Здравствуйте, djandy_spb, Вы писали:
_>Количество конфет у детей в любой отбор будет F = 100 * N — N (N — номер операции ).
_>Это ряд, который расходится, и суммы не имеет. Если бы он имел сумму 0, то должен был бы быть сходящимся, т.е. удовлетворять двум признакам. К сожалению, не могу их точно вспомнить, но короче, он им не удовлетворяет. Т.е. бесконечное число конфет.
_>А то что нумеровать, или не нумеровать конфеты.. Да какая разница, что там на конфете написано
Теорема. Натуральных чисел больше, чем рациональных на [0,1].
Доказательство.
Выпишем в первый ряд рациональные числа в порядке (0/1, 1/1, 0/2, 1/2, 2/2 ...) пропуская дубликаты. Во второй ряд натуральные по порядку.
Итерация: взять одно число из первого ряда и два из второго
После итерации N у нас N рациональных чисел и 2*N натуральных. Ряд F = 2 * N — N расходится, поэтому натуральных чисел больше, чем рациональных на [0,1]. Ч.т.д.
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>Теорема. Натуральных чисел больше, чем рациональных на [0,1]. T>Доказательство. T>Выпишем в первый ряд рациональные числа в порядке (0/1, 1/1, 0/2, 1/2, 2/2 ...) пропуская дубликаты. Во второй ряд натуральные по порядку. T>Итерация: взять одно число из первого ряда и два из второго T>После итерации N у нас N рациональных чисел и 2*N натуральных. Ряд F = 2 * N — N расходится, поэтому натуральных чисел больше, чем рациональных на [0,1]. Ч.т.д.
А каким образом расхождение такого ряда доказывает означенную теорему?
Ведь следуя этой методе, точно также "доказывается", что натуральных чисел больше, чем натуральных чисел.
Здравствуйте, Sir Wiz, Вы писали:
SW>Здравствуйте, Cruelty, Вы писали:
C>>Здравствуйте, Tan4ik,Позволю себе не согласится с утверждением, что ситуация изначально неопределена. Она очень даже определена и в логическом и математицеском смысле. Когда мы имеем дело с бесконечностью, то в математике сусчествует понятие предела.
SW>На счётных множествах понятия предела нет. По крайней мере, я его не знаю.
Это не ест гут. Приведу пару контрпримеров.
1) Множество рациональных чисел счетно, несмотря на то, что всюду плотно. "Всюду плотно", это означает, что любая точка множества является "предельной", т. е. существует последовательность разных точек этого-же множества сходящаяся к ней. О чем студентов университетов извещают на первом семестре.
2) Один из самых простых способов введения действительных чисел опирается непосредственно на их определение через пределы последовательностей рациональных чисел. Действительных чисел изначально в анализе нет, их надо сначало определить .
SW>Предел вводится на континуальных множествах. Например, действительных чисел, где между любыми двумя числами находится континуум чисел. Для счётного множества это неверно.
Незачет, приходите на пересдачу
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>1. Зачем такая задача программисту? (кроме как для разминки мозгов и общей эрудиции)
М-да... Давайте взглянем на вопрос шире. А зачем программисту мозги и общая эрудиция? Многие в жизни прекрасно обходятся так называемым "здравым смыслом" и практической сметкой. ("Скажите, какие шаблоны проектирования надо применять для решения задачи?")
Здравствуйте, YVR, Вы писали:
YVR>А каким образом расхождение такого ряда доказывает означенную теорему? YVR>Ведь следуя этой методе, точно также "доказывается", что натуральных чисел больше, чем натуральных чисел.
Я пользовался логикой сообщения, на которое отвечал. Если его принять за истину, то доказательство вполне логично. Данная теорема лишь способ опровергнуть утверждение djandy_spb.
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>Я пользовался логикой сообщения, на которое отвечал. Если его принять за истину, то доказательство вполне логично. Данная теорема лишь способ опровергнуть утверждение djandy_spb.
ИМХО в том сообщении доказывалось несколько другое.
Кстати, вот другая задачка:
Есть бассейн бесконечного объема. Заполнение бассейна (водой) в начальный момент времени не определено (но очевидно неотрицательно). К бассейну подключены 2 трубы: через одну вливается 100 литров (воды) в единицу времени, через другую выливается 1 литр (воды) в единицу времени.
Вопрос 1: Сколько в бассейне будет (воды) через бесконечное количество единиц времени.
