KK>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.

Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


KK>>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.

MS>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.

MS>При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
На всей области определения у этой функции только один экстремум в точке (0,0), он же минимум. Попробуйте найти значение функции x2+y2 при x=y=10, а при x=y=100.

MS>Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?
Видимо тем, что при решений системы уравнений не учитываются комплексные корни.


Решение — это самая "высокая" точка линии пересечения параболоида вращения, задаваемого функцией z(x, y)=x^2+y^2 и цилиндра c элипсом в основании, задаваемого уравнением x^2+x*y-5*x+y^2-5*y+8=0. Последнее уравнение получено подстановкой а, выраженного через x и y из первого уравнения a=x+y+1 во второе уравнение x*y=a^2-7*a+14 => (x+y+1)^2-7*(x+y+1)+14-x*y=0.

Я специально не стал производить эти преобразования, котрые позволили бы сократить количество уравнений в системе до трех, при решении, чтобы продемонстрировать мощь подхода что ли. Мы действительно не думаем(как призывают нас авторы задачи), а просто применяем метод по шагам(некторые шаги я все-таки пропустил). Жозеф Луи Лагранж уже подумал за нас

MS>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9

MS>>При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
KK>На всей области определения у этой функции только один экстремум в точке (0,0), он же минимум. Попробуйте найти значение функции x2+y2 при x=y=10, а при x=y=100.
Не понимаю, о чем Вы говорите.
Я говорю про задачу этой ветки.

MS>>Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?
KK>Видимо тем, что при решений системы уравнений не учитываются комплексные корни.

А сколько комплексных корней в вышеприведенной системе из 5 уравнений?


KK>Решение — это самая "высокая" точка линии пересечения параболоида вращения, задаваемого функцией z(x, y)=x^2+y^2 и цилиндра c элипсом в основании, задаваемого уравнением x^2+x*y-5*x+y^2-5*y+8=0. Последнее уравнение получено подстановкой а, выраженного через x и y из первого уравнения a=x+y+1 во второе уравнение x*y=a^2-7*a+14 => (x+y+1)^2-7*(x+y+1)+14-x*y=0.

KK>Я специально не стал производить эти преобразования, котрые позволили бы сократить количество уравнений в системе до трех, при решении, чтобы продемонстрировать мощь подхода что ли. Мы действительно не думаем(как призывают нас авторы задачи), а просто применяем метод по шагам(некторые шаги я все-таки пропустил). Жозеф Луи Лагранж уже подумал за нас

Вообще-то Ваше условие задачи не совпадает с условиеми исходной задачи (нет ни слова про действительные числа), а ответ совпадает.

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


MS>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
При этом
x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

MS>>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.
MS>

MS>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>При этом
MS>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>

Как каким?
См. выделенное.

MS>>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
При этом
x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9

MS>>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.
MS>>

MS>>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>>При этом
MS>>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>>

VEA>Как каким?
VEA>См. выделенное.
Спасибо. Опечатка. Исправил.

KK>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

MS>

MS>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>При этом
MS>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>

В этом случае, корни перестают удовлетворять первым двум уравнениям.

KK>>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

MS>>

MS>>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>>При этом
MS>>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>>

KK>В этом случае, корни перестают удовлетворять первым двум уравнениям.

Опять 25.
Задано два уравнения. Приведенные значения им удовлетворяют. Более того при заданных значениях достигается максимум x2+y2.
Я спрашиваю каким образом связаны требования действительности корней и решение методом Лагранжа приведенное Вами?

MS>Я спрашиваю каким образом связаны требования действительности корней и решение методом Лагранжа приведенное Вами?

По всей видимости в определении производной через предел.

KK>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.
Полностью согласен. Метод кувалды — он и в африке метод кувалды.
У таких универсальных подходов есть только один минус — большое кол-во вычислений, которые трудно проверять на промежуточных этапах (нет простых способов поймать свои арифметические ошибки)... Но то, что можно решать сложные задачи, не думая — это несомненное благо для систем автоматического решения (maple и т.д.)
Кстати, решение там уже опубликовали, так что интрига совсем развеяна — http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_6238.html

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


MS>На самом деле ответа нет, поскольку такого треугольника не может быть.
MS>По этим признакам (легко получаемый ответ неверен) я и вспомнил эту задачку.

На самом деле ответов бесконечно много, только пространство уже неевклидово...