Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

x+y=a-1
xy=a2-7a+14
Найдем значения а, при которых система имеет решение
y=a-1-x
x(a-1-x)=a2-7a+14
-x2+(a-1)x+(-a2+7a-14)=0
Чтобы система имела решение необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был >=0
D=(a-1)2 + 4(-a2+7a-14)
-3a2+26a-55 >= 0
Найдем корни, они равны 3.6(6) и 5
Значит, при а, лежащем на отрезке [3.6(6), 5] система имеет решение.
Осталось проанализировать, как себя ведет функция x2+y2 на этом отрезке
x2+y2=(x+y)2-2xy=-a2+12a-17
f'=-2a+12, для любого a<6 f'>0, значит возрастает
Получается, что максимум достигается на правой границе отрезка [3.6(6), 5]

Извиняюсь за сумбурность изложения, все таки не на экзамене.

Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Задача из той-же серии:
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

Подсказка:
С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

5?

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

MS>Задача из той-же серии:
MS>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

MS>Подсказка:
MS>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.


S = 30 ?

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

Iso>>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

MS>Задача из той-же серии:
MS>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

30.

MS>Подсказка:
MS>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

А в чем прикол? Элементарная же задача.

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

MS>Задача из той-же серии:
MS>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

MS>Подсказка:
MS>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

Да, хорошая задачка...
Но это всё же она из другой серии. Ведь в алгебраической правильный ответ был Все условия были коррекнтыми.
А в этой — некорректное условие, невозможность решить. А необходимость проверки совместности условия — не самое очевидное дело.
Вот проверка соответствия ответа условию задачи — это важно

Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>Подсказка — если у прямоугольного треугольника гипотенуза равна 10 дюймам, то его можно вписать в окружность диаметром в 10 дюймов,
W>причём гипотенуза будет проходить через центр.
W>И из какой точки окружности на диаметр можно опустить перпендикуляр длиной в 6 дюймов

ну, если эту высоту немного искривить, то влезет.

C0s>ну и в чём прикол? ответ a=6 выглядит правильным, только на его достижение достаточно арифметических операций и знания свойств ф-и возведения в квадрат, которые приводят к этому ответу за 3 мин.
В этом и прикол, что очень быстро можно получить неправильный ответ.
И потом не видеть внешних признаков его неправильности.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

ну и в чём прикол? ответ a=6 выглядит правильным, только на его достижение достаточно арифметических операций и знания свойств ф-и возведения в квадрат, которые приводят к этому ответу за 3 мин.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.

Итак, действительные числа x, y, a таковы, что x+y=a-1 и xy=a2-7a+14. При каком значении параметра a сумма x2+y2 принимает наибольшее значение?

эм.. а сумма чем то ограничена сверху?.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Решаем квадратное уравнение
a^2-4a+9 = 0
(a-2)^2 = -5 — вот тут облом думаю решение действительное число.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным.

Ну попробую решить.

Дано:
x + y = a - 1
xy = a^2 - 7a + 14
--------------------------------------
Найти: max(f(a)), где f(a) = x^2 + Y^2

Решение:

x + y = a - 1 <=> (x + y)^2 = (a - 1)^2 <=>
x^2 + 2xy + y^2 = a^2 - 2a + 1

Подставляем значение xy:
x^2 + 2a^2 - 14a + 28 + y^2 = a^2 - 2a + 1 <=>
x^2 + y^2 = -a^2 + 12a -27

f(a) = -a^2 + 12a -27

Ищем максимум квадратного трехчлена:
max(f(a)) = -D/4a' = -(b'^2 - 4a'c')/4a'

max(f(a)) = - (12^2 - 4*(-1)*(-27))/-4 = (144 - 108)/4 = 9

Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?

Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>Решаем квадратное уравнение
Х>a^2-4a+9 = 0
a^2 — 2a^2 = -a^2, а не -3a^2

Здравствуйте, Working Class Hero, Вы писали:

WCH>Решение:
WCH>x + y = a — 1 <=> (x + y)^2 = (a — 1)^2 <=>

Подковырка задачи в том, что уравнения

n = m

и

n^2 = m^2

не эквивалентны. У первого одно решение (n = m), а у второго два (n = m и n = -m). Возводя обе части уравнения в квадрат, вы начинаете решать совсем другую систему уравнений...

