raskin wrote:

>> Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
>> перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
>> (кстати, без использования пределов).
>> Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
>> тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
>> часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.
> Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
> которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
> другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.
Ты попробуй это построить для ВСЕХ чисел биективно.

Cyberax wrote:
>> > > Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля
> шагов.
>> > Эээ... А здесь есть глубокое различие?
>> Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это
>> означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
>> вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем —
> существует.
>> Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
> невозможно). Надо было более ясно писать
Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из множества всех аксиом + множества правила вывода.

Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.

kan_izh wrote:
> raskin wrote:
>
>> > Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
>> > перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
>> > (кстати, без использования пределов).
>> > Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
>> > тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
>> > часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.
>> Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
>> которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
>> другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.
> Ты попробуй это построить для ВСЕХ чисел биективно.
Из Вашего описания всё это не следует. Кроме того, я могу сделать так:

1,3 -> 0,8,8;   0,8,8 -> 1,3
8,9 -> 0,3,3;   0,3,3 -> 8,9

а на остальных числах — например, биективно переводить десятичные записи
в дроби или делать что-то ещё, неважно что.

Кроме того, алгоритмически и биективно можно прибавлять и вычитать 1 —
Вы же не скажете, что 1 и 2 — одно и тоже, потому что ...

А переделы появляются не при переводе между системами, а при определении.

kan_izh wrote:
> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
А сумма определяется через предел, всё в порядке.
Ветку пора в Войны, но их я не читаю...

kan_izh wrote:
>> > > > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись
> числа. Но
>> > > > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> > > Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
>> > Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
>> > сворачивается в слово.
>> Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.
>
>> > Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> > Тоже предел!!
>> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
> trailing nine у нас нет.

Но это не отменяет, что 0,333333333... — это предел последовательноти
0.3, 0.33, 0.333,... И запись корректная.

kan_izh wrote:
>> > Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> > вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
>> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
>> невозможно). Надо было более ясно писать
> Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из
> множества всех аксиом + множества правила вывода.
Это скорее исчисление. Теория — множество утверждений, которые считаются
верными (выводимыми).
>
> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
Часто правило вывода одно — A=>B,A |- B, поэтому мелочи можно опустить.
Стандартные сокращения в речи.

Константин wrote:

> Мой хит-парад
> На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про
> неё забыл)
> модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....
Всё правильно. И в модели 2 нет никаких пределов! Там это равенство по определению, а не из-за каких-то там пределов.

Cyberax wrote:
>> > А если по
>> > натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> > фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
>> "неполнота"? Это что?
>> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
> Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
> Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
Вики лежит...
Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
Есть понятие плотное множество — м-ду любыми 2-мя точками можно поставить третью. Этим св-м обладают и рац, и действ. числа.
А вот что такое фундаментальность — не помню.
Поэтому о полноте не могу сказать... ждём вики...

kan_izh wrote:
>> Мой хит-парад
>> На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про
>> неё забыл)
>> модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....
> Всё правильно. И в модели 2 нет никаких пределов! Там это равенство по
> определению, а не из-за каких-то там пределов.
Никуда не убежишь от них — все определения эквивалентны.

Они там есть в доказательстве свойств операций (точнее что они сохраняют
свои свойства в бесконечности). Правда звучат примерно так: "для любой
eps существует такой номер N, что при остатке длиной n>N, ошибка будет
меньше eps".

Все отличие этого метода в том, что объекты типа 0.9(9) при этом подходе
рассматриваются как отдельные случаи.

kan_izh wrote:
>> Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
>> бесконечной десятичной дроби.
> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
> ну нету в ОПРЕДЕЛЕНИИ предела!!!
Как нету?? Знак суммы — это уже и есть предел. Актуальной бесконечности
в анализе нет, есть только стремление к ней.

kan_izh wrote:
>> > Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> > Тоже предел!!
>> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
> trailing nine у нас нет.
Есть, я могу записать 0.9(999) или 0.9(9999) — тебе придется доказать
что эти объекты равны. А это не так просто, на самом деле.

kan_izh wrote:
>> > Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> > вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
>> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
>> невозможно). Надо было более ясно писать
> Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из
> множества всех аксиом + множества правила вывода.
И как это противоречит с тем что я сказал?

> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
Я говорю про доказательство зависимости аксиомы от других аксиом.
Например, если мы возьмем геометрию Евклида и добавим туда еще одну
аксиому (например о сумме углов треугольника).

kan_izh wrote:
>> Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
>> Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
> Вики лежит...
У меня работает

> Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое
> дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
Зачем так сложно?

"Функция называется непрерывной в точке X0, если для любого epsilon>0
есть такой delta>0, что при |x|<delta: |f(x)-f(X0)|<epsilon", или что
эквивалентно: lim{x->X0}f(x)=f(X0).

"Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке".

> Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
понятие фундаментальности.

