Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
Стул будет устойчив, если опирается хотя бы на 3 ножки.
А уж выбрать на гладко-неровном полу три точки можно всегда,
Можно мысленно провести плоскость через эти три точки и
представить себе, что стул стоит на ней.
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
UgN>Стул будет устойчив, если опирается хотя бы на 3 ножки. UgN>А уж выбрать на гладко-неровном полу три точки можно всегда, UgN>Можно мысленно провести плоскость через эти три точки и UgN>представить себе, что стул стоит на ней.
Имеется ввиду, что стул будет устойчив, если опирается на все свои ножки.
Если четырёхногий стул опирается на 3 ножки, то он — качается.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул.
Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются.
Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
P>Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул. P>Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются. P>Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.
Йез! Что неоднократно и было проверено на практике!
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул. P>Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются. P>Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками
На самом деле квадратность стула не обязательна. Достаточно прямоугольности.
Ножки прямоугольного стула при повороте ходят все по одному кругу.
Высоту пола под ножками обозначим как h1,h2,h3,h4
Стул устойчив, если h1+h3=h2+h4
Если рассматривать суммы h1+h3 и h2+h4 как функции от угла поворота H13(fi) и H24(fi),
то легко видеть, что это одна и та же функция, только сдвинутая по fi и притом периодическая.
Поэтому конечно есть точка пересечения (думаю можно доказать, что по райней мере две).
А в точке пресечения стул устойчив.
PS
Конечно две — если прямоугольный стул устойчив, то его можно повернуть на 180 градусов
и он останется устойчивым.
PPS
Любой четырёхугольник нельзя поворотом поставить устойчиво.
Например сильно вытянутый ромб в яме точно не встанет.
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
Я фигею, ребята Похоже, справедливо следующее утверждение:
На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X,
можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками,
не лежащими на одной прямой.
Чо то с доказательством длинновато и сложновато выходит, но похоже это так, а?
...
P>Я фигею, ребята Похоже, справедливо следующее утверждение:
P>На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X, P>можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками, P>не лежащими на одной прямой.
P>Чо то с доказательством длинновато и сложновато выходит, но похоже это так, а?
Речь уже, по-видимому, не идет о "любом месте пола", так?
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
P>>На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X, P>>можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками, P>>не лежащими на одной прямой.
M>Речь уже, по-видимому, не идет о "любом месте пола", так?
Ну да, см. выше — сдвигами и поворотами.
Т.е. на всём бесконечном полу есть такая точка, где можно повертеть стул и поставить таки устойчиво.
...
M>>Речь уже, по-видимому, не идет о "любом месте пола", так?
P>Ну да, см. выше — сдвигами и поворотами. P>Т.е. на всём бесконечном полу есть такая точка, где можно повертеть стул и поставить таки устойчиво.
Что-то начинают брать сомнения в необходимости бесконечности пола даже по одной координате...
Ведь сдвинув стул более, чем на его максимальный размер, мы попадём в исходную ситуацию — если пол в окресностях стула нам более-менее "известен" (ощупан ножками), то "в далеке" — нет.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Я фигею, ребята Похоже, справедливо следующее утверждение:
P>На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X, P>можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками, P>не лежащими на одной прямой.
P>Чо то с доказательством длинновато и сложновато выходит, но похоже это так, а?
Что-то я сомневаюсь, что на сфере можно установить четырехугольник невписываемый в окружность
Привет, Pushkin!
M>>Дано: квадратный стул с одинаковыми ножками и гладко-неровный пол. M>>Доказать: что в любом месте пола можно установить стул устойчиво.
P>Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул. P>Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются. P>Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.
Хорошее решение... Заслуженно поставленная мной и другими оценка... Осталось только заметить, что даже на гладко-неровном полу не всегда можно повернуть стул... Но будем считать пол таким, что это возможно...
P>>На любом гладко-неровном полу, ограниченном по Y и бесконечном по X, P>>можно сдвигами и поворотами установить устойчиво любой стул с 4-мя ножками, P>>не лежащими на одной прямой.