WCH>f(a) = -a^2 + 12a -27
WCH>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?

Это дважды неверный ответ Ты нашёл не максимум, а одно из решений квадратного уравнения f(9)=0, второе решение f(3)=0, а максимум f(a) находится при a = 6 — тот самый неверный ответ.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться

Сначала насчитал a=6
После подстановки в уравнения (и просмотра неправильного ответа ) стал искать другое решение.
Нарисовал графики функций x+y=a-1, xy=a2-7a+14 (вторую можно было даже не рисовать). Присмотрелся к x+y=a-1 [f(x) = (a-1) — x] — а наклон-то у нее 45град., значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
x+y=a-1 -> 2x=a-1
xy=a2-7a+14 -> 2x=a2-7a+14
---
дальше совсем просто:
a-1=a2-7a+14 -> a2 — 8a + 15 = 0;
---
два корня — 3 (минимум) и 5 (искомый максимум). Как считать корни квадратного уравнения забыл конечно нафик, пришлось гуглить .

Алексей

A>значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
A>x+y=a-1 -> 2x=a-1
A>xy=a2-7a+14 -> 2x=a2-7a+14
Холмс, черт побери, но как?

Здравствуйте, wallaby, Вы писали:

W>Здравствуйте, alsemm, Вы писали:

A>>Надо было без разглагольствований про x=y сразу приравнять правые части обоих уравнений и все дела.

A>>Алексей

W>Гениально! А Вы могли бы это сделать не зная заранее ответа?
Ну ни совсем же я тупой, к вечеру бы решил Это в порядке самовнушения

Алексей

Здравствуйте, catBasilio, Вы писали:

B>Здравствуйте, Ka3a4oK, Вы писали:

KK>>Метод неопределенных множителей Лагранжа с великолепными иллюстрациями.

B>Эта задача позиционировалась как уровня 8-го класса. А там не то, что метод Лагранжа, но еще и производные не проходят.

Я не против.

KK>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.

Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

MS>>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.
MS>

MS>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>При этом
MS>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>

Как каким?
См. выделенное.

MS>Я спрашиваю каким образом связаны требования действительности корней и решение методом Лагранжа приведенное Вами?

По всей видимости в определении производной через предел.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил
если пределы использовать(это у меня в школе было) 1 минута 15 секунд, если нет — 2 минуты. Это без обмана, честно решил

Здравствуйте, C0s, Вы писали:

C0s>ну и в чём прикол? ответ a=6 выглядит правильным, только на его достижение достаточно арифметических операций и знания свойств ф-и возведения в квадрат, которые приводят к этому ответу за 3 мин.

При 6 нету действительных x y

5?

Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Х>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>Решаем квадратное уравнение
Х>a^2-4a+9 = 0
а да, продиференцировать забыл.

2a-4 = 0
т.е. точка максимума одна — 2

х^2 + y^2 = a^2 — 2a + 1 — a^2 + 7a — 14
х^2 + y^2 = 5a — 13

Берем производную, получаем ответ 5. С неправильным ответом не совпадает, при проверке действительные корни имеются...

Здравствуйте, Jax, Вы писали:

Jax>х^2 + y^2 = a^2 — 2a + 1 — a^2 + 7a — 14
Jax>х^2 + y^2 = 5a — 13

Jax>Берем производную, получаем ответ 5. С неправильным ответом не совпадает, при проверке действительные корни имеются...

Jax, вообще-то х^2 + y^2 = a^2 — 2a + 1 — 2(a^2 — 7a + 14), а это все меняет

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

5 — самое близкое к 6 (максимуму x^2 + y^2) число, при котором x и у действительны

Здравствуйте, Working Class Hero, Вы писали:

WCH>Jax, вообще-то х^2 + y^2 = a^2 — 2a + 1 — 2(a^2 — 7a + 14), а это все меняет

Согласен, я не умнее пятиклассника

FF>эм.. а сумма чем то ограничена сверху?.
Да, оказывается, что связи x, y и a ограничивают эту величину

Х>т.е. точка максимума одна — 2
Это не точка максимума суммы квадратов x и y

B>если пределы использовать(это у меня в школе было) 1 минута 15 секунд, если нет — 2 минуты. Это без обмана, честно решил
2 минуты — очень хорошее время для такой задачи! Мои поздравления!
У меня много времени ушло на то, чтобы понять, где я обманулся. Здорово, что Вы смогли быстро это преодолеть!

