Здравствуйте, rg45, Вы писали: R>Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>>Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй. A>>У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
R>Ну так, все-таки, одна область, или несколько? Цифру, сестра, цифру!
Ну чё пристал? Там, где W — можно.
. . . . . . . . . . W . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W . . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W . . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W . . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W . . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W . . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W . . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W . .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W W .
. . . . . . . . . . W W W W W W W W W W
W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W
. W W W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . W W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . W W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . W W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . W W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . W W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . W W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . . W W W . . . . . . . . .
. . . . . . . . . W W . . . . . . . . .
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
X ~ U(0,1), Y ~ U(0,1)
P(|Y-X| < 0.5) = P(Y-X < 0.5 | Y > X)
P(Y-X < 0.5 | Y > X) = P(Y-X < 0.5 | Y > X, X > 0.5) + P(Y-X < 0.5 | Y > X, X < 0.5) = 1/4
P(Y-X < 0.5 | Y > X, X > 0.5) = 0.0
P(Y-X < 0.5 | Y > X, X < 0.5) = P(X < 0.5)*P(X < Y < X + 0.5) = 1/2*1/2 = 1/4
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй.
У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
Сразу прошу прощения, если баян. Сегодня задали задачку, очень понравилась.
Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. Какова вероятность того, что из полученных кусочков можно сложить треугольник. Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
Решение основано на том (см. рисунок), что сумма всех перпендикуляров (a, b, c), опущенных из любой точки равностороннего треугольника на его стороны, является постоянной величиной и равна его высоте для всех точек, лежаших внутри этого треугольника. Точно так же, как и сумма длин кусочков, на которые мы ломаем нашу палочку, тоже является постоянной величиной, равной длине палочки. Поэтому построим рядом с нашей палочкой равносторонний треугольник с высотой равной длине палочки и порассуждаем. Для того, чтобы из кусочков палочки можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина каждого из кусочков не превышала половины длины палочки: a <= L/2, b <= L/2, c <= L/2. В треугольнике всем трем условиям удовлетворяет множество точек, лежащих внутри малого равностороннего треугольника, обозначенного тонкими линиями. В самом деле, любая из точек, лежащая за пределами малого треугольника имеет один из перпендикуляров с длинной превышающих половину высоты большого треугольника (то есть, половину длины палочки). Площадь малого треугольника равна 1/4 плошади большого треугольника, что и является ответом к задаче
Здравствуйте, torvic, Вы писали:
T>Здравствуйте, rg45, Вы писали:
T>а ещё можно усложнить и ломать в два приёма: T>сначала случайно один раз, а потом второй, то что осталось
T>не могу посчитать аналитически, прогнал монте-карло, получается около 19%
X ~ U(0, 1)
Y ~ U(0, 1 — X)
P(Y < 0.5 and 1 — X — Y < 0.5 | X < 0.5) = P(0.5 — X < Y < 0.5 | X < 0.5) = integral(x/(1-x), 0, 0.5) = 0.1931477
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
Ну, концептуально правильно Несколько смущает расплывчатость формулировки "независящая от положения этого отрезка".
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Прямую палочку случайным образом ломают в двух местах. <...> Распределение вероятности положения изломов по длине палочки считать равномерной.
IMHO, именно в этом месте и сидит сложность. Что такое "распределено равномерно"? Если так, что любая точно квадрата 1х1 равновероятна, то очевидное "графическое" решение.
А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Есть похожая более известная задачка. Есть линованная бумага с шагом между линий L, и есть игла длины l.
Иглу случайно бросают на бумагу, какова вероятность, что игла заденет линию? Для начала можно рассмотреть случай L == l
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Почему нет способа? Хмм... В попытке ответить на этот вопрос можно написать несколько философских трактатов связующих воедино предопределённость зарождения жизни в бесконечном порядке хаоса, принцип неопределённости Гейзенбе́рга и теорему Гёделя о неполноте. Однако отвечу просто: вероятность такого события ноль, так как число вариантов исхода выбора бесконечно. Избавится от этой бесконечности можно только с помощью второй бесконечности, например с помощью содержащего бесконечное количество точек отрезка (или кусочка площади), но то, что вы получите в пределе будет не точкой, а бесконечно малой величиной.
