kan_izh wrote:
>> В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там
>> идет работа с абстрактными объектами.
> Заметь, пределов ещё нет. Потом вводится дес. запись и *постулируется*,
> что 0,(9) и 1,(0) одна и таже запись одного числа. И пределов всё ещё нет. И не надо.
На самом деле, это _один_ _из_ вариантов задания вещественных чисел. И
не самый удачный, кстати.

В этом случае мы формально задаем числа как бесконечные дроби (при этом
0.9(9)=1 становится аксиомой), потом формально задаем алгоритмы
сложения/умножения/деления. Затем доказываем, что полученые объекты
образуют упорядоченное поле и т.п.

Можно поступить и наоборот — взять упорядченное поле с "1" и "0" за
определение вещественных чисел. При этом десятичная запись будет
представлением этих объектов, и равенство 0.9(9)=1 становится
_теоремой_. Точно так же теоремами будет доказательство корректности
алгоритмов сложения и т.п.

Оба способа абсолютно равнозначны. Хотя в первом случае получаются
весьма неудобные и некрасивые теоремы. Во втором случае эти теоремы
будут в глубинах теории полей

> Тебя, например, не удивляет, что 0.(3) и 0.333(3) одно и тоже число? И
> почему нужно использовать именно 0.(3), а не что-то другое?
Не удивляет. Ведь 2+2-2=2+2.

>> К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их
>> изоморфизм...
>> Изоморфизм чему?
> Изоморфизм 2 моделей.
Моделей больше, их штук 5 всего есть (с ультрафильтрами, например, еще
есть).

>> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
>> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
>> достаточно для определения понятия "предела".
> Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там
> есть.
Да без проблем:
Пределом последовательности f(n) называют такое число E, что для любого
epsilon>0 есть такой N, что для n>N: |f(n)-E|<epsilon.

Другое дело, что числа сильно дискретные и пределы получаются тривиальными.

На рациональных числах уже вполне нормальные нетривиальные пределы есть.
Однако множество рациональных чисел — не фундаментальное, то есть
существуют фундаментальные последовательности, котороые не сходятся к
рац. числам.

> Нужна ещё непрерывность.
Рац. числа непрерывны.

> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
Нет его

>> Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены
>> аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой
>> себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0.
> Ой-йо... какой бред. Зря пары прогуливаешь.
Что тут бредового? Символы "1" и "0" задаются аксиомами поля, затем
задаем что символ "2" — это просто такое сокращение для "1+1", "3" —
сокращение для "1+1+1" и т.д.

kan_izh wrote:
>> Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
>> системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
>> невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
> Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
Эээ... А здесь есть глубокое различие?

kan_izh wrote:
> 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?

Cyberax wrote:

>> 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
> А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.

raskin wrote:

>> Суслика видишь?
> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно доказать (но вовсе не обязательно).

> Группа знаков в скобках означает, что она — период. 0,3333 (n троек) —
> сумма геометрической прогрессии 3*(1/10+1/100+...+1/10^n) =
> (3/10)*(1-(1/10)^(n+1))/(1-(1/10)) =
> (1/3)*(1-(1/10)^(n+1)). Предел этого равен 1/3, так как (1/10)^n+1
> стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности.

> Правда, так как запись эта уже "скрытый предел", то значков предела,
> вроде, не надо.
Правильно.

kan_izh wrote:
>
> raskin wrote:
>
>> > Суслика видишь?
>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
> доказать (но вовсе не обязательно).

Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
бесконечной десятичной дроби.

Cyberax wrote:

>> > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
> Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко сворачивается в слово.
Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
Тоже предел!!

>> Кстати, более корректая запись 0.(3)
> Насколько я помню, после точки и перед периодом должна быть хотя бы одна
> цифра (чтоб неоднозначностей в грамматике не было ).
Может быть, не особо важно.

kan_izh wrote:
>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
> доказать (но вовсе не обязательно).
Это зависит от того, что взято за аксиому.