WCH>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?
Да, увы. Это не максимум.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Х>>т.е. точка максимума одна — 2
Iso>Это не точка максимума суммы квадратов x и y
Я понимаю, вот только ошибки найти не могу.

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

C0s>>ну и в чём прикол? ответ a=6 выглядит правильным, только на его достижение достаточно арифметических операций и знания свойств ф-и возведения в квадрат, которые приводят к этому ответу за 3 мин.
Iso>В этом и прикол, что очень быстро можно получить неправильный ответ.
Iso>И потом не видеть внешних признаков его неправильности.

ага, сейчас вспомнил, что для этих задач учили кроме уже данных условий ввести в систему ограничивающие неравенства. тогда всё становится на свои места

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

WCH>>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?
Iso>Да, увы. Это не максимум.

Приведите правильное решение или ссылку на него.

Здравствуйте, Denis Mingulov, Вы писали:

DM>Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>>Решаем квадратное уравнение
Х>>a^2-4a+9 = 0
DM>a^2 — 2a^2 = -a^2, а не -3a^2

И точно, а в результате теже 6.

WCH>>>Ответ: 9, все на уровне 8-го класса. Это неправильный ответ?
Iso>>Да, увы. Это не максимум.
WCH>Приведите правильное решение или ссылку на него.
В этой теме уже написали http://rsdn.ru/forum/message/2843890.1.aspx

Автор: Demon
Дата: 19.02.08

Но настроятельно рекомендую получить удовольствие от наступания на грабли,
чтобы прочувствовать, зачем это всё было
(у Вас пока просто арифметическая ошибка, если я правильно понимаю
настоящая ошибка будет позже, когда дойдёте до ответа 6)

Здравствуйте, Кодёнок, Вы писали:
WCH>>Решение:
WCH>>x + y = a — 1 <=> (x + y)^2 = (a — 1)^2 <=>
Кё>Подковырка задачи в том, что уравнения
Кё>n = m
Кё>и
Кё>n^2 = m^2
Кё>не эквивалентны.
...
Кё>Это дважды неверный ответ Ты нашёл не максимум, а одно из решений квадратного уравнения f(9)=0, второе решение f(3)=0, а максимум f(a) находится при a = 6 — тот самый неверный ответ.
Спасибо что прояснили! А то я не вчитался в тот текст решения, почему и подумал, что 9 получено из-за арифметической, а не из-за логической ошибки. Оказывается, до ответа 6 можно было не дойти, а свалиться раньше...

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

FF>>эм.. а сумма чем то ограничена сверху?.
Iso>Да, оказывается, что связи x, y и a ограничивают эту величину

угу.. прост по ссылке написано, что задача для 8го класса, я и не ожидал, что там будут производные или еще что то
думал какая то мелкая зацепка..

FF>>>эм.. а сумма чем то ограничена сверху?.
Iso>>Да, оказывается, что связи x, y и a ограничивают эту величину
FF>угу.. прост по ссылке написано, что задача для 8го класса, я и не ожидал, что там будут производные или еще что то
FF>думал какая то мелкая зацепка..
Да не нужны там производные! С ними тоже можно решать, но вовсе не обязательно.
Как показал Demon в http://rsdn.ru/forum/message/2843890.1.aspx

Автор: Demon
Дата: 19.02.08

(тут решение), достаточно уметь решать квадратные уравнения (правда, там под конец написан анализ функции с использованием дифферинцирования, но можно было из свойств парабол это же получить).

Здравствуйте, Степанов Андрей, Вы писали:

СА>Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться

У Вас удивительная интуиция! Вам удалось двинуться в очень правильную сторону, ловко делая чётное количество ошибок.
Я серьёзно, это просто потрясающе!