Чушь какая. Конечно каждую конкретную точку получить можно с вероятностью 0, но это ни значит, что никакую не получишь...
Смотри. Берёшь покупаешь кучку резисторов на 10 КОм +- 1 КОм, и замеряешь сопротивления последовательно.
Первые два, у кого сопротивление попало в диапазон [9.5, 10.5] отбираешь, из сопротивлений вычитаешь 9.5 и получаешь координату случайной точки в квадрате 1х1. При этом можешь измерять сопротивления резисторов сколь хочешь точно. Эта пара резисторов задаёт однозначно случайную точку...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Нарисуй квадрат на плоскости. По одной координате первый излом, по второй — второй. A>У тебя получится область (или несколько) где треугольник возможен. Собственно, всё.
Ну так, все-таки, одна область, или несколько? Цифру, сестра, цифру!
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>Выделим на палочке отрезок равный половине ёё длинны. Если изломы попадают в это отрезок, то треугольник получится. Вероятность 1/4 независящая от положения этого отрезка на палочке. Вроде так.
R>Ну, концептуально правильно Несколько смущает расплывчатость формулировки "независящая от положения этого отрезка".
Да, точно сам заметил. Графический способ нагляднее.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Да, точно сам заметил. Графический способ нагляднее.
На самом деле, ты тоже мыслил в правильном направлении, но чуть-чуть не довел рещени до конца. Мысленно разобьем наш отрезок (палочку) на две равных части. Тогда для образования треугольника необходимо и достаточно одновременное выполнение двух независимых условий: 1) изломы должны располагаться по разные части от середины отрезка; 2) расстояние между изломами не должно превышать половину общей длины. Вероятность каждого из условий в отдельности равна 1/2 (это не сложно), поэтому вероятность совместного события — 1/4.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>IMHO, именно в этом месте и сидит сложность. Что такое "распределено равномерно"?
Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x.
E>А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>А если, например, ломаем в случайном месте, выбираем случайную половинку, и ломаем ещё раз, то уже другой ответ может быть, и т. д.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x.
Что такое dx/L ДЛЯ ПАРЫ?
R>Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем.
Я же с этого и начал, в условии неточно определено что за распределение имеется в виду. Если имеется в виду равномерно распределённая в квадрате 1х1 точка, то всё очевидно, как бы...
Если имеется в виду что-то другое, то ответ зависит от того, что
Я же не зря задачку про иголку привёл.
Если её знаешь, то должен понять, если не знаешь порешай и её. Она тоже прикольная.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
R>>Это означает, что dP = dx/L и не зависит от x. E>Что такое dx/L ДЛЯ ПАРЫ? R>>Нет, про выбор случайной половинки ничего не говорится. Считай что сначала определяем точки, потом ломаем. E>Я же с этого и начал, в условии неточно определено что за распределение имеется в виду.
Условие я формулировал, что называется, "на пальцах", без претензии на математическую точность, в расчете на интуитивное понимание. И, походу, всем все понятно, одному тебе подавай точное определение Ну хорошо, попробую, специально для тебя.
Под равномерным распределением вероятности выбора точек излома понимается то, что, при случайном выборе очередной точки излома на отрезке L (не важно какой по счету — первой, второй, пятой или десятой) вероятность ее попадания в любой участок длинной l зависит только от длины этого участка и равна l/L, и не зависит от распололжения этого участка на отрезке (в хвосте, голове, или где-нибудь еще). Наличие уже выбранных точек излома никак не влияет на выбор новых точек. Очень надеюсь, что на этот раз мне удалось удовлетворить твою строгость.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Под равномерным распределением вероятности выбора точек излома понимается то, что, при случайном выборе очередной точки излома на отрезке L (не важно какой по счету — первой, второй, пятой или десятой) вероятность ее попадания в любой участок длинной l зависит только от длины этого участка и равна l/L, и не зависит от распололжения этого участка на отрезке (в хвосте, голове, или где-нибудь еще). Наличие уже выбранных точек излома никак не влияет на выбор новых точек. Очень надеюсь, что на этот раз мне удалось удовлетворить твою строгость.
Я не про строгость, а про суть. То, что ты описал, можно описать проще: равномерно распределённая точка квадрата
Где х -- координата первого разлома, а y — второго.
