Sergey J. A. wrote:
> Может доказательство, что 0.9(9) == 1 ?
> Что-то такое помнится:
> 1/3 == 0.3(3)
> Умножаем на 3:
> 3*1/3 == 3*0.3(3)
> 1 == 0.9(9)
А почему это в юморе? Доказательство абсолютно верно. Особенно если
поставить значки пределов.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>1 == 0.9(9)

Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
равенство 1=0,9(9) вынесено в определение

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>>Извиняюсь если пишу не туда, но вроде как было в юморе доказательство того что 1=9 посредством числа 0,9(9).

SJA>Может доказательство, что 0.9(9) == 1 ?
SJA>Что-то такое помнится:
SJA>1/3 == 0.3(3)
SJA>Умножаем на 3:
SJA>3*1/3 == 3*0.3(3)
SJA>1 == 0.9(9)

x = 0.(9)
10x = 9.(9)
9x = 10x — x = 9.(9)-0.(9) = 9
9x = 9
x =1;

Nose wrote:
> Доказать можно как угодно, но зачем усложнять?
>>1/3 == 0.3(3)
>>Умножаем на 3:
>>3*1/3 == 3*0.3(3)
>>1 == 0.9(9)
> Вполне корректно.
Вообще говоря, значение записи 3*0.3(3) не определено с помощью обычных
правил действия над конечными дробями. Тут требуется предельный переход
и свойства пределов, что делает такое доказательство сложнее, чем
использование формулы суммы прогрессии (а вот в доказательстве этой
формулы уже нужны пределы).

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:


А>ДА НЕ НУЖНО ЕГО ДОКАЗЫВАТЬ!!!! числа — понятия аксиоматические (как например, точка или прямая — они есть, их не надо определять). И 0.(9) — это НЕ СУММА РЯДА, это ЧИСЛО!

Ну Вы блин даёте. Я думал, что это меня понесло, а оказывается, что прямая это аксиома, а ссумма ряда уже оказывается не число!??! Вот как ведь в жизни бывает: складываешь числа. а в сумме получаешь не числа а что-нить ещё

А>Просто так записанное. И к сумме ряда имеет ровно такое же отношение, как и любая обычная десятичная запись к десятичному разложению. Да, действительно, 123=1*100+2*10+3, но вы же не будете это доказывать!

Зря вы так, вот сюда

Автор: raskin
Дата: 29.10.05

лучше посмотрите, ещё и не то доказывать нужно...

Hacker_Delphi wrote:
> Аксиома — это не то, что *НЕВОЗМОЖНО* доказать, это то, что *НЕ ТРЕБУЕТ*
> доказательств *В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ*
RTFM учебник мат. логики.

Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).

Есть разные способы задания вещественных чисел
1. дедекиндовы сечения
2. бесконечные десятичные дроби
3. пополнение поля рациональных чисел по метрике d(x,y)=|x-y|
... ещё что-нибудь ...

Обсуждается почему 0.(9)=1.0...

В модели 1 изначально нет никакой десятичной записи. В зависимости от того, как мы будем сопоставлять числу десятичную запись, может получаться либо вариант с 1.00, либо c 0.(9), либо оба. Можно считать, что здесь это вопрос определений.

В модели 2 по определению.

В модели 3 таких определений, конечно нет.
Там нужно доказывать, что любое число есть предел конечных десятичных дробей.
И конечно, то, что 0.(9)=1.0 это теорема.

Так что весь разговор по сути ни о чём. Кто как определяет вещественные числа. В зависимости от выбора разные вещи будут теоремами/определениями.

Мой хит-парад
На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про неё забыл)
модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....

Добрый день.
Извиняюсь если пишу не туда, но вроде как было в юморе доказательство того что 1=9 посредством числа 0,9(9).
Может кто даст ссылочку.
Заранее благороден.

Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>Извиняюсь если пишу не туда, но вроде как было в юморе доказательство того что 1=9 посредством числа 0,9(9).

Может доказательство, что 0.9(9) == 1 ?
Что-то такое помнится:
1/3 == 0.3(3)
Умножаем на 3:
3*1/3 == 3*0.3(3)
1 == 0.9(9)

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>А почему это в юморе? Доказательство абсолютно верно. Особенно если
C>поставить значки пределов.
Никаких приделов не надо 1/3 и 0.3(3) — это разные записи одного и того же числа.
А в юмор потому что людям рядом не стоявшим с математико доказательство, наверное, кажется несуразным и смешным

Dziman wrote:
> C>А почему это в юморе? Доказательство абсолютно верно. Особенно если
> C>поставить значки пределов.
> Никаких приделов не надо 1/3 и 0.3(3) — это разные записи одного и того
> же числа.
Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
бесконечности.

Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
свойствам предела.

> А в юмор потому что людям рядом не стоявшим с математико доказательство,
> наверное, кажется несуразным и смешным.
Ну тогда ладно.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
C>бесконечности.
C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
C>свойствам предела.
На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?