Здравствуйте, Степанов Андрей, Вы писали:

СА>Навскидку — одно уравнение задает гиперболу, а второе — прямую, наклоненную на 45 градусов. Уравнения имеют решения, если эти две кривые пересекаются. Система этих кривых симметричная относительно оси x=y, обе кривые отстоят от точки (0,0) на расстояние, равное их правой части. Соответственно, пересечение будет тогда, когда расстояние от гиперболы до начала координат будет меньше расстояния от прямой до начала координат. То есть a^2-7a+14<=a-1, откуда нас устраивает то решение, где пересечение дальше от оси координат. А это точка a=5. ВНИМАНИЕ: решение неточное, пишу совсем навскидку, могу где-то и ошибиться

В Ералаш однозначно — у них уже было что-то похожее

Здравствуйте, alsemm, Вы писали:

A>Нарисовал графики функций x+y=a-1, xy=a2-7a+14 (вторую можно было даже не рисовать). Присмотрелся к x+y=a-1 [f(x) = (a-1) — x] — а наклон-то у нее 45град., значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
Про x=y — бредятина
Надо было без разглагольствований про x=y сразу приравнять правые части обоих уравнений и все дела.

Алексей

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

A>>значит можно положить y=x и тогда все упрощается:
A>>x+y=a-1 -> 2x=a-1
A>>xy=a2-7a+14 -> 2x=a2-7a+14
MS>Холмс, черт побери, но как?
http://rsdn.ru/forum/message/2844337.1.aspx

Автор: alsemm
Дата: 19.02.08

Алексей

Я кажется понял почему решение у большинства идет в неправильном направлении. Дело в постановке задачи. Если бы вопрос был "найти точку(и) пересечения графиков заданных уравнениями x+y=... и xy=..." все было бы проще Просто не сразу доходит, что для того, чтобы найти a при котором x2+y2->max нужно найти эти самые точки пересечения

Алексей

Здравствуйте, alsemm, Вы писали:

A>Надо было без разглагольствований про x=y сразу приравнять правые части обоих уравнений и все дела.

A>Алексей

Гениально! А Вы могли бы это сделать не зная заранее ответа?

Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>>Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>>>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>>>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>>>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Х>>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>>Решаем квадратное уравнение
Х>>a^2-4a+9 = 0
Х>а да, продиференцировать забыл.

Х>2a-4 = 0
Х>т.е. точка максимума одна — 2

Здравствуйте, Trinity_sch, Вы писали:

T_>Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>>Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>>>Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>>>>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>>>>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>>>>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

Х>>>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>>>Решаем квадратное уравнение
Х>>>a^2-4a+9 = 0
Х>>а да, продиференцировать забыл.

Х>>2a-4 = 0
Х>>т.е. точка максимума одна — 2

сори — без пароля сбросилось что писала...

из a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28 получается -a^2+12a-27=0, так как a^2-2*a^2 = -a^2.. соответственно производная и решение другие

Здравствуйте, Iso, Вы писали:

Iso>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

А что тут не так?

(x+y)^2 = (a-1)^2
x^2 + y^2 + 2xy = (a-1)^2
x^2 + y^2 = -a^2 + 12a — 27
x^2 + y^2 = -(a^2 — 12a + 27)
x^2 + y^2 = -(a — 3)(a — 9)

a є [3;9]

Возьмем производную -(a^2 — 12a + 27)' — -2a + 12 = 0

a = 6

Здравствуйте, Хэлкар, Вы писали:

Х>>>x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (a-1)^2-2*(a^2-7a+14) = a^2 -2a +1 -2*a^2+14a-28= -3a^2+12a-27=0
Х>>>Решаем квадратное уравнение
Х>>>a^2-4a+9 = 0
DM>>a^2 — 2a^2 = -a^2, а не -3a^2

Х>И точно, а в результате теже 6.

Потому что вы некорректно поступили. Нельзя возводить (x+y) в квадрат и получать (a-1) в квадрате.
Из равенства (x+y)^2 = (a-1)^2 не следует равенство x+y = a-1.

з.ы. если у меня еще что-то осталось из школы
А возвести в квадрат ну просто само собой так и просится Сразу подумал — это как раз то решение, на которое "ловятся"

Здравствуйте, Dynamite, Вы писали:

D>А что тут не так?
D>a = 6
"действительные числа x, y, a таковы, что"

Назовите x и y в этом случае.

Здравствуйте, Dynamite, Вы писали:

[. . .]
D>Возьмем производную -(a^2 — 12a + 27)' — -2a + 12 = 0
D>a = 6

Всегда надо проверять.
Ничего не решая можно сказать, что a=6 — неправильный ответ. Путем элементарных преобразований получаем систему уравнений

y = 5-x
y = 8/x

Очень просто убедиться, чно она не имеет решений.