Точно так же, пятый постулат Евклида может стать теоремой, если взять за
аксиому то, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

kan_izh wrote:
>> > 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
>> А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
> Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.
А почему 8/9 и 0.8(8) — одно и то же?

Cyberax wrote:

>> > Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
>> > системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
>> > невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
>> Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
> Эээ... А здесь есть глубокое различие?
Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем — существует.
Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой
длины.

kan_izh wrote:
>> > Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
>> Эээ... А здесь есть глубокое различие?
> Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это
> означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
> вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем — существует.
> Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
> вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
невозможно). Надо было более ясно писать

kan_izh wrote:
>> > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
> Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
> сворачивается в слово.
Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.

> Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
> Тоже предел!!
Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).

raskin wrote:

>> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
> Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
> Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
> Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
> содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.
Да согласен. Ввести можно, но содержательность не будет сколь либо нетривиальной.

> А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
> нельзя, если считать, что x пробегает рациональные.
Вот это не понял. Особенно после реплики выше.

Почему определить нельзя? Можно же постороить последовательность вида:
1.5^2, 1.(3)^3, 1.25^4....
можно докажать, что для любого \eps, сущ \delta...
но lim — не существует!

> А если по
> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
"неполнота"? Это что?
По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.

kan_izh wrote:
> raskin wrote:
>> > Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
>> Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
>> Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
>> Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
>> содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.
> Да согласен. Ввести можно, но содержательность не будет сколь либо
> нетривиальной.
Ну, хотя бы не сводится к стационарности.
>
>> А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
>> нельзя, если считать, что x пробегает рациональные.
> Вот это не понял. Особенно после реплики выше.
Если x пробегает рациональные, то у нас проблемы со степенью 3,1415 .
> можно докажать, что для любого \eps, сущ \delta...
> но lim — не существует!
По натуральным x всё тривиально определяется.
>> А если по
>> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
> "неполнота"? Это что?
> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
Полнота метрического пространства — это свойство, утверждающее, что
каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

kan_izh wrote:
>> А если по
>> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
> "неполнота"? Это что?
> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.

Фундаментальность означает, что сходящиеся последовательности Коши (они
же "фундаментальные последовательности") имеют предел в этом же
пространстве.

Есть разные способы задания вещественных чисел
1. дедекиндовы сечения
2. бесконечные десятичные дроби
3. пополнение поля рациональных чисел по метрике d(x,y)=|x-y|
... ещё что-нибудь ...

Обсуждается почему 0.(9)=1.0...

В модели 1 изначально нет никакой десятичной записи. В зависимости от того, как мы будем сопоставлять числу десятичную запись, может получаться либо вариант с 1.00, либо c 0.(9), либо оба. Можно считать, что здесь это вопрос определений.

В модели 2 по определению.

В модели 3 таких определений, конечно нет.
Там нужно доказывать, что любое число есть предел конечных десятичных дробей.
И конечно, то, что 0.(9)=1.0 это теорема.

Так что весь разговор по сути ни о чём. Кто как определяет вещественные числа. В зависимости от выбора разные вещи будут теоремами/определениями.

Мой хит-парад
На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про неё забыл)
модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....

Cyberax wrote:

>> > > 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
>> > А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
>> Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.
> А почему 8/9 и 0.8(8) — одно и то же?
Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм) перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
(кстати, без использования пределов).
Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.

kan_izh wrote:
> Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
> перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
> (кстати, без использования пределов).
> Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
> тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
> часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.

Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.

raskin wrote:

>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
>> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
>> доказать (но вовсе не обязательно).
> Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
> бесконечной десятичной дроби.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
(взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)

ну нету в ОПРЕДЕЛЕНИИ предела!!!

Cyberax wrote:

>> > > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> > > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> > Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
>> Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
>> сворачивается в слово.
> Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.

>> Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> Тоже предел!!
> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа. trailing nine у нас нет.