сделать для букв "Г" — а их можно очевидно напихать континуум.
Если в букве Г все "линии" имеют толщину отличную от нуля, то в такой букве есть как минимум 1 точка у которой обе координаты рациональные числа. Таким образом число букв Г не превышает мощность множества таких чисел
card(Q*Q) = card(Q) = card(N) -- счетное множество. Никак континуум Вы не запихаете.
Теперь если же у Вас буква состоит из линий (то есть будем считать что лебегова мера буквы равна 0). Допустим, что нам удалость покрыть множество счетным покрытием из букв, тогда используя сигма-аддитивность меры лебегы лебега получаем что мера покрытия 0, а мера квадрата (1 на 1) — 1. таким образом это гон. Значит или букавами так покрыть квадарат нельзя или их там континнум.
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Теперь если же у Вас буква состоит из линий (то есть будем считать что лебегова мера буквы равна 0). Допустим, что нам удалость покрыть множество счетным покрытием из букв, тогда используя сигма-аддитивность меры лебегы лебега получаем что мера покрытия 0, а мера квадрата (1 на 1) — 1. таким образом это гон. Значит или букавами так покрыть квадарат нельзя или их там континнум.
Вопрос нак засыпку. Множество точек с рациональными координатами будет плотно покрывать квадрат?
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
OV>>И вот почему. Если никакие буквы Т не пересекаются (не имеют общих точек), и множество, представляющее букву Т, замкнуто, то плотно покрыть квадрат ими нельзя, так как между любыми двумя точками на плоскости существует как минимум ещё одна. Которая, в нашем случае, и будет "дыркой".
RB>Еще раз — не забывайте про вариант с буквами "Г" — ими можно покрыть плотно, они не будут пересекаться и их будет континуум.
Если буквы Г будут представлены замкнутыми множествами, то их будет континуум, как и букв Т. Если условие замкнутости убрать, то множество сразу станет счётным. Форма буквы тут вообще ни при чём.
Здравствуйте, King Oleg, Вы писали:
KO>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>>Теперь если же у Вас буква состоит из линий (то есть будем считать что лебегова мера буквы равна 0). Допустим, что нам удалость покрыть множество счетным покрытием из букв, тогда используя сигма-аддитивность меры лебегы лебега получаем что мера покрытия 0, а мера квадрата (1 на 1) — 1. таким образом это гон. Значит или букавами так покрыть квадарат нельзя или их там континнум. KO>Вопрос нак засыпку. Множество точек с рациональными координатами будет плотно покрывать квадрат?
Простите я не знаю понятие "плотно покрывать". А знаю термины: замыкание, плотное пространство, всюду плотное множество. А вот как вы говрорите -- не знаю.
Думаю Вам очевидно что замыкаие множества рациональных чисел в естественной топологии это вся числовая прямая.
Но похоже это уже значения не имеет поскольку наши буквы теперь толщины не имеют
Здравствуйте, Eugene Sh, Вы писали:
ES>Для каждой буквы Т выбираем 2 точки с рациональными координатами — одну в треугольнике AMC, другую — в треугольнике BMC. Таким образом, каждой букве Т ставится в соответствие элемент Q^4. При этом разным буквам Т соответствуют разные пары точек, а, значит, и разные элементы Q^4. Это значит, что букв Т не больше, чем элементов Q^4, а их — счётное число.
Зачем такая сложность? Почему бы просто не представить букву Т тремя точками: A, B и C
Сразу будет видно, что таких троек — континуум.
Здравствуйте, Oleg Volkov, Вы писали:
OV>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
OV>>>И вот почему. Если никакие буквы Т не пересекаются (не имеют общих точек), и множество, представляющее букву Т, замкнуто, то плотно покрыть квадрат ими нельзя, так как между любыми двумя точками на плоскости существует как минимум ещё одна. Которая, в нашем случае, и будет "дыркой".
RB>>Еще раз — не забывайте про вариант с буквами "Г" — ими можно покрыть плотно, они не будут пересекаться и их будет континуум.
OV>Если буквы Г будут представлены замкнутыми множествами, то их будет континуум, как и букв Т. Если условие замкнутости убрать, то множество сразу станет счётным. Форма буквы тут вообще ни при чём.
ну вроде бы автор волевым решением определил что буквы толщины не имеют, а потому открытыми множеством являться не могут. ну в принципе буква может и не быть замкнутой, главное чтоб с нулевой мерой. возможно форма буквы влияет на сам факт возможности построения такого покрытия. думаю копать в направлении леммы Цорна
Здравствуйте, Oleg Volkov, Вы писали:
OV>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>>буквы толщины не имеют, а потому открытыми множеством являться не могут.