Здравствуйте, MShura, Вы писали:

MS>Задача из той-же серии:
MS>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.
30?
MS>Подсказка:
MS>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

Нет. Это совсем не то. Испытуемый не обязан проверять корректность условия задачи.

MS>>Задача из той-же серии:
MS>>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

MS>>Подсказка:
MS>>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

T>S = 30 ?

Это первый ответ, что приходит в голову.
На самом деле ответа нет, поскольку такого треугольника не может быть.

По этим признакам (легко получаемый ответ неверен) я и вспомнил эту задачку.

Здравствуйте, Вы писали:


>Задача из той-же серии:
>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

>Подсказка:
>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.


>S = 30 ?

Подсказка — если у прямоугольного треугольника гипотенуза равна 10 дюймам, то его можно вписать в окружность диаметром в 10 дюймов,
причём гипотенуза будет проходить через центр.
И из какой точки окружности на диаметр можно опустить перпендикуляр длиной в 6 дюймов

A>Я кажется понял почему решение у большинства идет в неправильном направлении. Дело в постановке задачи. Если бы вопрос был "найти точку(и) пересечения графиков заданных уравнениями x+y=... и xy=..." все было бы проще Просто не сразу доходит, что для того, чтобы найти a при котором x2+y2->max нужно найти эти самые точки пересечения
Во-во! Я, зная что 6 неправильный ответ, много времени проверял всё вокруг, но не существование x и y, наивно считая, что раз сумма их квадратов максимальна, то и они существуют. Слово "действительные" в условии как-то не особо режет глаз...

Здравствуйте, opener, Вы писали:

O>Здравствуйте, MShura, Вы писали:

Iso>>>Наткнулся на простую с виду школьную задачку, которая просто выводит из себя, когда узнаёшь, что свой ответ (в котором абсолютно уверен) не является правильным. Очень рекомендую для отдыха и развлечения — условие здесь.
Iso>>>Подтверждаю, что задача хорошая, решение имеет, никаких шуточных обманов не содержит.
Iso>>>Часа три на неё потратил, но зато такой кайф был, когда решил

MS>>Задача из той-же серии:
MS>>6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

O>30.

MS>>Подсказка:
MS>>С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но потом приехали из Москвы русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

O>А в чем прикол? Элементарная же задача.

А, да. Въехал.

Метод неопределенных множителей Лагранжа с великолепными иллюстрациями.

Здравствуйте, Ka3a4oK, Вы писали:

KK>Метод неопределенных множителей Лагранжа с великолепными иллюстрациями.

Эта задача позиционировалась как уровня 8-го класса. А там не то, что метод Лагранжа, но еще и производные не проходят.

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


KK>>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.

MS>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.

MS>При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
На всей области определения у этой функции только один экстремум в точке (0,0), он же минимум. Попробуйте найти значение функции x2+y2 при x=y=10, а при x=y=100.

MS>Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?
Видимо тем, что при решений системы уравнений не учитываются комплексные корни.


Решение — это самая "высокая" точка линии пересечения параболоида вращения, задаваемого функцией z(x, y)=x^2+y^2 и цилиндра c элипсом в основании, задаваемого уравнением x^2+x*y-5*x+y^2-5*y+8=0. Последнее уравнение получено подстановкой а, выраженного через x и y из первого уравнения a=x+y+1 во второе уравнение x*y=a^2-7*a+14 => (x+y+1)^2-7*(x+y+1)+14-x*y=0.

Я специально не стал производить эти преобразования, котрые позволили бы сократить количество уравнений в системе до трех, при решении, чтобы продемонстрировать мощь подхода что ли. Мы действительно не думаем(как призывают нас авторы задачи), а просто применяем метод по шагам(некторые шаги я все-таки пропустил). Жозеф Луи Лагранж уже подумал за нас

MS>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9

MS>>При a=5 x2+y2 достигает максимального значения на множестве действительных чисел, но это не экстремум.
KK>На всей области определения у этой функции только один экстремум в точке (0,0), он же минимум. Попробуйте найти значение функции x2+y2 при x=y=10, а при x=y=100.
Не понимаю, о чем Вы говорите.
Я говорю про задачу этой ветки.