MP>Что-то я сомневаюсь, что на сфере можно установить четырехугольник невписываемый в окружность
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
MP>>Что-то я сомневаюсь, что на сфере можно установить четырехугольник невписываемый в окружность
P>
P>ограниченном по Y и бесконечном по X
Ах вон оно что! Бесконечность, как минимум по одной оси, предполагает наличие как локальных максимумов, так и локальных минимумов! Так! И на этом строится то таинственное доказательство?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул. P>Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются. P>Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.
...
P>Ножки прямоугольного стула при повороте ходят все по одному кругу. P>Высоту пола под ножками обозначим как h1,h2,h3,h4 P>Стул устойчив, если h1+h3=h2+h4 P>Если рассматривать суммы h1+h3 и h2+h4 как функции от угла поворота H13(fi) и H24(fi), P>то легко видеть, что это одна и та же функция, только сдвинутая по fi и притом периодическая. P>Поэтому конечно есть точка пересечения (думаю можно доказать, что по райней мере две). P>А в точке пресечения стул устойчив.
К сожалению оба эти доказательства неправильные .
Так в первом случае, "установка" ножек 1,3 наклоняет стул и ось вращения становится невертикальной, а тогда при повороте на 90° у нас нет гарантии, что мы попадем в тоже положение.
Во втором случае, "установка" ножек 1,3 изменяет величины h2 и h4.
Я заметил это еще вчера, но не хотелось выступать с некоструктивной критикой. Заняться строгим доказательством я смог только вечером, а закончил его сегодня утром.
Итак простим Pushkin-у некоторую поэтическую легкость и займемся уточнением его решений (сразу для прямоугольника). Прошу прощения за некоторую громоздкость .
Поведем вертикальную прямую. В дальнейшем мы будем перемещать стул так, чтобы центр пересечения диагоналей прямоугольника образованного концами ножек лежал на этой прямой. Проводим вертикальную плоскость через ножки 1,3. Опускаем стул так, чтбы установились 1,3 и при этом остались в этой вертикальной плоскости. Обозначим высоту точки персечения диагоналей в этой позиции через h. Теперь "качаем" стул вокруг оси 1,3 до того момента, когда растояние от поверхности (по вертикали) у ножек 2,4 не сравняется. Назовем это растояние x, причем, если ножки выше поверхности x считаем положительным, если ниже отрицательным.
В зависимости от начального угла поворота у нас получаются две периодические непрерывные функции h(fi) и x(fi). Расмотрим две точки, в которых h достигает максимума и минимума.
В первой из этих точек x должно быть неотрицательным, т.к. иначе существовало бы fi (соответствуещее углу ножек 2,4) при котором стул можно было бы приподнять. Аналогично в минимуме h, x не может быть положительным. Следовательно в силу непрерывности x, существует точка, где x равно 0.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>К сожалению оба эти доказательства неправильные . MP>Так в первом случае, "установка" ножек 1,3 наклоняет стул и ось вращения становится невертикальной, а тогда при повороте на 90° у нас нет гарантии, что мы попадем в тоже положение. MP>Во втором случае, "установка" ножек 1,3 изменяет величины h2 и h4.
Сомнения законные, но легко отметаются следующим простым рассуждением.
Угол колебания вертикальной оси (и погрешность в траекториях ножек) для заданного пола стремится к нулю при стремлении длины ножек к бесконечности. (Широко болтается только верх стула, так что для погрешностей в траекториях на полу нет никаких произведений нуля на бесконечность). С другой стороны, сам факт наличия устойчивой точки, очевидно, не зависит от длины ножек. Поэтому сделав ножки охренительно длинными и использовав классический алгоритм, мы можем потом поставить на найденные 4 точки любой нормальный стул.
M>Ах вон оно что! Бесконечность, как минимум по одной оси, предполагает наличие как локальных максимумов, так и локальных минимумов! Так! И на этом строится то таинственное доказательство?
Чёрт! Я неверно сформулировал. Имелось в виду "на любом бесконечном во все стороны полу с ограниченными по высоте неровностями", т.е. высота пола нигде не опускается ниже H1 и не поднимается выше H2. Бесконечность по горизонтали нужна чтобы на краях не заморачиваться, может и без неё можно, я не знаю.
А доказательство у меня не таинственное, а скорее туманное — считай что нету. Я просто сформулировал имхо правдоподобное утверждение, а доказательство ждёт своих героев
Евгений
Apapa.gif)
.
.