Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
P>Сомнения законные, но легко отметаются следующим простым рассуждением. P>Угол колебания вертикальной оси (и погрешность в траекториях ножек) для заданного пола стремится к нулю при стремлении длины ножек к бесконечности. (Широко болтается только верх стула, так что для погрешностей в траекториях на полу нет никаких произведений нуля на бесконечность). С другой стороны, сам факт наличия устойчивой точки, очевидно, не зависит от длины ножек. Поэтому сделав ножки охренительно длинными и использовав классический алгоритм, мы можем потом поставить на найденные 4 точки любой нормальный стул.
Наклон стула не зависит от длины ножек, а только от конфигурации поверхности. По стути дела, нам нам можно расматривать только установку прямоугольника образованного концами ножек.
Например, можно рассмотреть установку стула на сильно наклоненную поверхность.
P>Чёрт! Я неверно сформулировал. Имелось в виду "на любом бесконечном во все стороны полу с ограниченными по высоте неровностями", т.е. высота пола нигде не опускается ниже H1 и не поднимается выше H2. Бесконечность по горизонтали нужна чтобы на краях не заморачиваться, может и без неё можно, я не знаю.
Бесконечность, очевидно, нужна. Иначе существует, уже приводимое
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
P>>Чёрт! Я неверно сформулировал. Имелось в виду "на любом бесконечном во все стороны полу с ограниченными по высоте неровностями", т.е. высота пола нигде не опускается ниже H1 и не поднимается выше H2. Бесконечность по горизонтали нужна чтобы на краях не заморачиваться, может и без неё можно, я не знаю.
MP>Бесконечность, очевидно, нужна. Иначе существует, уже приводимое
MP>Поведем вертикальную прямую. В дальнейшем мы будем перемещать стул так, чтобы центр пересечения диагоналей прямоугольника образованного концами ножек лежал на этой прямой. Проводим вертикальную плоскость через ножки 1,3. Опускаем стул так, чтбы установились 1,3 и при этом остались в этой вертикальной плоскости. Обозначим высоту точки персечения диагоналей в этой позиции через h. Теперь "качаем" стул вокруг оси 1,3 до того момента, когда растояние от поверхности (по вертикали) у ножек 2,4 не сравняется. Назовем это растояние x, причем, если ножки выше поверхности x считаем положительным, если ниже отрицательным.
MP>В зависимости от начального угла поворота у нас получаются две периодические непрерывные функции h(fi) и x(fi). Расмотрим две точки, в которых h достигает максимума и минимума. MP>В первой из этих точек x должно быть неотрицательным, т.к. иначе существовало бы fi (соответствуещее углу ножек 2,4) при котором стул можно было бы приподнять. Аналогично в минимуме h, x не может быть положительным. Следовательно в силу непрерывности x, существует точка, где x равно 0.
Только сегодня сообразил, что мое доказательство верно для любого четырехугольника, у которого одну диагональ можно перевести в другую поворотом вокруг точки пересечения диагоналей. Т.е., говоря человеческим языком, для любой равнобедренной трапеции.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Тогда предлагаю рассмотреть промежуточный вариант — ножки стула вписываются в окружность. А?
Опишем вокруг четырехугольника окружность, проходящую через три его точки, так чтобы он целиком лежал внутри нее.
Теперь рассмотрим цилиндр радиусом больше радиуса этой окружности.
Сперва проверим эллиптические сечения цилиндра, похоже, что на них установить наш четырехугольник не получится (кривизны не хватит). Хотя строго я это утверждение пока доказать не могу.
Значит остаются сечения в виде паралельных прямых — на них можно установить любую трапецию.
С другой стороны, сфера ограничивает наши возможности "вписываемым" в окружность четырехугольником.
Т.ч., похоже, остается единственная возможность — равнобедренная трапеция, для которой утверждение доказаноздесь
Кстати, половинками цилиндров можно заполнить бесконечную поверхность, при конечном перепаде высот. Т.ч., скорее всего, Pushkin не прав в своем утверждении о произвольности четырехугольника.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>>В первой из этих точек x должно быть неотрицательным, т.к. иначе существовало бы fi (соответствуещее углу ножек 2,4) при котором стул можно было бы приподнять
MP>Только сегодня сообразил, что мое доказательство верно для любого четырехугольника, у которого одну диагональ можно перевести в другую поворотом вокруг точки пересечения диагоналей.