Вопрос 2: Чем эта задача математически отличается от исходной.
Примечание: Договоримся, что бесконечность не есть неопределенное значение.
: T>Представим, что у нас есть гостинница с бесконечным числом номеров, но все номера заняты. К нам приходит очень важный посетитель, для которого нужно освободить номер. Мы просим владельца 1го номера переехать во второй, владельца 2го — в 3й и т.д. В результате у нас есть одно свободное место и нет недовольных (по крайней мере выселенных).
Однако, на мой взгляд, не совсем правильно. Здесь полагается, что слушатель должен согласиться с возможностью выполнения описанной операции. А эта операция невозможна по определению — все места заняты (сколько бы их не было).
Похожая задача: требуется выселить одного постояльца из гостиницы с бесконечным числом номеров, но все номера пусты.
G>1) Множество рациональных чисел счетно, несмотря на то, что всюду плотно. "Всюду плотно", это означает, что любая точка множества является "предельной", т. е. существует последовательность разных точек этого-же множества сходящаяся к ней. О чем студентов университетов извещают на первом семестре.
G>2) Один из самых простых способов введения действительных чисел опирается непосредственно на их определение через пределы последовательностей рациональных чисел. Действительных чисел изначально в анализе нет, их надо сначало определить .
SW>>Предел вводится на континуальных множествах. Например, действительных чисел, где между любыми двумя числами находится континуум чисел. Для счётного множества это неверно. G>Незачет, приходите на пересдачу
Согласно Вашему определению множество натуральных чисел "всюду плотно".
Студентов же университетов извещают, что множество рациональных чисел всюду плотно в пространстве действительных чисел. А "всюду плотно" означает, что множество содержит все "предельные" точки.
Действительные числа, действительно, надо определить, причем еще до определения предела. Поэтому через пределы последовательностей рациональных чисел они не определяются.
Здравствуйте, YVR, Вы писали:
T>>Я пользовался логикой сообщения, на которое отвечал. Если его принять за истину, то доказательство вполне логично. Данная теорема лишь способ опровергнуть утверждение djandy_spb.
YVR>ИМХО в том сообщении доказывалось несколько другое.
ИМХО именно это.
YVR>Кстати, вот другая задачка: YVR>Есть бассейн бесконечного объема. Заполнение бассейна (водой) в начальный момент времени не определено (но очевидно неотрицательно). К бассейну подключены 2 трубы: через одну вливается 100 литров (воды) в единицу времени, через другую выливается 1 литр (воды) в единицу времени. YVR>Вопрос 1: Сколько в бассейне будет (воды) через бесконечное количество единиц времени.
Да сколько угодно. Значение не определено. Не верите? Давайте поставим эксперемент
Об невозможности аргументировать любые утверждения я уже говорил
YVR>Вопрос 2: Чем эта задача математически отличается от исходной.
Ничем. Тут тоже просят разрешить неопределенность вида F = +oo — +oo YVR>Примечание: Договоримся, что бесконечность не есть неопределенное значение.
Бесконечность не есть неопределенное значение. Однако разность двух бесконечностей — есть.
YVR>Из поста Re: Ответ (чтоб не было недопониманий)
: T>>Представим, что у нас есть гостинница с бесконечным числом номеров, но все номера заняты. К нам приходит очень важный посетитель, для которого нужно освободить номер. Мы просим владельца 1го номера переехать во второй, владельца 2го — в 3й и т.д. В результате у нас есть одно свободное место и нет недовольных (по крайней мере выселенных).
YVR>Однако, на мой взгляд, не совсем правильно. Здесь полагается, что слушатель должен согласиться с возможностью выполнения описанной операции. А эта операция невозможна по определению — все места заняты (сколько бы их не было).
+1
Это зависит от того, как определить "все места заняты". Оба понимания имеют право на жизнь.
YVR>Похожая задача: требуется выселить одного постояльца из гостиницы с бесконечным числом номеров, но все номера пусты.
Если чего-то нет, то мы это из неоткуда никак не возьмем.
Здравствуйте, Трурль, Вы писали:
Т>Здравствуйте, Gaperton, Вы писали:
G>>1) Множество рациональных чисел счетно, несмотря на то, что всюду плотно. "Всюду плотно", это означает, что любая точка множества является "предельной", т. е. существует последовательность разных точек этого-же множества сходящаяся к ней. О чем студентов университетов извещают на первом семестре.
