Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.

У вас может и вводилось чего-то, а у нас доказывалось.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>>Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.

SJA>У вас может и вводилось чего-то, а у нас доказывалось.

Наверно, потому как дети в школе еще пределов не знают, там оно только "вводится". Максимум, что на том базисе могут доказать — это что при округлении 0.9(9) до любого знака получим единицу (так скать школьный аналог "бесконечно малой наперед заданной точности"). А когда доходят до матанализа — уже не до такой мелочи, как докозательство частного случая периодической дроби .
Как в анекдоте:
-Сколько будет 2*2?
-Мы с константами не работаем!!!

Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>Наверно, потому как дети в школе еще пределов не знают, там оно только "вводится". Максимум, что на том базисе могут доказать — это что при округлении 0.9(9) до любого знака получим единицу (так скать школьный аналог "бесконечно малой наперед заданной точности"). А когда доходят до матанализа — уже не до такой мелочи, как докозательство частного случая периодической дроби .

Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:


А>ДА НЕ НУЖНО ЕГО ДОКАЗЫВАТЬ!!!! числа — понятия аксиоматические (как например, точка или прямая — они есть, их не надо определять). И 0.(9) — это НЕ СУММА РЯДА, это ЧИСЛО!

Ну Вы блин даёте. Я думал, что это меня понесло, а оказывается, что прямая это аксиома, а ссумма ряда уже оказывается не число!??! Вот как ведь в жизни бывает: складываешь числа. а в сумме получаешь не числа а что-нить ещё

А>Просто так записанное. И к сумме ряда имеет ровно такое же отношение, как и любая обычная десятичная запись к десятичному разложению. Да, действительно, 123=1*100+2*10+3, но вы же не будете это доказывать!

Зря вы так, вот сюда

Автор: raskin
Дата: 29.10.05

лучше посмотрите, ещё и не то доказывать нужно...

Здравствуйте, Hacker_Delphi, Вы писали:

H_D>Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>>Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

H_D>Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ
это в корне не верно, аксиома не очевидна — банальный пример — о единсвенности прямой проходящей через данную точку параллельной данной прямой.
Аксиома — это некое вольно выбираемое правило которому мы следуем не потому что оно "очевидно верно" а потому что мы ее выбрали

Здравствуйте, Hacker_Delphi, Вы писали:

H_D>Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ

Дудки. Аксиома это то. что принимается на веру в качестве истинны

Hacker_Delphi wrote:
> Аксиома — это не то, что *НЕВОЗМОЖНО* доказать, это то, что *НЕ ТРЕБУЕТ*
> доказательств *В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ*
RTFM учебник мат. логики.

Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).

Здравствуйте, Александр Некто, Вы писали:

АН>Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
+1
АН>равенство 1=0,9(9) вынесено в определение

Есть по крайней мере 2 способа определять вещественные числа.

Способ 1. Дедекиндовы сечения (например Фихтенгольц,Рудин...)
Способ 2. Бесконечные десятичные дроби (например Никольский...)
В общих чертах:
числа определяются как десятичные представления A,abcde...
при этом по определению записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.

Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их изоморфизм...

Восхищают рассуждения, связанные с рядами
Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже есть понятие предела.
Мы говорим о пределе. Значит на множестве действительных чисел уже есть топология... Замечательно
Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число вообще?

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись.

Насколько я помню математику, это читается как "ноль целых и три в периоде"

Eagle-XK wrote:
> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись.
> Насколько я помню математику, это читается как "ноль целых и три в периоде"
Это все помнят

Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
актуальной бесконечности в стандартном анализе нет, есть только
стремление к ней. Так что 0.3(3) на самом деле означает "число, которое
является _пределом_ числа 0.3333... при неограниченом увеличении
количества цифр в его записи".

Здравствуйте, Константин, Вы писали:

К>Есть по крайней мере 2 способа определять вещественные числа.
К>Способ 1. Дедекиндовы сечения (например Фихтенгольц,Рудин...)
Дедекиндовы сечения или аксиоматическое введение вещественных чисел как полностью упорядоченного поля с образующими элементами "0" и "1" ничего нам не говорят о способе их записи.

У нас может быть десятичная позицонная система записи чисел или римская непозиционная — это лишь _представления_ чисел. Для каждой из этих систем необходимо доказать, что объекты в этой системе соответствуют модели вещественных чисел.

