Здравствуйте, vdimas, Вы писали:

V>Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

V>>>Разве в математике пространства задаются не через мн-во ортогональных векторов?
__>>Речь о линейном пространстве?

V>Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным.

Фраза бессмысленна. Потому что изоморфизм -- это биекция, уважающая данную структуру (группы, линейного пространства, кольца, ...) на множествах. Т.е. говорить об изоморфизме можно, если у нас множества с одинаковой структурой. В данном случае -- линейного пространства.


__>>Линейное пространство -- это абелева группа (структура сложения), элементы которой можно умножать на скаляры (собственно, умножение на числа). Углы вообще и ортогональность в частности здесь не требуются.

V>Почему не требуется ортогональность?

Потому что вообще не причём.

V>Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b)

Здесь f -- это не отображение между линейными пространствами, а элемент пространства. Вектор рассматриваемого линейного пространства -- функция. И выше я написал, что понимается под их сложением и умножением на число. Я специально привёл пример существенно бесконечномерного пространства, на котором разумного скалярное произведения вообще нет (вооружившись аксиомой выбора и построив базис Гамеля, конечно, можно ввести; но разве это жизнь?).

V>Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. ))

z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.

V>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.

В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.

Здравствуйте, okon, Вы писали:

O>Cкалярное произведение это уже более комплексное понятие , требуется введение такого понятия как вектор, операции над векторами.
Зато как все это красиво и учено выглядит. Не то что твое школьное "Параллельные прямые это прямые которые никогда не пересекаются"

Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:

_>Здравствуйте, pva, Вы писали:

pva>>Здравствуйте, okon, Вы писали:

O>>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
pva>>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.

_>Одно НО — понятие проекции снова требует понятия прямого угла. Иначе как проецировать будешь?

_>Но вообще правильно, понятие угла это все равно мера длинны, поэтому без него запросто можно обойтись. Прямой угол можно определять используя теорему Пифагора, например, выбрав точку пересечения прямых, и еще по точке на каждой прямой получишь треугольник. Тогда потребовав выполнения равенства Пифагора получишь предикат прямого угла.
_>Есть и другие способы.

Можно обойтись и без прямого угла если использовать понятие "кратчайшее расстояние" от точки одной прямой до точки другой. Т.е. проекция точки одной прямой есть точка на другой прямой, расстояние до которой наименьшее.

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>>Объяснить можно -- перпендикуляр короче наклонной.
Ш>>Но это не годится при аксиоматическом развертывании геометрии, при котором этот факт доказывается через теорему о внешнем угле.

Ш>>А, кроме того, в неевклидовой геометрии понятие параллельности другое.

__>Кстати, занятный факт: утверждение выше о том, что перпендикуляр короче наклонной, остаётся в силе в геометрии Лобачевского.

Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии,
поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии,
Ш>поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.

Кстати, если интересно, недавно была переведена на русский лаконичная (относительно) "Геометрии" Сосинского, которую, в принципе, можно прочитать целиком, в отличие от прекрасной, но неохватной книжки Берже. Если интересует аксиоматически-глобальный взгляд на элементарные геометрии, в противовес стандартному "структурно-локальному", то занятно полистать.

Здравствуйте, pagid, Вы писали:

pva>>Проекция одной на вторую будет точкой. Ну и в ту же сторону покопать можно.
P>Проекция понятие более простое по сравнению с углом?
Мой ответ был исключительно на вопрос ТС: "можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла"
На мой взгляд проекцию детям можно на пальцах объяснить через размер тени.

Здравствуйте, barn_czn, Вы писали:

_>Одно НО — понятие проекции снова требует понятия прямого угла. Иначе как проецировать будешь?
Такое положение прямой А по отношению к прямой Б при котором при освещении А бесконечно удаленным источником ее тень на Б будет стремиться к нулю.
Да, плохое объяснение. Для этого пришлось бы ввести условие ортогональной освещенности )))

Здравствуйте, okon, Вы писали:

O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.