Здравствуйте, Dziman, Вы писали:

D>На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
А что ж тут доказsвать? Я математику не помню, но 0.3333(3) = lim Сумма по i от 1 до n 3*(1/10)^i при n->8

Dziman wrote:
> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
> C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
> C>бесконечности.
> C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
> C>свойствам предела.
> На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет.
А они есть

> А доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
Линк в тетрадь дать не могу

Доказать очень просто: 0.3(3) — это на самом деле есть сумма убывающей
геометрической прогрессии с начальным членом 0.3 и знаменателем 0.1, и
если подставить эти числа в известную формулу суммы убывающей
геометрической прогрессии — то непосредственно получаем 1/3 в результате.

Можно еще и явно используя свойства пределов вывести тот же результат,
но мне в ASCII-art упражняться лениво, а TeX ставить не хочется

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Доказать очень просто: 0.3(3) — это на самом деле есть сумма убывающей
C>геометрической прогрессии с начальным членом 0.3 и знаменателем 0.1, и
C>если подставить эти числа в известную формулу суммы убывающей
C>геометрической прогрессии — то непосредственно получаем 1/3 в результате.
Может я с 1 и 0.(9) спутал... Но все же мне сильно кажется что никаких доказательств нет/не надо.

Dziman wrote:
> C>Доказать очень просто: 0.3(3) — это на самом деле есть сумма убывающей
> C>геометрической прогрессии с начальным членом 0.3 и знаменателем 0.1, и
> C>если подставить эти числа в известную формулу суммы убывающей
> C>геометрической прогрессии — то непосредственно получаем 1/3 в результате.
> Может я с 1 и 0.(9) спутал... Но все же мне сильно кажется что никаких
> доказательств нет/не надо.
Почему нет? Есть, хотя и очень простые:
0.3(3)=0*10^0 + 3*10^(-1) + 3*10^(-2) + 3*10^(-3) + ...
или более формально: 0.3(3)=Sum(n=-1..-inf){3*10^n}.

Это есть геометрическая прогрессия, ее сумма равна S=u1/(1-q), где u1 —
первый член, а q — знаменатель. Здесь u1=0.3, q=0.1

Имеем: 0.3/(1-0.1)=0.3/0.9=1/3. Ч.Т.Д.

Точно так же и с 0.9(9): 0.9/(1-0.9)=0.9/0.9=1

Здравствуйте, Александр Некто, Вы писали:

АН>Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
АН>равенство 1=0,9(9) вынесено в определение

Это что, аксиома, что-ли ?

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Доказать очень просто: 0.3(3) — это на самом деле есть сумма убывающей
C>геометрической прогрессии с начальным членом 0.3 и знаменателем 0.1, и
C>если подставить эти числа в известную формулу суммы убывающей
C>геометрической прогрессии — то непосредственно получаем 1/3 в результате.

Доказать можно как угодно, но зачем усложнять?

>1/3 == 0.3(3)
>Умножаем на 3:
>3*1/3 == 3*0.3(3)
>1 == 0.9(9)

Вполне корректно.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Здравствуйте, Александр Некто, Вы писали:

АН>>Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
АН>>равенство 1=0,9(9) вынесено в определение


SJA>Это что, аксиома, что-ли ?
Это не аксиома и не отпределение Просто 0.(9) есть сумма ряда 9/10^n, n=1.... Ряд этот сходиться и сумма у него единица.
Док-во: последовательность частичных сумм есть {0.9...9}={An} (т.е. 9 повторяется n раз , эта последовательность имеет предел 1, т.к. для любого е>0 есть N такое что 1-An<e для любого n>N. (N=[log(1/e)]). чтд.
Вывод: доказательство очевидно
PS: во блин понесло...

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Здравствуйте, Александр Некто, Вы писали:

АН>>Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
АН>>равенство 1=0,9(9) вынесено в определение

SJA>Это что, аксиома, что-ли ?

Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.

Аноним wrote:
> SJA>Это что, аксиома, что-ли ?
> Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические
> дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.
В школе — может быть. Но это вовсе не аксиома, так как это равенство
элементарно доказывается.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Аноним wrote:
>> SJA>Это что, аксиома, что-ли ?
>> Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические
>> дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.
C>В школе — может быть. Но это вовсе не аксиома, так как это равенство
C>элементарно доказывается.

ДА НЕ НУЖНО ЕГО ДОКАЗЫВАТЬ!!!! числа — понятия аксиоматические (как например, точка или прямая — они есть, их не надо определять). И 0.(9) — это НЕ СУММА РЯДА, это ЧИСЛО!
Просто так записанное. И к сумме ряда имеет ровно такое же отношение, как и любая обычная десятичная запись к десятичному разложению. Да, действительно, 123=1*100+2*10+3, но вы же не будете это доказывать!

Аноним wrote:
>> > SJA>Это что, аксиома, что-ли ?
>> > Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические
>> > дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.
> C>В школе — может быть. Но это вовсе не аксиома, так как это равенство
> C>элементарно доказывается.
> ДА НЕ НУЖНО ЕГО ДОКАЗЫВАТЬ!!!! числа — понятия аксиоматические (как
> например, точка или прямая — они есть, их не надо определять). И 0.(9) —
> это НЕ СУММА РЯДА, это ЧИСЛО!
Не надо кричать. Аксиомой является _понятие_ числа, а не его запись. А
вариантов записей может быть весьма много.

Например, III=3 — в римской системе.

И вот свойства конкретной системы записи чисел надо доказывать.
Например, то что 0.9(9)=1 или что 1/3=0.3(3). Или что все рациональные
числа записываются в виде переодической дроби и т.п.