> А вот что такое фундаментальность — не помню.
Это если для любой сходящейся последовательности Коши существует предел
в самом множестве. Или формально для последовательности: "Для любого
epsilon>0 существует такой N, что для m,n>N: |f(m)-f(n)|<epsilon".

То есть в сходящейся последовательности Коши точки становятся
неограниченно близки друг к другу. В фундаментальных системах это влечет
сущствование предела, к которому стремятся эти значения.

raskin wrote:

>> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
> А сумма определяется через предел, всё в порядке.
Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного её примерения (для каждого эл-та множества по
которому идёт суммирование).
Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и, напрмер, через арифметическую прогрессию.

Cyberax wrote:

>> > Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
>> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
>> trailing nine у нас нет.
> Есть, я могу записать 0.9(999) или 0.9(9999) — тебе придется доказать
> что эти объекты равны. А это не так просто, на самом деле.
По определению дес. записи период обязан быть кратчашим.
Т.е. 0.12(345345) — неверная дес. запись. Правильно писать 0.12(345)
Точно также 00012 не является правильной записью нат. числа, нули слева писать нельзя.

Cyberax wrote:

>> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
>> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
>> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
> Я говорю про доказательство зависимости аксиомы от других аксиом.
> Например, если мы возьмем геометрию Евклида и добавим туда еще одну
> аксиому (например о сумме углов треугольника).
Пожалуйста, никто не запрещает. Просто более "практически полезно" использовать теории с независимым множеством аксиом.

kan_izh wrote:
>> > ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> > x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> > (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
>> А сумма определяется через предел, всё в порядке.
> Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного
> её примерения (для каждого эл-та множества по которому идёт суммирование).
Не "многократного", а "бесконечного". Две большие разницы.

> Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и,
> напрмер, через арифметическую прогрессию.
Сумма _бесконечного_ количества элементов кроме как через предел
посчитана быть не может.

Отсюда получаются интересные неинтуитивные шутки — например бесконечная
_перестановка_ членов знакочередующегося ряда может повлиять на его
сумму и сходимость.

Cyberax wrote:

>> > Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
>> > Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
>> Вики лежит...
> У меня работает
Иногда работает, а чаще вот так.

The Wikimedia Foundation servers are currently experiencing technical difficulties.
The problem is most likely temporary and will hopefully be fixed soon. Please check back in a few minutes.

Или вообще connection refused.

>> Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое
>> дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
> Зачем так сложно?
Т.к. это непрерывность *множества*.
Кстати, слово continuum можно перевести как "непрерывность".

> "Функция называется непрерывной в точке X0, если для любого epsilon>0
> есть такой delta>0, что при |x|<delta: |f(x)-f(X0)|<epsilon", или что
> эквивалентно: lim{x->X0}f(x)=f(X0).
> "Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке".
А это непрерывность *функции*.

>> Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
> Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
> понятие фундаментальности.
Я имел в виду тут множества чисел.

>> А вот что такое фундаментальность — не помню.
> Это если для любой сходящейся последовательности Коши существует предел
> в самом множестве. Или формально для последовательности: "Для любого
> epsilon>0 существует такой N, что для m,n>N: |f(m)-f(n)|<epsilon".

> То есть в сходящейся последовательности Коши точки становятся
> неограниченно близки друг к другу. В фундаментальных системах это влечет
> сущствование предела, к которому стремятся эти значения.
Ок, похоже на правду.

Cyberax wrote:

>> > > ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> > > x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> > > (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
>> > А сумма определяется через предел, всё в порядке.
>> Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного
>> её примерения (для каждого эл-та множества по которому идёт суммирование).
> Не "многократного", а "бесконечного". Две большие разницы.
В данном случае нет. Алгоритмизируемость тут не требуется. Просто сумма эл-тов некоего множества. А мощность множетсва в
данном случае не важна.

>> Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и,
>> напрмер, через арифметическую прогрессию.
> Сумма _бесконечного_ количества элементов кроме как через предел
> посчитана быть не может.
Вспомни геометрическую прогрессию, хотя бы.
Или 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 ... + 0... = 3. Безо всяких пределов.
Т.е. в некоторых *частных* случаях сумма может быть посчитана без использования пределов. Но в общем случае можно
использовать пределы.

> Отсюда получаются интересные неинтуитивные шутки — например бесконечная
> _перестановка_ членов знакочередующегося ряда может повлиять на его
> сумму и сходимость.

Предел лишь один из обобщённых способов считать суммы, но он не единственный. В частных случаях можно обойтись без него.
Что и делается в дес. записи.

kan_izh wrote:
> The Wikimedia Foundation servers are currently experiencing technical
> difficulties.
> The problem is most likely temporary and will hopefully be fixed soon.
> Please check back in a few minutes.
Использую backup в виде Фихтенгольца

>> > Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
>> Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
>> понятие фундаментальности.
> Я имел в виду тут множества чисел.
А нет такого понятия "непрерывность множества". Вообще.

Есть непрерывные функции.