G>>2) Один из самых простых способов введения действительных чисел опирается непосредственно на их определение через пределы последовательностей рациональных чисел. Действительных чисел изначально в анализе нет, их надо сначало определить .
SW>>>Предел вводится на континуальных множествах. Например, действительных чисел, где между любыми двумя числами находится континуум чисел. Для счётного множества это неверно. G>>Незачет, приходите на пересдачу
Т>Согласно Вашему определению множество натуральных чисел "всюду плотно".
Вперед, постройте последовательность из разных (неповторяющихся) точек N, сходящуюся к числу 666.
А вообще, в математике принято сначала думать, а потом говорить что кто-то неправ. JFYI.
Т>Студентов же университетов извещают, что множество рациональных чисел всюду плотно в пространстве действительных чисел.
No comments.
Т>А "всюду плотно" означает, что множество содержит все "предельные" точки.
Ты считаешь, это не тоже самое, что любая точка множества является "предельной", или ты и в этот раз читаешь только первое предложение абзаца, как обычно? Или цепляешься за любую возможность доказать, что я не прав? В этом деле, скажу тебе по опыту, нельзя торопится. Лучше дождаться, пока этот "кто-то" не упорет полной фигни — в конце концов от этого никто не застрахован. Но пока это не мой случай .
Т>Действительные числа, действительно, надо определить, причем еще до определения предела.
Определи. Будет весело, я думаю.
Т>Поэтому через пределы последовательностей рациональных чисел они не определяются.
Я припоминаю существование 4 разных методов введения действительных чисел, и мне точно известно, что это не все возможные варианты. Ты про какой вариант? Я надеюсь, не про тот, что в учебнике матанализа Ильина? А то, я боюсь, Ильин сильно расстроится, когда узнает горькую правду.
Т>Так что, Вам, увы незачет.
Увы, Мне не только зачет, а диплом МГУ в области "прикладная математика" в 98 году . А моим научным руководителем был господин Ильин, да, тот самый Ильин, который автор известной серии учебников. Я понимаю, что в случае ошибки меня теперь порвут, но в такой простой вещи как анализ-1 ошибиться нелегко, так что риск невелик.
Т>>Согласно Вашему определению множество натуральных чисел "всюду плотно". G>Вперед, постройте последовательность из разных (неповторяющихся) точек N, сходящуюся к числу 666.
Слово "последовательность" не подразумевает "разных (неповторяющихся)".
Т>>Студентов же университетов извещают, что множество рациональных чисел всюду плотно в пространстве действительных чисел. G>No comments.
А на нет и суда нет.
Т>>А "всюду плотно" означает, что множество содержит все "предельные" точки. G>Ты считаешь, это не тоже самое, что любая точка множества является "предельной", или ты и в этот раз читаешь только первое предложение абзаца, как обычно?
«Ты бы еще сказала: "я вижу все, что ем", и я "ем все, что вижу" — это тоже одно и то же!»
Т>>Действительные числа, действительно, надо определить, причем еще до определения предела. G>Определи. Будет весело, я думаю. Т>>Поэтому через пределы последовательностей рациональных чисел они не определяются. G>Я припоминаю существование 4 разных методов введения действительных чисел, и мне точно известно, что это не все возможные варианты.
Ну вот, сами же упоминаете 4 разных метода. Надеюсь, не станете утверждать, что все они через пределы? G>Ты про какой вариант? Я надеюсь, не про тот, что в учебнике матанализа Ильина? А то, я боюсь, Ильин сильно расстроится, когда узнает горькую правду.
Учебник Ильина я не читал. Но интересно было бы увидеть определение предела последовательности рациональных чисел.
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>Предложу еще один ответ (и пусть кто попробует опровергнуть ): T>При правильных действиях снегурочки, все конфеты будут у нее, а детям ничего не достанется!!!
В исходной постановке не было ничего о правильных действиях снегурочки и даже о ее целях. При желании снегурочка может оставить детям любое количество конфет от 0 до oo.
Все это, разумеется, если принять аксиому выбора.
Здравствуйте, Трурль, Вы писали:
Т>Здравствуйте, Gaperton, Вы писали:
Т>>>Согласно Вашему определению множество натуральных чисел "всюду плотно". G>>Вперед, постройте последовательность из разных (неповторяющихся) точек N, сходящуюся к числу 666. Т>Слово "последовательность" не подразумевает "разных (неповторяющихся)".