> Просто так записанное. И к сумме ряда имеет ровно такое же отношение,
> как и любая обычная десятичная запись к десятичному разложению. Да,
> действительно, 123=1*100+2*10+3, но вы же не будете это доказывать!
Естественно, вы ведь только что почти написали определение десятичной
записи

Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.

У вас может и вводилось чего-то, а у нас доказывалось.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>>Да тут даже в вышку лезть не надо, это еще в школе когда периодические дроби изучают, вводится что 1==0.(9). И именно аксиоматически.

SJA>У вас может и вводилось чего-то, а у нас доказывалось.

Наверно, потому как дети в школе еще пределов не знают, там оно только "вводится". Максимум, что на том базисе могут доказать — это что при округлении 0.9(9) до любого знака получим единицу (так скать школьный аналог "бесконечно малой наперед заданной точности"). А когда доходят до матанализа — уже не до такой мелочи, как докозательство частного случая периодической дроби .
Как в анекдоте:
-Сколько будет 2*2?
-Мы с константами не работаем!!!

Здравствуйте, <Aiiiei>, Вы писали:

Aii>Наверно, потому как дети в школе еще пределов не знают, там оно только "вводится". Максимум, что на том базисе могут доказать — это что при округлении 0.9(9) до любого знака получим единицу (так скать школьный аналог "бесконечно малой наперед заданной точности"). А когда доходят до матанализа — уже не до такой мелочи, как докозательство частного случая периодической дроби .

Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ

Здравствуйте, Hacker_Delphi, Вы писали:

H_D>Здравствуйте, Sergey J. A., Вы писали:

SJA>>Насколько я помню, аксиома это то что принимается безоговорочно, т.к. это нельзя доказать. Если это можно доказать, то это уже не аксиома.

H_D>Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ
это в корне не верно, аксиома не очевидна — банальный пример — о единсвенности прямой проходящей через данную точку параллельной данной прямой.
Аксиома — это некое вольно выбираемое правило которому мы следуем не потому что оно "очевидно верно" а потому что мы ее выбрали

Здравствуйте, Hacker_Delphi, Вы писали:

H_D>Аксиома — это не то, что НЕВОЗМОЖНО доказать, это то, что НЕ ТРЕБУЕТ доказательств В СИЛУ ОЧЕВИДНОСТИ

Дудки. Аксиома это то. что принимается на веру в качестве истинны

Здравствуйте, Александр Некто, Вы писали:

АН>Гык. А может просто открыть начала первого курса матана?
+1
АН>равенство 1=0,9(9) вынесено в определение

Есть по крайней мере 2 способа определять вещественные числа.

Способ 1. Дедекиндовы сечения (например Фихтенгольц,Рудин...)
Способ 2. Бесконечные десятичные дроби (например Никольский...)
В общих чертах:
числа определяются как десятичные представления A,abcde...
при этом по определению записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.

Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их изоморфизм...

Восхищают рассуждения, связанные с рядами
Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже есть понятие предела.
Мы говорим о пределе. Значит на множестве действительных чисел уже есть топология... Замечательно
Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число вообще?

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись.

Насколько я помню математику, это читается как "ноль целых и три в периоде"

Eagle-XK wrote:
> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись.
> Насколько я помню математику, это читается как "ноль целых и три в периоде"
Это все помнят

Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
актуальной бесконечности в стандартном анализе нет, есть только
стремление к ней. Так что 0.3(3) на самом деле означает "число, которое
является _пределом_ числа 0.3333... при неограниченом увеличении
количества цифр в его записи".

Здравствуйте, Константин, Вы писали:

К>Есть по крайней мере 2 способа определять вещественные числа.
К>Способ 1. Дедекиндовы сечения (например Фихтенгольц,Рудин...)
Дедекиндовы сечения или аксиоматическое введение вещественных чисел как полностью упорядоченного поля с образующими элементами "0" и "1" ничего нам не говорят о способе их записи.

У нас может быть десятичная позицонная система записи чисел или римская непозиционная — это лишь _представления_ чисел. Для каждой из этих систем необходимо доказать, что объекты в этой системе соответствуют модели вещественных чисел.

К>Способ 2. Бесконечные десятичные дроби (например Никольский...)
Это другой вариант — тут мы изначально берем десятичную запись и правила действия над ней, и доказываем, что она удовлетворяет аксиомам полностью упордяоченного поля (что потом можно использовать для доказательства других теорем).

К>В общих чертах:
К>числа определяются как десятичные представления A,abcde...
К>при этом по определению записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.
В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там идет работа с абстрактными объектами.

К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их изоморфизм...
Изоморфизм чему?

К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже есть понятие предела.
Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого достаточно для определения понятия "предела".

К>Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
К>Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число вообще?
Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0. И т.д.

Dziman wrote:

> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
> C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
> C>бесконечности.
> C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
> C>свойствам предела.
> На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А
> доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
Он же написал, это же _скрытая_ запись. Она доступна только посвящённым. Это достигается только медитацией, постом и
праведной жизнью.
Суслика видишь?

