Здравствуйте, Iso, Вы писали:
C0s>>ну и в чём прикол? ответ a=6 выглядит правильным, только на его достижение достаточно арифметических операций и знания свойств ф-и возведения в квадрат, которые приводят к этому ответу за 3 мин. Iso>В этом и прикол, что очень быстро можно получить неправильный ответ. Iso>И потом не видеть внешних признаков его неправильности.
ага, сейчас вспомнил, что для этих задач учили кроме уже данных условий ввести в систему ограничивающие неравенства. тогда всё становится на свои места
x+y=a-1
xy=a2-7a+14
Найдем значения а, при которых система имеет решение
y=a-1-x
x(a-1-x)=a2-7a+14
-x2+(a-1)x+(-a2+7a-14)=0
Чтобы система имела решение необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был >=0
D=(a-1)2 + 4(-a2+7a-14)
-3a2+26a-55 >= 0
Найдем корни, они равны 3.6(6) и 5
Значит, при а, лежащем на отрезке [3.6(6), 5] система имеет решение.
Осталось проанализировать, как себя ведет функция x2+y2 на этом отрезке
x2+y2=(x+y)2-2xy=-a2+12a-17
f'=-2a+12, для любого a<6 f'>0, значит возрастает
Получается, что максимум достигается на правой границе отрезка [3.6(6), 5]
Извиняюсь за сумбурность изложения, все таки не на экзамене.
WCH>>>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ? Iso>>Да, увы. Это не максимум. WCH>Приведите правильное решение или ссылку на него.
В этой теме уже написали http://rsdn.ru/forum/message/2843890.1.aspx
Но настроятельно рекомендую получить удовольствие от наступания на грабли,
чтобы прочувствовать, зачем это всё было
(у Вас пока просто арифметическая ошибка, если я правильно понимаю
настоящая ошибка будет позже, когда дойдёте до ответа 6)
Здравствуйте, Working Class Hero, Вы писали:
WCH>Решение: WCH>x + y = a — 1 <=> (x + y)^2 = (a — 1)^2 <=>
Подковырка задачи в том, что уравнения
n = m
и
n^2 = m^2
не эквивалентны. У первого одно решение (n = m), а у второго два (n = m и n = -m). Возводя обе части уравнения в квадрат, вы начинаете решать совсем другую систему уравнений...
WCH>f(a) = -a^2 + 12a -27 WCH>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?
Это дважды неверный ответ Ты нашёл не максимум, а одно из решений квадратного уравнения f(9)=0, второе решение f(3)=0, а максимум f(a) находится при a = 6 — тот самый неверный ответ.
Здравствуйте, Кодёнок, Вы писали: WCH>>Решение: WCH>>x + y = a — 1 <=> (x + y)^2 = (a — 1)^2 <=> Кё>Подковырка задачи в том, что уравнения Кё>n = m Кё>и Кё>n^2 = m^2 Кё>не эквивалентны.
... Кё>Это дважды неверный ответ Ты нашёл не максимум, а одно из решений квадратного уравнения f(9)=0, второе решение f(3)=0, а максимум f(a) находится при a = 6 — тот самый неверный ответ.
Спасибо что прояснили! А то я не вчитался в тот текст решения, почему и подумал, что 9 получено из-за арифметической, а не из-за логической ошибки. Оказывается, до ответа 6 можно было не дойти, а свалиться раньше...
FF>>>эм.. а сумма чем то ограничена сверху?. Iso>>Да, оказывается, что связи x, y и a ограничивают эту величину FF>угу.. прост по ссылке написано, что задача для 8го класса, я и не ожидал, что там будут производные или еще что то FF>думал какая то мелкая зацепка..
Да не нужны там производные! С ними тоже можно решать, но вовсе не обязательно.
Как показал Demon в http://rsdn.ru/forum/message/2843890.1.aspx
(тут решение), достаточно уметь решать квадратные уравнения (правда, там под конец написан анализ функции с использованием дифферинцирования, но можно было из свойств парабол это же получить).
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь. Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит. Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил
Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться
Сначала насчитал a=6
После подстановки в уравнения (и просмотра неправильного ответа ) стал искать другое решение.
Нарисовал графики функций x+y=a-1, xy=a2-7a+14 (вторую можно было даже не рисовать). Присмотрелся к x+y=a-1 [f(x) = (a-1) — x] — а наклон-то у нее 45град., значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
x+y=a-1 -> 2x=a-1
xy=a2-7a+14 -> 2x=a2-7a+14
---
дальше совсем просто:
a-1=a2-7a+14 -> a2 — 8a + 15 = 0;
---
два корня — 3 (минимум) и 5 (искомый максимум). Как считать корни квадратного уравнения забыл конечно нафик, пришлось гуглить .
Здравствуйте, Степанов Андрей, Вы писали:
СА>Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться
У Вас удивительная интуиция! Вам удалось двинуться в очень правильную сторону, ловко делая чётное количество ошибок.
Я серьёзно, это просто потрясающе!
Здравствуйте, Степанов Андрей, Вы писали:
СА>Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться
В Ералаш однозначно — у них уже было что-то похожее
---
The optimist proclaims that we live in the best of all possible worlds; and the pessimist fears this is true
Здравствуйте, alsemm, Вы писали:
A>Нарисовал графики функций x+y=a-1, xy=a2-7a+14 (вторую можно было даже не рисовать). Присмотрелся к x+y=a-1 [f(x) = (a-1) — x] — а наклон-то у нее 45град., значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
Про x=y — бредятина
Надо было без разглагольствований про x=y сразу приравнять правые части обоих уравнений и все дела.
Здравствуйте, MShura, Вы писали:
A>>значит можно положить y=x и тогда все упрощается: A>>x+y=a-1 -> 2x=a-1 A>>xy=a2-7a+14 -> 2x=a2-7a+14 MS>Холмс, черт побери, но как? http://rsdn.ru/forum/message/2844337.1.aspx
Я кажется понял почему решение у большинства идет в неправильном направлении. Дело в постановке задачи. Если бы вопрос был "найти точку(и) пересечения графиков заданных уравнениями x+y=... и xy=..." все было бы проще Просто не сразу доходит, что для того, чтобы найти a при котором x2+y2->max нужно найти эти самые точки пересечения
Здравствуйте, wallaby, Вы писали:
W>Здравствуйте, alsemm, Вы писали:
A>>Надо было без разглагольствований про x=y сразу приравнять правые части обоих уравнений и все дела.
A>>Алексей
W>Гениально! А Вы могли бы это сделать не зная заранее ответа?
Ну ни совсем же я тупой, к вечеру бы решил Это в порядке самовнушения