Нелепая отмазка, не находите? Фраза "последовательность разных(неповторяющихся)" точек, которую я употребил, подразумевает то, что это последовательность разных, неповторяющихся, точек. Слово "разных" присутствовало в тексте изначального определения. Может на эпсилон-дельту перейдем? Думаете, получится выкрутится?
Т>>>Поэтому через пределы последовательностей рациональных чисел они не определяются. G>>Я припоминаю существование 4 разных методов введения действительных чисел, и мне точно известно, что это не все возможные варианты. Т>Ну вот, сами же упоминаете 4 разных метода. Надеюсь, не станете утверждать, что все они через пределы?
Так или иначе — да. В доказательствах используются пределы — или эпсилон-дельта, или последовательности. Впрочем, как я сказал — вэлкам. Это математика — определите действительные числа (с доказательством) не пользуясь понятием предела — что за зря языками чесать? Вперед. Можно привести ссылку.
Т>Учебник Ильина я не читал. Но интересно было бы увидеть определение предела последовательности рациональных чисел.
Даже странно. Число x in R является пределом последовательности x[i] in R тогда и только тогда, когда для произвольного E>0, (конечно же, E in R) найдется такое K in N, что для всех i > K будет выполнятся | x[i] — x | < E.
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
YVR>>Вопрос 1: Сколько в бассейне будет (воды) через бесконечное количество единиц времени. T>Да сколько угодно. Значение не определено. Не верите? Давайте поставим эксперемент
Легко. Буль-буль-буль..... Все утонули T>Об невозможности аргументировать любые утверждения я уже говорил
Сильное утверждение. Математике — кранты
T>Ничем. Тут тоже просят разрешить неопределенность вида F = +oo — +oo YVR>>Примечание: Договоримся, что бесконечность не есть неопределенное значение. T>Бесконечность не есть неопределенное значение. Однако разность двух бесконечностей — есть.
Ну почему же. Это есть неопределенность не во всех случаях.
См. теорию пределов и способы раскрытия неопределенностей 0/0, оо/оо, 0*оо, оо-оо.
YVR>>Из поста [url=http://www.rsdn.ru/Forum/Message.aspx?mid=871258&only=1
]Re: Ответ (чтоб не было недопониманий) YVR>>... YVR>>Здесь полагается, что слушатель должен согласиться с возможностью выполнения описанной операции. А эта операция невозможна по определению — все места заняты (сколько бы их не было). T>Это зависит от того, как определить "все места заняты". Оба понимания имеют право на жизнь.
Имеем бесконечное количество элементов "комната". Каждый элемент может находиться в одноим из состояний: "свободно" или "занято". "Все места заняты" = все элементы находятся в состоянии "занято".
А какое другое понимание может быть ?
Здравствуйте, Трурль, Вы писали:
Т>>>А "всюду плотно" означает, что множество содержит все "предельные" точки. G>>Ты считаешь, это не тоже самое, что любая точка множества является "предельной", или ты и в этот раз читаешь только первое предложение абзаца, как обычно? Т>«Ты бы еще сказала: "я вижу все, что ем", и я "ем все, что вижу" — это тоже одно и то же!»
Ну да, я не прав, это конечно не одно и то же.
То что вы называете "всюду плотным" множеством — это на самом деле, определение "замкнутого множества", или по другому, "компактного" множества .
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>>>Представим, что у нас есть гостинница с бесконечным числом номеров, но все номера заняты. К нам приходит очень важный посетитель, для которого нужно освободить номер. Мы просим владельца 1го номера переехать во второй, владельца 2го — в 3й и т.д. В результате у нас есть одно свободное место и нет недовольных (по крайней мере выселенных).
Извините, я не хочу разводить флейм, но для бесконечности нельзя говорить "ВСЯ бесконечность". Квантор всеобщности применим лишь к конечным множествам. 1 + оо = оо -- в єтом смысл парадокса о гостинице.
Что же касаемо задачки о снегурочке, то у детишек в каждый момент времени будет примерно (100-1)e^(t*C) канхвет, а у снегурищи — (1)e^(t*C)
Сравнивая эти величины в производных, по Лопиталю, легко видеть, что ВСЕГДА деткам достанется в 99 раз конфет больше, ибо дети наглее любой снегурки — точно вам говорю
Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
T>Если посмотреть на задачу с чисто математической стороны, то можно прийти к выводу, что ситуация неопределена на момент начала праздника. А с неопределенностью мы можем делать что угодно (в разумных пределах). Можно доказать, что эта неопределенность при определенных условия равна нулю, можно, что равна бесконечности, можно еще что-нибудь доказать.