Cyberax wrote:
>> Доказать можно как угодно, но зачем усложнять?
>> >1/3 == 0.3(3)
>> >Умножаем на 3:
>> >3*1/3 == 3*0.3(3)
>> >1 == 0.9(9)
>> Вполне корректно.
Доказать истинное утверждение можно любым способом. Импликация вида x=>True истина независимо от истинности x. Истина
следует из всего, что угодно.

1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта. А так как объект один и тот же, то и все
действия с этими объектами будут давать тот же результат.

> Вообще говоря, значение записи 3*0.3(3) не определено с помощью обычных
> правил действия над конечными дробями.
Да, но есть правила действия с периодическими дробями (а это конечные записи).

> Тут требуется предельный переход
> и свойства пределов, что делает такое доказательство сложнее, чем
> использование формулы суммы прогрессии (а вот в доказательстве этой
> формулы уже нужны пределы).
Тебе может и требуется, но некоторые и без него обходятся.

Cyberax wrote:
> Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
Кстати, более корректая запись 0.(3)

Cyberax wrote:
> Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
> системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
> невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.

> К>В общих чертах:
> К>числа определяются как десятичные представления A,abcde...
> К>при этом *по определению* записи 0,(9) и 1,(0) задают одно и то же число.
> В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там
> идет работа с абстрактными объектами.
Заметь, пределов ещё нет. Потом вводится дес. запись и *постулируется*, что 0,(9) и 1,(0) одна и таже запись одного
числа. И пределов всё ещё нет. И не надо.
А также принимается соглашение не использовать 0,(9) для однозначности представления.
Тебя, например, не удивляет, что 0.(3) и 0.333(3) одно и тоже число? И почему нужно использовать именно 0.(3), а не
что-то другое?

> К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их
> изоморфизм...
> Изоморфизм чему?
Изоморфизм 2 моделей.

> К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже
> есть понятие предела.
> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
> достаточно для определения понятия "предела".
Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там есть.
Нужна ещё непрерывность.

Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.

> К>Здесь начинается самое интересное. Вооружённые этим аппаратом, мы
> берём и "доказываем", что 0,(9)==1.
> К>Возникает вопрос: а как же тогда вводится топология, и что такое число
> вообще?
> Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены
> аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой
> себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0.
Ой-йо... какой бред. Зря пары прогуливаешь.

kan_izh wrote:
> Dziman wrote:
>
>> C>Просто на самом деле 0.3(3) — это скрытая предельная запись. То есть
>> C>предел числа вида 0.333333 (где 3 повторено N раз) при N стремящемся к
>> C>бесконечности.
>> C>Соответственно, то что 1/3 и есть 0.3(3) можно легко доказать по
>> C>свойствам предела.
>> На сколько я помню математику — все же пределами тут и не пахнет. А
>> доказать можете ? Или кинуть линк где доказывается?
> Он же написал, это же _скрытая_ запись. Она доступна только посвящённым.
> Это достигается только медитацией, постом и
> праведной жизнью.
> Суслика видишь?
Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
Группа знаков в скобках означает, что она — период. 0,3333 (n троек) —
сумма геометрической прогрессии 3*(1/10+1/100+...+1/10^n) =
(3/10)*(1-(1/10)^(n+1))/(1-(1/10)) =
(1/3)*(1-(1/10)^(n+1)). Предел этого равен 1/3, так как (1/10)^n+1
стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности.

Правда, так как запись эта уже "скрытый предел", то значков предела,
вроде, не надо.

kan_izh wrote:
>> К>Мы говорим о сумме ряда. Значит на множестве действительных чисел уже
>> есть понятие предела.
>> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
>> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
>> достаточно для определения понятия "предела".
> Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там
> есть.
> Нужна ещё непрерывность.
>
> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.

Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.

А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
нельзя, если считать, что x пробегает рациональные. А если по
натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.

kan_izh wrote:
>> Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
> Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...

> Кстати, более корректая запись 0.(3)
Насколько я помню, после точки и перед периодом должна быть хотя бы одна
цифра (чтоб неоднозначностей в грамматике не было ).

kan_izh wrote:
>> В Дедекиндовых сечениях конкретная запись чисел не упоминается — там
>> идет работа с абстрактными объектами.
> Заметь, пределов ещё нет. Потом вводится дес. запись и *постулируется*,
> что 0,(9) и 1,(0) одна и таже запись одного числа. И пределов всё ещё нет. И не надо.
На самом деле, это _один_ _из_ вариантов задания вещественных чисел. И
не самый удачный, кстати.

В этом случае мы формально задаем числа как бесконечные дроби (при этом
0.9(9)=1 становится аксиомой), потом формально задаем алгоритмы
сложения/умножения/деления. Затем доказываем, что полученые объекты
образуют упорядоченное поле и т.п.

Можно поступить и наоборот — взять упорядченное поле с "1" и "0" за
определение вещественных чисел. При этом десятичная запись будет
представлением этих объектов, и равенство 0.9(9)=1 становится
_теоремой_. Точно так же теоремами будет доказательство корректности
алгоритмов сложения и т.п.

Оба способа абсолютно равнозначны. Хотя в первом случае получаются
весьма неудобные и некрасивые теоремы. Во втором случае эти теоремы
будут в глубинах теории полей

> Тебя, например, не удивляет, что 0.(3) и 0.333(3) одно и тоже число? И
> почему нужно использовать именно 0.(3), а не что-то другое?
Не удивляет. Ведь 2+2-2=2+2.

