Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
NB>>базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
__>В некотором смысле. В том, в котором наиболее прозрачный способ построения евклидовой геометрии -- определить линейное пространство, на основе него аффинное, и ввести на нём структуру скалярного произведения. Это, конечно, можно всё делать аксиоматически, с тем же результатом, но очень неудобно.
ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
Здравствуйте, night beast, Вы писали:
NB>ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
Ни разу, ввиду отсутствия соответствующего понятия. В свою очередь, поинтересуюсь, бывают ли базисы в линейный пространствах без скалярного произведения? С несколькими скалярными произведениями?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>>Спросили про нечто частное... ответили про нечто общее
Q>Почему нет?
Потому что вопрос, по сути, касался того, является ли перпендикулярность некоторой дополнительной структурой: "ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные". Является. Причём некоторые умудряются одновременно эту структуру предъявлять, и говорить, что это не дополнительная структура
Re[4]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>>Не говорите ерунды, и не вводите в заблуждение человека. _>>Вся Евклидова геометрия строится на метрике пространства, т.е. расстоянии. Тут нет необходимости вводить какие то углы. Сам угол — это тоже длинна, т.е. мера растояния.
_>>Выше человек уже ответил, что достаточно циркуля и линейки для построений.
__>А здесь, уважаемые экскурсанты, вы можете наблюдать экспонат "эффект Даннинга-Крюгера".
__>Евклидова геометрия, -- это аффинное пространство (часть про точки и прямые) с положительно определённым скалярным произведением (часть про длины и углы). Причём одна без другой жизнеспособна: вторую часть можно выкинуть, и останется содержательная теория.
А здесь, не менее уважаемый, вы пускаетесь в словоблудие.
Напомню Ваше оригинальное высказывание:
>И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Докажите пож-та это высказывание. Выше уже подметили, что скалярным произведением одинаково просто вычисляется и параллельность и перпендикулярность.
Так где тогда эта ваша более фундаментальная особенность параллельности?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
NB>>ок. и как часто вам встречалось такое понятие как "параллельный базис" в сравнении с "ортогональным"
__>Ни разу, ввиду отсутствия соответствующего понятия. В свою очередь, поинтересуюсь, бывают ли базисы в линейный пространствах без скалярного произведения? С несколькими скалярными произведениями?
возможно. но не улавливаю, какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
Q>>Я для примера взял лежащую под рукой pdf-книжку по математике, там много про многомерные векторные пространства. Строка «orthogonal» встречается там гораздо чаще, чем «parallel» (да и то последнее часто в контексте чего-нибудь типа «параллельно осям координат»). И это не удивительно и вполне закономерно. __>Неоходимо ещё выполнение двух условий: адекватная книжка
Не думаю, что от моего понимания (а оно безусловно неполное) зависит указанная статистика.
__>Открой любой букварь. Хоть "Линейную алгебру и геометрию" Кострикина и Манина
У Кострикина читал трёхтомник «Введение в алгебру». В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом.
__>хоть "Геометрию" Берже (если хочется необычного).
Это не читал, и вряд ли буду.
Q>>Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой? __>Математической физикой
И это очень странно, потому что в той математической физике, которая была у меня в вузе (а это фактически эвфемизм для функционального анализа и дифуров), понятие ортогональности (например, в гильбертовых пространствах) ну точно гораздо более фундаментальное, чем какая-то там параллельность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Потому что вопрос, по сути, касался того, является ли перпендикулярность некоторой дополнительной структурой
Скалярное произведение — да, это дополнительная структура на векторном пространстве.
Аффинное пространство — это, кстати, тоже дополнительная структура, включающая векторное пространство в своё определение. Более сложная структура, на мой взгляд.
Не, ну это не серьёзно. Книжка должна быть по математике.
Q>У Кострикина читал трёхтомник «Введение в алгебру».
Трёхтомник Кострикина неплох, но здесь определяющей фамилией является "Манин" (прототип профессора Вечеровского у Стругацких, кстати).
Q>В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом.
Я помогу: 2 том, 4 глава.