OV>Например, интервал (а, б) толщины не имеет и является открытым множеством, так как не содержит границу. Толщина — это вообще из другой оперы.
Не совем. Интервал является открытым множестовом на прямой, а на плоскости он им не является, поскольку он не соделжит ни одной окрестности своей точки
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Здравствуйте, Oleg Volkov, Вы писали:
OV>>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>>>буквы толщины не имеют, а потому открытыми множеством являться не могут.
OV>>Например, интервал (а, б) толщины не имеет и является открытым множеством, так как не содержит границу. Толщина — это вообще из другой оперы.
PP4>Не совем. Интервал является открытым множестовом на прямой, а на плоскости он им не является, поскольку он не соделжит ни одной окрестности своей точки
Здравствуйте, Oleg Volkov, Вы писали:
OV>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>>Простите я не знаю понятие "плотно покрывать".
OV>Тем не менее, вы пытаетесь решить задачу, где приведённый термин — часть условия
Да действительно, намек понял. П
Предлагается такая схема.
В каждой рациональной точке втыкаем букву Т повернутую -- так чтобы угловой коэффициент был sqrt(2). Тогда в этйо букве больше нет рациональных точек. Длину сторон буквы подбираем как можно больше, чтобы не уткнуться в границу квадрата.
Теперь упорядочим все наши буквы (то есть последовательность) и начнем их резать.
Исходня послед A(i), новая B(i). Пусть уже построено n элементов B(i), причем эти буквы не перескаются между собой.
B(n+1) это A(n+1), которой обрезали стороны чтобы оно не касалось предыдущих. Вот тут как раз помогает то условие что нет других рациональных точек на букве -- обрезок все равно остается буквой T. Таким образом, построена последовательность букв, замыкание которой не меньше замыкания множетсва рац. точек на квадрате то есть квадрат. Таким образом счетное покрытие построено.
О построении континуального покрытия -- легко.Просто напихать их сначала уголками друг-к другу в любом количестве...
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>В каждой рациональной точке втыкаем букву Т повернутую -- так чтобы угловой коэффициент был sqrt(2). Тогда в этйо букве больше нет рациональных точек.
Хм. Рациональные точки обязаны быть, так как для любого иррационального числа существует пара рациональных, одно из которых меньше, а другое больше.
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Давайте думать вместе. Вы придумали как построить такое континуальное покрытие? Со счетным я разобрался а с континуумом мне мешает форма буквы
Возьмём, например, покрытие, которое описал rus blood: сначала ставим прямо букву Т, после чего рисуем ещё две по обе стороны вертикальной палки и так далее. Покрытие кажется плотным и счётным только на первый взгляд.
Объясню.
Пусть имеется буквы Т — ABC и A'B'C' такие, что AB || A'B', AC || A'C', BC || B'C', треугольник A'B'C' лежит в левой части буквы ABC — это всё по построению покрытия. Рассмотрим теперь прямые AB и A'B'. Нам известно, что они не имеют общих точек. Тогда обязательно найдётся хотя бы одна точка между A и A' (есть такая аксиома в геометрии). По построению, она не принадлежит ни одной букве Т. Получили неплотное покрытие
Как доказать, что оно континуальное — фиг знает. Надо вспоминать, как доказывается одинаковость мощности множеств отрезка и квадрата: возможно, там есть мысль.
Здравствуйте, Oleg Volkov, Вы писали:
OV>Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>>В каждой рациональной точке втыкаем букву Т повернутую -- так чтобы угловой коэффициент был sqrt(2). Тогда в этйо букве больше нет рациональных точек.
OV>Хм. Рациональные точки обязаны быть, так как для любого иррационального числа существует пара рациональных, одно из которых меньше, а другое больше.
И что? // вы наверно хотели сказать "сколь угодно близких".
Да такие пары чисел есть, ну и что? Фокус то в том чт отеперь у нас 2 измерения.
пусть y=sqrt(2)*x
Ясно x и y не могут быть одновременно рациональными числами -- тогда y/x это тоже рациональное, но это у нас корень из 2! Значит остается точка (0,0)
а есть взять функцию y=sqrt(2)*(x+1) так она вообще не проходит ни через одну рациональную точку, то есть точку у котрой обе координаты рациональные