>> К>Далее в обеих моделях вводятся +,-,*,/,>,==... Доказывается, их
>> изоморфизм...
>> Изоморфизм чему?
> Изоморфизм 2 моделей.
Моделей больше, их штук 5 всего есть (с ультрафильтрами, например, еще
есть).

>> Да, а что тут такого? Действительные числа задаются как упорядоченное
>> поле, а значит у нас есть операция сравнения и вычитания — этого
>> достаточно для определения понятия "предела".
> Недостаточно. Или введи предел на нат. числах, сравнение и вычитание там
> есть.
Да без проблем:
Пределом последовательности f(n) называют такое число E, что для любого
epsilon>0 есть такой N, что для n>N: |f(n)-E|<epsilon.

Другое дело, что числа сильно дискретные и пределы получаются тривиальными.

На рациональных числах уже вполне нормальные нетривиальные пределы есть.
Однако множество рациональных чисел — не фундаментальное, то есть
существуют фундаментальные последовательности, котороые не сходятся к
рац. числам.

> Нужна ещё непрерывность.
Рац. числа непрерывны.

> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
Нет его

>> Мы сначала вводим первые десять чисел (числа "0" и "1" у нас введены
>> аксиоматически, остальные вводятся как результат прибавления "1" к самой
>> себе N раз), а потом определяем, что число abc=a*10^2 + b*10^1 + c*10^0.
> Ой-йо... какой бред. Зря пары прогуливаешь.
Что тут бредового? Символы "1" и "0" задаются аксиомами поля, затем
задаем что символ "2" — это просто такое сокращение для "1+1", "3" —
сокращение для "1+1+1" и т.д.

kan_izh wrote:
>> Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
>> системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
>> невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
> Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
Эээ... А здесь есть глубокое различие?

kan_izh wrote:
> 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?

Cyberax wrote:

>> 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
> А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.

raskin wrote:

>> Суслика видишь?
> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно доказать (но вовсе не обязательно).

> Группа знаков в скобках означает, что она — период. 0,3333 (n троек) —
> сумма геометрической прогрессии 3*(1/10+1/100+...+1/10^n) =
> (3/10)*(1-(1/10)^(n+1))/(1-(1/10)) =
> (1/3)*(1-(1/10)^(n+1)). Предел этого равен 1/3, так как (1/10)^n+1
> стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности.

> Правда, так как запись эта уже "скрытый предел", то значков предела,
> вроде, не надо.
Правильно.

kan_izh wrote:
>
> raskin wrote:
>
>> > Суслика видишь?
>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
> доказать (но вовсе не обязательно).

Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
бесконечной десятичной дроби.

Cyberax wrote:

>> > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
> Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко сворачивается в слово.
Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
Тоже предел!!

>> Кстати, более корректая запись 0.(3)
> Насколько я помню, после точки и перед периодом должна быть хотя бы одна
> цифра (чтоб неоднозначностей в грамматике не было ).
Может быть, не особо важно.

kan_izh wrote:
>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
> доказать (но вовсе не обязательно).
Это зависит от того, что взято за аксиому.

Точно так же, пятый постулат Евклида может стать теоремой, если взять за
аксиому то, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

kan_izh wrote:
>> > 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
>> А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
> Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.
А почему 8/9 и 0.8(8) — одно и то же?

Cyberax wrote:

>> > Аксиомы (и понятия) вместе с правилами вывода — это основы формальной
>> > системы. Доказательство аксиом в рамках данной формальной системы
>> > невозможно (так как _из_ аксиом выводятся все остальные объекты).
>> Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
> Эээ... А здесь есть глубокое различие?
Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем — существует.
Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой
длины.

kan_izh wrote:
>> > Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля шагов.
>> Эээ... А здесь есть глубокое различие?
> Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это
> означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
> вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем — существует.
> Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
> вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
невозможно). Надо было более ясно писать

kan_izh wrote:
>> > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
> Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
> сворачивается в слово.
Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.

> Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
> Тоже предел!!
Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).

raskin wrote:

>> Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
> Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
> Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
> Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
> содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.
Да согласен. Ввести можно, но содержательность не будет сколь либо нетривиальной.

> А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
> нельзя, если считать, что x пробегает рациональные.
Вот это не понял. Особенно после реплики выше.

Почему определить нельзя? Можно же постороить последовательность вида:
1.5^2, 1.(3)^3, 1.25^4....
можно докажать, что для любого \eps, сущ \delta...
но lim — не существует!

> А если по
> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
"неполнота"? Это что?
По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.

kan_izh wrote:
> raskin wrote:
>> > Посчитай предел lim(x->oo)((1+1/x)^x) не используя действ. чисел.
>> Вообще-то непрерывность нужна только для полноты получаемого множества.
>> Предел можно ввести на натуральных чисел с метрикой модуль разности.
>> Правда, содержательности не будет. А на рациональных предел даже
>> содержателен, хотя есть реже, чем хотелось бы.
> Да согласен. Ввести можно, но содержательность не будет сколь либо
> нетривиальной.
Ну, хотя бы не сводится к стационарности.
>
>> А указанный Вами предел не то, что посчитать — определить в рациональных
>> нельзя, если считать, что x пробегает рациональные.
> Вот это не понял. Особенно после реплики выше.
Если x пробегает рациональные, то у нас проблемы со степенью 3,1415 .
> можно докажать, что для любого \eps, сущ \delta...
> но lim — не существует!
По натуральным x всё тривиально определяется.
>> А если по
>> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
> "неполнота"? Это что?
> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
Полнота метрического пространства — это свойство, утверждающее, что
каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

kan_izh wrote:
>> А если по
>> натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
> "неполнота"? Это что?
> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.