MS>>Каким условием в ваших уравнениях описывается условие что x и y должны быть действительными?
KK>Видимо тем, что при решений системы уравнений не учитываются комплексные корни.

А сколько комплексных корней в вышеприведенной системе из 5 уравнений?


KK>Решение — это самая "высокая" точка линии пересечения параболоида вращения, задаваемого функцией z(x, y)=x^2+y^2 и цилиндра c элипсом в основании, задаваемого уравнением x^2+x*y-5*x+y^2-5*y+8=0. Последнее уравнение получено подстановкой а, выраженного через x и y из первого уравнения a=x+y+1 во второе уравнение x*y=a^2-7*a+14 => (x+y+1)^2-7*(x+y+1)+14-x*y=0.

KK>Я специально не стал производить эти преобразования, котрые позволили бы сократить количество уравнений в системе до трех, при решении, чтобы продемонстрировать мощь подхода что ли. Мы действительно не думаем(как призывают нас авторы задачи), а просто применяем метод по шагам(некторые шаги я все-таки пропустил). Жозеф Луи Лагранж уже подумал за нас

Вообще-то Ваше условие задачи не совпадает с условиеми исходной задачи (нет ни слова про действительные числа), а ответ совпадает.

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


MS>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
При этом
x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9

MS>>>>Вообще-то экстремум (максимум) x2+y2 достигается при a=6, но x и y при этом получаются комплексными.
KK>>>Максимум ищется с учетом уравниений связи. Эти уравнения ограничивают область значений аргументов.
MS>>В качестве ответа Вы привели значения x=y=2, a=5 удовлетворяющие уравнениям связи, при этом f(x,y)=8
MS>>Я приведу значения x=(5+sqrt(-1))/2, y=(5-sqrt(-7))/2, a=6
MS>>Они также удовлетворяют Вашим уравнениям связи, но при этих значениях f(x,y)=9
KK>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
При этом
x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9

MS>>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.
MS>>

MS>>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>>При этом
MS>>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-1) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-1) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>>

VEA>Как каким?
VEA>См. выделенное.
Спасибо. Опечатка. Исправил.

KK>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

MS>

MS>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>При этом
MS>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>

В этом случае, корни перестают удовлетворять первым двум уравнениям.

KK>>>При решениии системы уравнений корни должны удовлетворять всем уравнениям системы. Подставте ваши комплексные значения в посдеднее уравнение системы(квадратное) и вы увидите, что уравнение не обращается в тождество.

MS>>Каким уравнениям не удовлетворяют приведенные мной комплексные значения?.

MS>>

MS>>x + y - a + 1 = (5 + sqrt(-7))/2 + (5-sqrt(-7))/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0
MS>>xy - a2 + 7a -14 = (25+7)/4 - 36 + 42 - 14 = 50 - 50 = 0
MS>>При этом
MS>>x2+y2 = (25 + 10*sqrt(-7) - 7)/4 + (25 - 10*sqrt(-7) - 7)/4 = (25-7)/2 = 9
MS>>

KK>В этом случае, корни перестают удовлетворять первым двум уравнениям.

Опять 25.
Задано два уравнения. Приведенные значения им удовлетворяют. Более того при заданных значениях достигается максимум x2+y2.
Я спрашиваю каким образом связаны требования действительности корней и решение методом Лагранжа приведенное Вами?

KK>Для знающих метод неопределенных множителей Лагранжа или другие методы поиска экстремумов функций нескольких переменных, эта задача не является ни сложной, ни оригинальной.
Полностью согласен. Метод кувалды — он и в африке метод кувалды.
У таких универсальных подходов есть только один минус — большое кол-во вычислений, которые трудно проверять на промежуточных этапах (нет простых способов поймать свои арифметические ошибки)... Но то, что можно решать сложные задачи, не думая — это несомненное благо для систем автоматического решения (maple и т.д.)
Кстати, решение там уже опубликовали, так что интрига совсем развеяна — http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_6238.html

Здравствуйте, MShura, Вы писали:


MS>На самом деле ответа нет, поскольку такого треугольника не может быть.
MS>По этим признакам (легко получаемый ответ неверен) я и вспомнил эту задачку.

На самом деле ответов бесконечно много, только пространство уже неевклидово...