T>Поэтому с математической точки зрения правильный ответ — на момент начала праздника количество конфет у детей неопределено. T>С физической же точки зрения правильный ответ — некорректное условие задачи.
T>P.S. Ногами не быть, все написанное я только что придумал.
Ок, бить не будем. Только отметим, что последовательность дачи и отъема конфет строго оговорена в условии задачи. Т. е. чередуется +100 и -1. Итого, решение — сумма ряда
+100 -1 +100 -1 +100 -1 +100 -1 ...
Есть теорема, что для таких рядов можно перестановкой членов ряда выставить их сумму в любое наперед заданное число. Это и есть та самая ситуация неопределенности, о которой вы говорите. Так бы и было, но. Порядок элементов этого ряда фиксирован по условию задачи, так что никакой неопределенности нет - ряд уходит в плюс-бесконечность с асимптотикой O(N).
В решениях люди получают эту неопределенность исскуственно, считая две суммы отдельно и беря их разность. А это неправильно — так они теряют информацию о порядке эелементов в ряде, вот и вылезает неопределенность. Вот и весь парадокс.
Здравствуйте, Gaperton, Вы писали:
G>Есть теорема, что для таких рядов можно перестановкой членов ряда выставить их сумму в любое наперед заданное число.
Память дырявая стала на старости лет. Поправка: чтобы эта теорема заработала, ряд должен сходится. Это не случай этого ряда, однако очевидно, что перестановкой членов (натянув из бесконечности минус-единиц +100 -101 единица, и т.д.) можно загнать его в минус бесконечность, а также сделать просто расходящимся (+100, -100 единиц, ...). Кроме того, перестановкой членов можно произвольным образом изменить его асимптотику (что в этой задаче, впрочем, не интересно), но сходящимся сделать его нельзя.
Что, впрочем, не меняет сути дела — у детей таки будет +оо конфет, а не -оо, и не неопределенное количество — менять порядок членов все равно нельзя.
Здравствуйте, Gaperton, Вы писали:
G>Ай-ай-ай, втупил я, впору диплом отзывать!
Ну, я тоже не лучше. G>То что вы называете "всюду плотным" множеством — это на самом деле, определение "замкнутого множества", или по другому, "компактного" множества .
Совершенно верно, именно "замкнутого множества".
А то, что Вы называете "всюду плотным" множеством — это на самом деле, определение "совершенного множества".
Наконец, множество A всюду плотно в B, если его замыкание включает B. Когда говорят "всюду плотно" без указания где, B подразумевается.
И для полноты картины, множество "плотно в себе", если оно не содержит изолированных точек.
Т>>>>Согласно Вашему определению множество натуральных чисел "всюду плотно". G>>>Вперед, постройте последовательность из разных (неповторяющихся) точек N, сходящуюся к числу 666. Т>>Слово "последовательность" не подразумевает "разных (неповторяющихся)". G>Нелепая отмазка, не находите?
Нахожу. Каюсь, спутал понятия "предельной точки" и "точки соприкосновения".
.
Здравствуйте, Gaperton, Вы писали:
G>Впрочем, как я сказал — вэлкам. Это математика — определите действительные числа (с доказательством) не пользуясь понятием предела — что за зря языками чесать? Вперед. Можно привести ссылку.
Например дедекиндовы сечения или последовательности Коши.
Т>>Учебник Ильина я не читал. Но интересно было бы увидеть определение предела последовательности рациональных чисел. G>Даже странно. Число x in R является пределом последовательности x[i] in R тогда и только тогда, когда для произвольного E>0, (конечно же, E in R) найдется такое K in N, что для всех i > K будет выполнятся | x[i] — x | < E.
Нечто подобное я и предполагал. Но как теперь это можно использовать для определения действительных чисел?
Здравствуйте, Трурль, Вы писали:
Т>В исходной постановке не было ничего о правильных действиях снегурочки и даже о ее целях. При желании снегурочка может оставить детям любое количество конфет от 0 до oo. Т>Все это, разумеется, если принять аксиому выбора.
Если же не призавать аксиомы выбора, то рассуждения не проходят. Дед Мороз может выдавать
конфеты целыми сотнями и у снегурочки не будет возможности их пронумеровать, поскольку все конфеты одинаковы.
А то, я боюсь, Ильин сильно расстроится, когда узнает горькую правду.