Фундаментальность означает, что сходящиеся последовательности Коши (они
же "фундаментальные последовательности") имеют предел в этом же
пространстве.

Cyberax wrote:

>> > > 1/3 и 0.(3) — 2 представления одного и того же математического объекта.
>> > А почему 1/3 и 0.8(8) не одно и то же?
>> Потому что 1/3 и 8/9 не одно и то же.
> А почему 8/9 и 0.8(8) — одно и то же?
Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм) перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
(кстати, без использования пределов).
Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.

kan_izh wrote:
> Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
> перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
> (кстати, без использования пределов).
> Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
> тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
> часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.

Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.

raskin wrote:

>> Нет, без чтения книг (или слушания наставника) не достигнуть. Но что Вам
>> не понравилось — бесконечная десятичная дробь означает число, равное
>> пределу конечных десятичных дробей, получаемых при отбрасывании хвоста.
>> Правильно, но это не определение, а свойство. Теорема, которую можно
>> доказать (но вовсе не обязательно).
> Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
> бесконечной десятичной дроби.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
(взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)

ну нету в ОПРЕДЕЛЕНИИ предела!!!

Cyberax wrote:

>> > > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись числа. Но
>> > > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> > Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
>> Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
>> сворачивается в слово.
> Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.

>> Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> Тоже предел!!
> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа. trailing nine у нас нет.

raskin wrote:

>> Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
>> перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
>> (кстати, без использования пределов).
>> Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
>> тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
>> часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.
> Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
> которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
> другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.
Ты попробуй это построить для ВСЕХ чисел биективно.

Cyberax wrote:
>> > > Какой ужас. Аксиомы выводятся, но вывод тривиален, состоит из нуля
> шагов.
>> > Эээ... А здесь есть глубокое различие?
>> Когда говорят "невозможен вывод", означает, что вывод не существует. Это
>> означает ложную формулу. Т.е. для ложных формул
>> вывод не существует, а для всех аксиом и всех истинных теорем —
> существует.
>> Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
> невозможно). Надо было более ясно писать
Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из множества всех аксиом + множества правила вывода.

Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.

kan_izh wrote:
> raskin wrote:
>
>> > Потому что существует способ (даже конструктивный! однозначный алгоритм)
>> > перевода из записи 8/9 в запись 0.8(8) и наоборот.
>> > (кстати, без использования пределов).
>> > Т.е. можно даже построить машину Тьюринга, которая на вход будет брать
>> > тройку чисел "0" (целая часть), "8" — дробная
>> > часть, "8" — период и выдаёт пару чисел "8" и "9". И обратную МТ.
>> Это не аргумент в такой формулировке. Я могу построить машину Тьюринга,
>> которая будет на входе 0,8,8 выдавать пару чисел 1 и 3, как и на любом
>> другом. И обратную — которая выдаёт 0, 8 и 8 всегда, например на 1,3.
> Ты попробуй это построить для ВСЕХ чисел биективно.
Из Вашего описания всё это не следует. Кроме того, я могу сделать так:

1,3 -> 0,8,8;   0,8,8 -> 1,3
8,9 -> 0,3,3;   0,3,3 -> 8,9

а на остальных числах — например, биективно переводить десятичные записи
в дроби или делать что-то ещё, неважно что.

Кроме того, алгоритмически и биективно можно прибавлять и вычитать 1 —
Вы же не скажете, что 1 и 2 — одно и тоже, потому что ...

А переделы появляются не при переводе между системами, а при определении.

kan_izh wrote:
> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
А сумма определяется через предел, всё в порядке.
Ветку пора в Войны, но их я не читаю...

kan_izh wrote:
>> > > > > Дело в том, что 0.3(3) — это есть бесконечно-длинная запись
> числа. Но
>> > > > Почему бесконечно-длинная? Всего 6 символов.
>> > > Потому что 0.3(3)=0.333333333333333333333333333333...
>> > Да, можно и так рассматривать. Но эта бесконечая запись легко
>> > сворачивается в слово.
>> Ну да, так как ее предел равен рациональному числу.
>
>> > Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> > Тоже предел!!
>> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
> trailing nine у нас нет.

Но это не отменяет, что 0,333333333... — это предел последовательноти
0.3, 0.33, 0.333,... И запись корректная.

kan_izh wrote:
>> > Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> > вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
>> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
>> невозможно). Надо было более ясно писать
> Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из
> множества всех аксиом + множества правила вывода.
Это скорее исчисление. Теория — множество утверждений, которые считаются
верными (выводимыми).
>
> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
Часто правило вывода одно — A=>B,A |- B, поэтому мелочи можно опустить.
Стандартные сокращения в речи.

Константин wrote:

> Мой хит-парад
> На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про
> неё забыл)
> модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....
Всё правильно. И в модели 2 нет никаких пределов! Там это равенство по определению, а не из-за каких-то там пределов.