Что-то я напрягался, но не понял.
Как в доказательстве это (переход диагоналей) используется?
И ещё не мог бы ты поподробней пояснить выделенный кусок.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>>>В первой из этих точек (hmax) x должно быть неотрицательным, т.к. иначе существовало бы fi (соответствуещее углу ножек 2,4) при котором стул можно было бы приподнять
MP>>Только сегодня сообразил, что мое доказательство верно для любого четырехугольника, у которого одну диагональ можно перевести в другую поворотом вокруг точки пересечения диагоналей.
P>Что-то я напрягался, но не понял. P>Как в доказательстве это (переход диагоналей) используется? P>И ещё не мог бы ты поподробней пояснить выделенный кусок.
Так это самая красивая часть доказательства (использование hmax и hmin)! Все остальное можно считать перепевами твоего.
Поясняю: Стул выставлен так, что 1,3 касаются пола, а 2,4 находятся на одинаковом по вертикали растоянии от поверхности (x). Тогда, если x отрицательно, то перемещением стула вверх мы можем добиться того, что ножки 2,4 касаются пола, при этом точка пересечения диагоналей находится выше первоначальной. Теперь замечаем, что диагональ 2,4 это повернутая диагональ 1,3. Следовательно существует h>hmax. Получили противоречие.
MP>Опишем вокруг четырехугольника окружность, проходящую через три его точки, так чтобы он целиком лежал внутри нее.
MP>Теперь рассмотрим цилиндр радиусом больше радиуса этой окружности.
MP>Сперва проверим эллиптические сечения цилиндра, похоже, что на них установить наш четырехугольник не получится (кривизны не хватит). Хотя строго я это утверждение пока доказать не могу.
А вот здесь я соврал! На цилиндр можно установить любой выпуклый четырехугольник (могу доказать).
MP>Кстати, половинками цилиндров можно заполнить бесконечную поверхность, при конечном перепаде высот. Т.ч., скорее всего, Pushkin не прав в своем утверждении о произвольности четырехугольника.
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>А если стоят ножки 1,2,3, а 4 висит?
Это ситуации не меняет. Это то же самое, что 2 и 4 качаются.
Пушкин прав на 100%.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
M>>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
P>Я фигею, ребята Похоже, справедливо следующее утверждение:
P>На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X, P>можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками, P>не лежащими на одной прямой.
P>Чо то с доказательством длинновато и сложновато выходит, но похоже это так, а?
По ходу максимальная разница длины ножек не должна превышать ограничение пола по Y.
Иначе, если у нормального стула одну ножку отпилить наполовину(ну такой вот хреновый стул), то хрен ты его установишь на все четыре на нормальном полу
Или хотя бы ограничь условие, что ножки не лежат на одной прямой, но их нижние концы лежат в одной плоскости...
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>>А вот здесь я соврал! На цилиндр можно установить любой выпуклый четырехугольник (могу доказать).
M>А нет ли ограничения на соотношение "ширины" четырехугольника и диаметра цилинтра?
Есть, но вполне естественное: Диаметр цилиндра должен быть не меньше, чем максимальная диагональ.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>>Поведем вертикальную прямую. В дальнейшем мы будем перемещать стул так, чтобы центр пересечения диагоналей прямоугольника образованного концами ножек лежал на этой прямой.
...
MP>Только сегодня сообразил, что мое доказательство верно для любого четырехугольника, у которого одну диагональ можно перевести в другую поворотом вокруг точки пересечения диагоналей. Т.е., говоря человеческим языком, для любой равнобедренной трапеции.
Могу доказать, что "локальное" решение далее обобщить нельзя.
Т.е. для любого четырехугольника отличного от равнобедренной трапеции, если мы фиксируем прямую по которой перемещается точка пересечения диагоналей, то всегда можно построить поверхность, на которую его нельзя установить.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
Зададим поверхность пола функцией f(x) = k * (-x*x — y*y). Для любого наперед заданного стула я всегда сумею пообрать такое значение k, чтобы стул невозможно было разместить. Достаточно, чтобы вогнутая часть параболоида была намного меньше чем сиденье стула.