К>Способ 2. Бесконечные десятичные дроби (например Никольский...)
Это другой вариант — тут мы изначально берем десятичную запись и правила действия над ней, и доказываем, что она удовлетворяет аксиомам полностью упордяоченного поля (что потом можно использовать для доказательства других теорем).

К>В общих чертах:
К>числа определяются как десятичные представления A,abcde...
К>при этом по определению записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.
В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там идет работа с абстрактными объектами.

К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их изоморфизм...
Изоморфизм чему?

К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже есть понятие предела.
Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого достаточно для определения понятия "предела".

К>Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
К>Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число вообще?
Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0. И т.д.

Dziman wrote:

> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
> C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
> C>бесконечности.
> C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
> C>свойствам предела.
> На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А
> доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
Он же написал, это же _скрытая_ запись. Она доступна только посвящённым. Это достигается только медитацией, постом и
праведной жизнью.
Суслика видишь?

Cyberax wrote:
>> Доказать можно как угодно, но зачем усложнять?
>> >1/3 == 0.3(3)
>> >Умножаем на 3:
>> >3*1/3 == 3*0.3(3)
>> >1 == 0.9(9)
>> Вполне корректно.
Доказать истинное утверждение можно любым способом. Импликация вида x=>True истина независимо от истинности x. Истина
следует из всего, что угодно.

1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта. А так как объект один и тот же, то и все
действия с этими объектами будут давать тот же результат.

> Вообще говоря, значение записи 3*0.3(3) не определено с помощью обычных
> правил действия над конечными дробями.
Да, но есть правила действия с периодическими дробями (а это конечные записи).

> Тут требуется предельный переход
> и свойства пределов, что делает такое доказательство сложнее, чем
> использование формулы суммы прогрессии (а вот в доказательстве этой
> формулы уже нужны пределы).
Тебе может и требуется, но некоторые и без него обходятся.

Cyberax wrote:
> Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
Кстати, более корректая запись 0.(3)

Cyberax wrote:
> Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
> системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
> невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.

> К>В общих чертах:
> К>числа определяются как десятичные представления A,abcde...
> К>при этом *по определению* записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.
> В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там
> идет работа с абстрактными объектами.
Заметь, пределов ещё нет. Потом вводится дес. запись и *постулируется*, что 0,(9) и 1,(0) одна и таже запись одного
числа. И пределов всё ещё нет. И не надо.
А также принимается соглашение не использовать 0,(9) для однозначности представления.
Тебя, например, не удивляет, что 0.(3) и 0.333(3) одно и тоже число? И почему нужно использовать именно 0.(3), а не
что-то другое?

> К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их
> изоморфизм...
> Изоморфизм чему?
Изоморфизм 2 моделей.

> К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже
> есть понятие предела.
> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
> достаточно для определения понятия "предела".
Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там есть.
Нужна ещё непрерывность.

Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.

> К>Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы
> берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
> К>Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число
> вообще?
> Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены
> аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой
> себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0.
Ой-йо... какой бред. Зря пары прогуливаешь.

kan_izh wrote:
> Dziman wrote:
>
>> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
>> C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
>> C>бесконечности.
>> C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
>> C>свойствам предела.
>> На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А
>> доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
> Он же написал, это же _скрытая_ запись. Она доступна только посвящённым.
> Это достигается только медитацией, постом и
> праведной жизнью.
> Суслика видишь?
Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
Группа знаков в скобках означает, что она — период. 0,3333 (n троек) —
сумма геометрической прогрессии 3*(1/10+1/100+...+1/10^n) =
(3/10)*(1-(1/10)^(n+1))/(1-(1/10)) =
(1/3)*(1-(1/10)^(n+1)). Предел этого равен 1/3, так как (1/10)^n+1
стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности.

Правда, так как запись эта уже "скрытый предел", то значков предела,
вроде, не надо.

kan_izh wrote:
>> К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже
>> есть понятие предела.
>> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
>> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
>> достаточно для определения понятия "предела".
> Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там
> есть.
> Нужна ещё непрерывность.
>
> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.

Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.

А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
нельзя, если считать, что x пробегает рациональные. А если по
натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.

kan_izh wrote:
>> Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
> Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...

> Кстати, более корректая запись 0.(3)
Насколько я помню, после точки и перед периодом должна быть хотя бы одна
цифра (чтоб неоднозначностей в грамматике не было ).