Cyberax wrote:
>> > А если по
>> > натуральным — то просто (в рациональных числах) последовательность
>> > фундаментальна, но предела не имеет из-за неполноты пространства.
>> "неполнота"? Это что?
>> По-моему как раз из-за отсутствия непрерывности.
> Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
> Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
Вики лежит...
Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
Есть понятие плотное множество — м-ду любыми 2-мя точками можно поставить третью. Этим св-м обладают и рац, и действ. числа.
А вот что такое фундаментальность — не помню.
Поэтому о полноте не могу сказать... ждём вики...

kan_izh wrote:
>> Мой хит-парад
>> На первое место претендуют модель 1 и модель 3 ( как-то изначально я про
>> неё забыл)
>> модель 2 как самая корявая находится в глубокой ....
> Всё правильно. И в модели 2 нет никаких пределов! Там это равенство по
> определению, а не из-за каких-то там пределов.
Никуда не убежишь от них — все определения эквивалентны.

Они там есть в доказательстве свойств операций (точнее что они сохраняют
свои свойства в бесконечности). Правда звучат примерно так: "для любой
eps существует такой номер N, что при остатке длиной n>N, ошибка будет
меньше eps".

Все отличие этого метода в том, что объекты типа 0.9(9) при этом подходе
рассматриваются как отдельные случаи.

kan_izh wrote:
>> Смотря в какой системе. В большинстве естественных это определение
>> бесконечной десятичной дроби.
> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
> ну нету в ОПРЕДЕЛЕНИИ предела!!!
Как нету?? Знак суммы — это уже и есть предел. Актуальной бесконечности
в анализе нет, есть только стремление к ней.

kan_izh wrote:
>> > Тебя не смущает, что 1234 = ...00000000001234 ?
>> > Тоже предел!!
>> Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
> trailing nine у нас нет.
Есть, я могу записать 0.9(999) или 0.9(9999) — тебе придется доказать
что эти объекты равны. А это не так просто, на самом деле.

kan_izh wrote:
>> > Для теорем, сложнее аксиом — вывод состоит из посл. применения правил
>> > вывода. Если теорема — аксиоама, то посл. нулевой длины.
>> Я говорил про вывод аксиом из других аксиом (что в общем случае
>> невозможно). Надо было более ясно писать
> Такого не бывает. Теоремы выводятся не из аксиом, а в теории, т.е. из
> множества всех аксиом + множества правила вывода.
И как это противоречит с тем что я сказал?

> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
Я говорю про доказательство зависимости аксиомы от других аксиом.
Например, если мы возьмем геометрию Евклида и добавим туда еще одну
аксиому (например о сумме углов треугольника).

kan_izh wrote:
>> Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
>> Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
> Вики лежит...
У меня работает

> Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое
> дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
Зачем так сложно?

"Функция называется непрерывной в точке X0, если для любого epsilon>0
есть такой delta>0, что при |x|<delta: |f(x)-f(X0)|<epsilon", или что
эквивалентно: lim{x->X0}f(x)=f(X0).

"Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке".

> Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
понятие фундаментальности.

> А вот что такое фундаментальность — не помню.
Это если для любой сходящейся последовательности Коши существует предел
в самом множестве. Или формально для последовательности: "Для любого
epsilon>0 существует такой N, что для m,n>N: |f(m)-f(n)|<epsilon".

То есть в сходящейся последовательности Коши точки становятся
неограниченно близки друг к другу. В фундаментальных системах это влечет
сущствование предела, к которому стремятся эти значения.

raskin wrote:

>> ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
> А сумма определяется через предел, всё в порядке.
Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного её примерения (для каждого эл-та множества по
которому идёт суммирование).
Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и, напрмер, через арифметическую прогрессию.

Cyberax wrote:

>> > Нет, это не предел, а неправильная запись числа (leading zero у нас нет).
>> Правильно, так вот и запись вида 0.9(9) тоже неправильная запись числа.
>> trailing nine у нас нет.
> Есть, я могу записать 0.9(999) или 0.9(9999) — тебе придется доказать
> что эти объекты равны. А это не так просто, на самом деле.
По определению дес. записи период обязан быть кратчашим.
Т.е. 0.12(345345) — неверная дес. запись. Правильно писать 0.12(345)
Точно также 00012 не является правильной записью нат. числа, нули слева писать нельзя.

Cyberax wrote:

>> Если ты пытаешься доказать некую теорему теории $Th$ с исключённой некой
>> аксиомой $Ai$, это означает, что ты пытаешься
>> сделать в вывод в теории $Th\{Ai}$, где \ — операция вычитания.
> Я говорю про доказательство зависимости аксиомы от других аксиом.
> Например, если мы возьмем геометрию Евклида и добавим туда еще одну
> аксиому (например о сумме углов треугольника).
Пожалуйста, никто не запрещает. Просто более "практически полезно" использовать теории с независимым множеством аксиом.

kan_izh wrote:
>> > ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> > x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> > (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
>> А сумма определяется через предел, всё в порядке.
> Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного
> её примерения (для каждого эл-та множества по которому идёт суммирование).
Не "многократного", а "бесконечного". Две большие разницы.

> Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и,
> напрмер, через арифметическую прогрессию.
Сумма _бесконечного_ количества элементов кроме как через предел
посчитана быть не может.

Отсюда получаются интересные неинтуитивные шутки — например бесконечная
_перестановка_ членов знакочередующегося ряда может повлиять на его
сумму и сходимость.

Cyberax wrote:

>> > Пространство может быть фундаментальным, непрерывным оно быть не может.
>> > Хотя понятие фундаментальности близко к понятию непрерывности.
>> Вики лежит...
> У меня работает
Иногда работает, а чаще вот так.

The Wikimedia Foundation servers are currently experiencing technical difficulties.
The problem is most likely temporary and will hopefully be fixed soon. Please check back in a few minutes.

Или вообще connection refused.

>> Поэтому пишу по памяти. Непрерывность множества — если каждое
>> дедекиндово сечение этого множества имеет рубеж.
> Зачем так сложно?
Т.к. это непрерывность *множества*.
Кстати, слово continuum можно перевести как "непрерывность".

> "Функция называется непрерывной в точке X0, если для любого epsilon>0
> есть такой delta>0, что при |x|<delta: |f(x)-f(X0)|<epsilon", или что
> эквивалентно: lim{x->X0}f(x)=f(X0).
> "Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке".
А это непрерывность *функции*.

>> Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
> Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
> понятие фундаментальности.
Я имел в виду тут множества чисел.

>> А вот что такое фундаментальность — не помню.
> Это если для любой сходящейся последовательности Коши существует предел
> в самом множестве. Или формально для последовательности: "Для любого
> epsilon>0 существует такой N, что для m,n>N: |f(m)-f(n)|<epsilon".

> То есть в сходящейся последовательности Коши точки становятся
> неограниченно близки друг к другу. В фундаментальных системах это влечет
> сущствование предела, к которому стремятся эти значения.
Ок, похоже на правду.

Cyberax wrote:

>> > > ОПРЕДЕЛЕНИЕ через сумму записывается, а не через предел.
>> > > x = \mathop{\rm sign}(x) \sum_{i\in\mathbb Z} a_i\,10^i
>> > > (взято из http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal)
>> > А сумма определяется через предел, всё в порядке.
>> Нет, \sum *определяется* через бинарную операцию +, путём многократного
>> её примерения (для каждого эл-та множества по которому идёт суммирование).
> Не "многократного", а "бесконечного". Две большие разницы.
В данном случае нет. Алгоритмизируемость тут не требуется. Просто сумма эл-тов некоего множества. А мощность множетсва в
данном случае не важна.

>> Сумма может быть *посчитана* через предел, но может посчитана и,
>> напрмер, через арифметическую прогрессию.
> Сумма _бесконечного_ количества элементов кроме как через предел
> посчитана быть не может.
Вспомни геометрическую прогрессию, хотя бы.
Или 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 ... + 0... = 3. Безо всяких пределов.
Т.е. в некоторых *частных* случаях сумма может быть посчитана без использования пределов. Но в общем случае можно
использовать пределы.

> Отсюда получаются интересные неинтуитивные шутки — например бесконечная
> _перестановка_ членов знакочередующегося ряда может повлиять на его
> сумму и сходимость.

Предел лишь один из обобщённых способов считать суммы, но он не единственный. В частных случаях можно обойтись без него.
Что и делается в дес. записи.

kan_izh wrote:
> The Wikimedia Foundation servers are currently experiencing technical
> difficulties.
> The problem is most likely temporary and will hopefully be fixed soon.
> Please check back in a few minutes.
Использую backup в виде Фихтенгольца

>> > Так вот рац. числа не обладают св-м непрерывности, действ. — обладают.
>> Для _всех_ рациональных чисел не определено понятие непрерывности. Есть
>> понятие фундаментальности.
> Я имел в виду тут множества чисел.
А нет такого понятия "непрерывность множества". Вообще.

Есть непрерывные функции.

kan_izh wrote:
>> Не "многократного", а "бесконечного". Две большие разницы.
> В данном случае нет. Алгоритмизируемость тут не требуется. Просто сумма
> эл-тов некоего множества.
Понятия "сумма бесконечного числа элементов" — НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Как-то
получил за это "2" на экзамене по матану

>> Сумма _бесконечного_ количества элементов кроме как через предел
>> посчитана быть не может.
> Вспомни геометрическую прогрессию, хотя бы.
В доказательстве формулы суммы используется предел.

> Или 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 ... + 0... = 3. Безо всяких пределов.
Нет. Он есть, но просто его значение очевидно.

Есть теорема о том что ряд, в котором начиная с некоторого N все члены
равны x — расходится, если x!=0.

> Т.е. в некоторых *частных* случаях сумма может быть посчитана без
> использования пределов. Но в общем случае можно использовать пределы.
Нет. В некоторых частных случаях значение предела _очевидно_.

>> Отсюда получаются интересные неинтуитивные шутки — например бесконечная
>> _перестановка_ членов знакочередующегося ряда может повлиять на его
>> сумму и сходимость.
> Предел лишь один из обобщённых способов считать суммы, но он не
> единственный. В частных случаях можно обойтись без него.
> Что и делается в дес. записи.
Нет. В классической математике теория пределов — единственный способ
работы с бесконечными объектами.