Здравствуйте, Mystic, Вы писали:
M>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
M>Зададим поверхность пола функцией f(x) = k * (-x*x — y*y). Для любого наперед заданного стула я всегда сумею пообрать такое значение k, чтобы стул невозможно было разместить. Достаточно, чтобы вогнутая часть параболоида была намного меньше чем сиденье стула.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Здравствуйте, Mystic, Вы писали:
M>>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
M>>Зададим поверхность пола функцией f(x) = k * (-x*x — y*y). Для любого наперед заданного стула я всегда сумею пообрать такое значение k, чтобы стул невозможно было разместить. Достаточно, чтобы вогнутая часть параболоида была намного меньше чем сиденье стула.
M>"вогнутая часть параболоида" — это где?
Сформулирую немного яснее. Расположем стул такимо бразом, чтобы центр квадрата [прямоугольника], который образует "сиденье" стула [табуретки] совпадал с началом координат. При этом всегда можно подобрать коэффициент k таким образом, чтобы ножки стула не доставали до параболоида ("висели в воздухе"). Установить его на такой "горе" устойчиво ИМХО проблематично...
Кроме того, доказательство построено на геометрической интуиции. В анализе есть много вещей, которые противоречат нашей интуиции...
Здравствуйте, Mystic, Вы писали:
M>Сформулирую немного яснее. Расположем стул такимо бразом, чтобы центр квадрата [прямоугольника], который образует "сиденье" стула [табуретки] совпадал с началом координат. При этом всегда можно подобрать коэффициент k таким образом, чтобы ножки стула не доставали до параболоида ("висели в воздухе"). Установить его на такой "горе" устойчиво ИМХО проблематично...
Может мы по-разному понимаем слово "устойчиво".
Для меня устойчиво значит, что все 4 ножки стоят на полу. При этом, разумеется, считается, что сиденье высоко (в него пол не упрётся).
На кочку прямоугольный стул прекрасно встанет. Многие верят (я в том числе), что даже трапециидальный стул встанет. Другое дело, что сидеть на такой кочке не очень приятно. Неуютно как-то
Здравствуйте, Mystic, Вы писали:
M>Сформулирую немного яснее. Расположем стул такимо бразом, чтобы центр квадрата [прямоугольника], который образует "сиденье" стула [табуретки] совпадал с началом координат. При этом всегда можно подобрать коэффициент k таким образом, чтобы ножки стула не доставали до параболоида ("висели в воздухе"). Установить его на такой "горе" устойчиво ИМХО проблематично...
Мы же задачки решаем, а не "серьезной" математикой занимаемся. Заменим "расположить стул" на "расположить плоский четырехугольник" — решение не изменится, а формулировка более "сухой" получается .
M> M>Кроме того, доказательство построено на геометрической интуиции. В анализе есть много вещей, которые противоречат нашей интуиции...
Насчет интуиции имхо несправедливо. Я могу строго доказать каждое промежуточное утверждение. Я их опустил, т.к. считал, что они (доказательства) достаточно просты, чтобы ими загромождать решение.
Если так нужна строгость, то могу сказать, что, помимо непрерывности поверхности, к условиям (чтобы доказательство оставалось в силе) следует добавить:
1. Размеры комнаты позволяют найти точку, в которой гоизонтально расположенный стул можно провернуть на 360 гр. вокруг точки пересечения диагоналей.
2. (Почему-то на этот момент, о котором я "умолчал", никто не обратил внимания) Поверхность не содержит "складок" в вертикальном направлении.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
M>>Кроме того, доказательство построено на геометрической интуиции. В анализе есть много вещей, которые противоречат нашей интуиции...
MP>Насчет интуиции имхо несправедливо. Я могу строго доказать каждое промежуточное утверждение. Я их опустил, т.к. считал, что они (доказательства) достаточно просты, чтобы ими загромождать решение.
Начнем с первого утверждения: > Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул.
Докажите, что стул можно поставить. Под стулом понимаем фигуру, образованную из квадрата ("сиденья"), в вершинах которого проведены перпендикуляры заданной длины ("ножки") Поставить — значит найти такое расположение стула, при котором пересечение множества точек стула с множеством точек поверхности пола состояло бы из двух точек (собственно диагональных концов ножек). Поверхность пола — гладкая функция двух переменных.
алгоритм, мы можем потом поставить на найденные 4 точки любой нормальный стул.
Евгений
.