Но можно и другими способами выбирать точки разлома
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
E>Я не про строгость, а про суть. То, что ты описал, можно описать проще: равномерно распределённая точка квадрата
Егор, ну нет в задаче никаких квадратов. Квадрат — это уже твоя интерпретация. Я понимаю, что ты имеешь в виду, но чтобы включить такое описание в условие задачи, сперва нужно дать формальное описание этого подхода. Честно, не вижу смысла что-либо усложнять. Ну понятно же, что имелось в виду?
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Да нет в задаче никаких квадратов.
Как нет? Пара точек на отрезке [0, 1] есть, а декартова произведения отрезков нет?
Я высказал не претензию, а мысль, довольно простую, что самое интересное место этой задачи -- формальная интерпретация неформального описания "равномерно распределённая пара точек отрезка". Формальная интерпретация даёт сразу ответ. Но интерпретация можно предложить несколько IMHO, в этом месте находится интересное место в этой задаче.
Ты про иглу задачу решал раньше? Если нет, то она тоже интересная, примерно тем же местом.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Ну не решал пока, но решение для меня выглядит достаточно ясным — через интеграл по углу поворота иголки: int(cos(a), da);
Вокруг какой точки?..
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
R>>Ну не решал пока, но решение для меня выглядит достаточно ясным — через интеграл по углу поворота иголки: int(cos(a), da);
E>Вокруг какой точки?..
Что-то я тебя напрочь не понимаю сегодня. Угол между линиями и иглой — это вокруг какой точки? (Вернее, угол между иглой и осью, перпендикулярной к линиям, коль скоро я под интегралом написал косинус, а не синус. Но не суть).
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>А разве суть состоит не в том, что из бесконечного числа точек нет способа выбрать случайным образом хотя бы одну точку?
Ну или другими словами, вероятность выбора любой отдельнно взятой точки равна нулю. Вероятности, отличные от нуля, возникают только при рассмотрении интервалов.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>А разве суть состоит не в том, что из бесконечного числа точек нет способа выбрать случайным образом хотя бы одну точку?
Почему?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
BFE>>А разве суть состоит не в том, что из бесконечного числа точек нет способа выбрать случайным образом хотя бы одну точку? E>Почему?
Почему нет способа? Хмм... В попытке ответить на этот вопрос можно написать несколько философских трактатов связующих воедино предопределённость зарождения жизни в бесконечном порядке хаоса, принцип неопределённости Гейзенбе́рга и теорему Гёделя о неполноте. Однако отвечу просто: вероятность такого события ноль, так как число вариантов исхода выбора бесконечно. Избавится от этой бесконечности можно только с помощью второй бесконечности, например с помощью содержащего бесконечное количество точек отрезка (или кусочка площади), но то, что вы получите в пределе будет не точкой, а бесконечно малой величиной.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
BFE>>>А разве суть состоит не в том, что из бесконечного числа точек нет способа выбрать случайным образом хотя бы одну точку? E>>Почему? BFE>Почему нет способа? Хмм... В попытке ответить на этот вопрос можно написать несколько философских трактатов связующих воедино предопределённость зарождения жизни в бесконечном порядке хаоса, принцип неопределённости Гейзенбе́рга и теорему Гёделя о неполноте. Однако отвечу просто: вероятность такого события ноль, так как число вариантов исхода выбора бесконечно. Избавится от этой бесконечности можно только с помощью второй бесконечности, например с помощью содержащего бесконечное количество точек отрезка (или кусочка площади), но то, что вы получите в пределе будет не точкой, а бесконечно малой величиной.
Можно так поступить: выбираем точку в множестве из одной точки, а затем в множество добавляем бесконечное количество точек. Получаем точку выбранную из бесконечного количества точек.
2. Человеку с завязанными глазами дается прутик. Он ломает его. Выбирает из двух прутико один и еще раз ломает его.
При рассмотрении этого варианта, ты исходил из того, что вероятность выбора прутиков одинакова и равна 1/2. А вот, навскидку, если считать, что вероятность выбора прутика прямо пропорциональна его длине, не выйдем ли мы снова на 1/4?
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>При рассмотрении этого варианта, ты исходил из того, что вероятность выбора прутиков одинакова и равна 1/2. А вот, навскидку, если считать, что вероятность выбора прутика прямо пропорциональна его длине, не выйдем ли мы снова на 1/4?