Q>>>Я не знаю, какой наукой вы там занимаетесь, наверное, не математикой или физикой? __>>Математической физикой
Q>И это очень странно, потому что в той математической физике, которая была у меня в вузе (а это фактически эвфемизм для функционального анализа и дифуров), понятие ортогональности (например, в гильбертовых пространствах) ну точно гораздо более фундаментальное, чем какая-то там параллельность.
Это сильно устаревшее и узкое понимание математической физики. Сейчас математической физикой называют скорее всякие вопросы теории представлений, дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и т.п., имеющие некоторое отношение к формальным вопросам фундаментальных теорий с одной стороны, и некоторые слишком формальные вопросы теоретической физики, ну очень далёкие от эксперимента, как правило, связанные с физикой фундаментальных взаимодействий, с другой.
Здравствуйте, night beast, Вы писали:
NB>базис векторов/функций -- это фундаментальное понятие?
Я бы сказал, что нет! Но не в практическом смысле (у нас как правило векторные пространства встречаются всё-таки с базисами), а в философском. Если некоторое утверждение можно выразить в инвариантной форме, без рассмотрения в конкретном базисе — то именно так и надо делать. То есть избегать координат как можно дольше. Тогда не надо будет отдельно доказывать, что от выбора базиса истинность не зависит. Например, то же касается и скалярного произведения — как можно дольше рассматривать его как абстрактную операцию с заданными свойствами, а не прибегать к чему-то типа суммы произведений координат. (И это ещё если поле скаляров — не комплексные числа, там ещё сопряжение надо не забывать, зачем эта возня?)
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Аффинное пространство — это, кстати, тоже дополнительная структура, включающая векторное пространство в своё определение.
Да, но речь явно шла изначально о нём. Евклидовым пространством называют как просто линейное пространство со правильным скалярным произведением, так и множество, на котором оно свободно транзитивно действует (линейное пространство без отмеченной точки). Последнее -- человеческий способ (без 20 аксиом, на правильную формулировку которых потребовались тысячелетия и гений Гильберта, что говорит о неудачности аксиоматического языка для описания евклидовой геометрии) говорить о "школьной" евклидовой геометрии, которой вопрос и касался.
Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:
_>Даже если вы правы — никогда не прибегайте к вашим титулам, заслугам, званиям и должностям. Как будто в академических кругах нет глупцов.
Это да. Но проблема в том, что иначе фонтан агрессивного невежества заткнуть нельзя. См. анекдот про игру в шахматы с голубем Например, ты не способен воспринять глубокий аргумент. А про то, что есть какие-то акажемические круги знаешь.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>Правильно ощущается. И подмечено верно, что параллельность -- в некотором смысле, более фундаментальное понятие, нежели перпендикулярность.
Q>Нет, в математике всё наоборот. Ортогональность — фундаментальное понятие, а параллельность — так, сбоку припёка.
Есть точки и прямые, проходящие через точки/составленные из точек. "Если не существует такой точки, принадлежащей сразу двум прямым, то эти прямые параллельны." Где тут ортогональность и как ты её сформулируешь?
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Так вышло, что я профессионально занимаюсь наукой. Ещё преподаю. В том числе, геометрию (в вузе). Выше написана чушь.
Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов?
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов?
Речь о линейном пространстве?
Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются. Пример: пространство всех функций на окружности (сопоставляем каждой точке z число f(z); (f + g)(z) := f(z) + g(z); (k f)(z) = k f(z)). При желании можно рассмотреть выделенную билинейную функцию (называемую скалярным произведением): это даст новые отношения между векторами. В частности, ортогональность.
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной.
Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.
А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов? __>Речь о линейном пространстве?
Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным.
__>Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются.
Почему не требуется ортогональность? Оно тут означает независимость компонент.
Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b)
__>Пример: пространство всех функций на окружности
Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. ))
ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
_>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Cкалярное произведение это уже более комплексное понятие , требуется введение такого понятия как вектор, операции над векторами.
”Жить стало лучше... но противнее. Люди которые ставят точку после слова лучше становятся сторонниками Путина, наши же сторонники делают акцент на слове противнее ( ложь, воровство, лицемерие, вражда )." (с) Борис Немцов
Re[2]: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной. Ш>Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.
Ш>А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.
Кстати, занятный факт: утверждение выше о том, что перпендикуляр короче наклонной, остаётся в силе в геометрии Лобачевского.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