Не знаю, о таком я не задумывался.
У меня вероятность выбора 1/2, потому что после первого разлома в каждой руке по прутику, случайно выбираем руку и выкидываем прутик.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Можно так поступить: выбираем точку в множестве из одной точки, а затем в множество добавляем бесконечное количество точек. Получаем точку выбранную из бесконечного количества точек.
И где здесь случайность?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>Можно так поступить: выбираем точку в множестве из одной точки, а затем в множество добавляем бесконечное количество точек. Получаем точку выбранную из бесконечного количества точек. BFE>И где здесь случайность?
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>>Можно так поступить: выбираем точку в множестве из одной точки, а затем в множество добавляем бесконечное количество точек. Получаем точку выбранную из бесконечного количества точек. BFE>>И где здесь случайность? Q>А где закономерность?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>>>Можно так поступить: выбираем точку в множестве из одной точки, а затем в множество добавляем бесконечное количество точек. Получаем точку выбранную из бесконечного количества точек. BFE>>>И где здесь случайность? Q>>А где закономерность?
BFE>В выборе точки.
Мне кажется, что если изменить условие задачи, то проблема выбора точки из бесконечности исчезнет.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Чушь какая. Конечно каждую конкретную точку получить можно с вероятностью 0, но это ни значит, что никакую не получишь... E>Смотри. Берёшь покупаешь кучку резисторов на 10 КОм +- 1 КОм, и замеряешь сопротивления последовательно. E>Первые два, у кого сопротивление попало в диапазон [9.5, 10.5] отбираешь, из сопротивлений вычитаешь 9.5 и получаешь координату случайной точки в квадрате 1х1. При этом можешь измерять сопротивления резисторов сколь хочешь точно. Эта пара резисторов задаёт однозначно случайную точку...
Erop, ну о чём вы пишите? Ну какая ещё физика в математике? Какая такая бесконечная точность измерения сопротивления резисторов? Весь ваш "бесконечный" выбор ограничен шкалой прибора, чего бы вы не мерили. Всякая шкала имеет свою дельту ошибки и в этой дельте умещается такая прорва чисел, что их даже пронумеровать невозможно. И как, кстати, вы предлагаете мне продвигаться в измерениях дольше квантового предела?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Весь ваш "бесконечный" выбор ограничен шкалой прибора, чего бы вы не мерили. Всякая шкала имеет свою дельту ошибки и в этой дельте умещается такая прорва чисел, что их даже пронумеровать невозможно.
А при чём тут шкала? Речь идёт про величину СОПРОТИВЛЕНИЯ резистора, а не про разультат измерений
У реального резистора есть же сопротивление, как объективная характеристика?
То, что ограниченность вашего сознания и методик измерения сопротивления не позволяет точно узнать его величину, и вместить всё многообразие чисел -- это только ваши проблемы. Тем не менее, это вполне конструктивный способ действий
BFE>И как, кстати, вы предлагаете мне продвигаться в измерениях дольше квантового предела?
Что есть кантовый предел сопротивления электротоку?
Если что, то Rk -- это просто некая легко воспроизводимая единица импеданса. Что-то вроде импеданса одного куба вакуума И она равна примерно 26 КОм. Вы резисторов на меньшие номиналы никогда не встречали?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
BFE>>Весь ваш "бесконечный" выбор ограничен шкалой прибора, чего бы вы не мерили. Всякая шкала имеет свою дельту ошибки и в этой дельте умещается такая прорва чисел, что их даже пронумеровать невозможно.
E>А при чём тут шкала? Речь идёт про величину СОПРОТИВЛЕНИЯ резистора, а не про разультат измерений
А... Вот вы о чём. Вы утверждаете, что в природе существуют случайные величины. Извините, но это не проходит по условию задачи. Для изготовления бесконечного количества резисторов не хватит всей материи наблюдаемой вселенной. А если выбор не бесконечен, то задача не решена.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>А... Вот вы о чём. Вы утверждаете, что в природе существуют случайные величины. Извините, но это не проходит по условию задачи. Для изготовления бесконечного количества резисторов не хватит всей материи наблюдаемой вселенной. А если выбор не бесконечен, то задача не решена.
Материал можно переиспользовать...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