Перпендикулярные прямые — это такие пересекающиеся прямые, что любая окружность с центром на одной из прямых и радиусом равным расстоянию от центра до точки пересечения будет касаться другой прямой только в одной точке — в точке их пересечения.

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

V>>Допустим, о любом, имеющий взаимно-однозначный изоморфизм с линейным.
__>Фраза бессмысленна. Потому что изоморфизм -- это биекция, уважающая данную структуру (группы, линейного пространства, кольца, ...) на множествах. Т.е. говорить об изоморфизме можно, если у нас множества с одинаковой структурой. В данном случае -- линейного пространства.

Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное?


V>>Необходимым признаком линейности является не только f(k*a)==k*f(a), но и f(a+b)==f(a)+f(b)
__>Здесь f -- это не отображение между линейными пространствами, а элемент пространства.

Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками.
Поясни, почему f — элемент пространства?


__>Вектор рассматриваемого линейного пространства -- функция. И выше я написал, что понимается под их сложением и умножением на число. Я специально привёл пример существенно бесконечномерного пространства, на котором разумного скалярное произведения вообще нет (вооружившись аксиомой выбора и построив базис Гамеля, конечно, можно ввести; но разве это жизнь?).

Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? ))


V>>Тут f, g и все остальные ф-ии от координаты z составляют множество, т.е. одномерное пространство. ))
__>z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.

Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать?
Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. ))
Называется, лишь бы ля-ля.


V>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
__>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.

Ответь прямо на прямой вопрос, плиз.

Здравствуйте, vdimas, Вы писали:

V>Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное?

Что такое "нелинейное пространство" человечеству неизвестно. На всякий случай: "линейное" в словосочетании "линейное пространство" надо воспринимать не как прилагательное, а как часть "одного существительного из двух слов".

V>Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками.
V>Поясни, почему f — элемент пространства?

Непонятно, причём здесь гармоники, и что вообще под этим словом имеется в виду (про линейные операции над гармониками даже спрашивать боюсь). Я уже пожалел, что про окружность заикнулся. Давай попроще. Рассмотрим множество полиномов одной переменной R[x]. Полиномы можно складывать, умножать на числа и раскрывать скобочки как положено. Таким образом, это множество является линейным пространством относительно этих операций. Очевидно, бесконечномерное. И тот, кто скажет, что полиномы -- это неестественно, пусть первый бросит в меня камень.

Потом можно подумать про это пространство как подпространство в пространстве вообще всех функций на прямой. Т.е. множество: множество всех функций. Операции сложения и умножения на число определены выше.


V>Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? ))

Почему вырожденные, а не случаи общего положения? Но это не важно, потому что определение линейного пространства слов размерность и базис не содержит, и потому годится и там и сям.


V>Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать?

Что предъявил до фига линейно независимых векторов. А потому, пространство, мягко говоря, не одномерно, как говорил ты.

V>Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. ))

По-моему, ты вообще не понимаешь, о чём идёт речь. И

V>Называется, лишь бы ля-ля.


V>>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
__>>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.

V>Ответь прямо на прямой вопрос, плиз.

Я ответил, но ты не понял. Т.е. "проблемы на вашей стороне" Если тебя интересует, что такое размерность пространства, то это мощность базиса.

Здравствуйте, okon, Вы писали:

O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.

А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?

Здравствуйте, pva, Вы писали:

pva>Мой ответ был исключительно на вопрос ТС: "можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла"
Так проекция должна быть ортогональной, а она через перпендикулярность определяется. Можно её через расстояния определить, но тогда можно и без проекции через расстояния перпендикуляр определить, но все равно не проще, чем через углы получится.

pva>На мой взгляд проекцию детям можно на пальцах объяснить через размер тени.
И перпендикуляр детям можно через размер тени объяснять, но зачем этим заниматься не объяснив предварительно что такое угол

Здравствуйте, okon, Вы писали:

O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.

Ключевое слово: "кратчайшее расстояние".

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>>Совершенно верно. Это называется абсолютной геометрией. В ней справедливо множество фактов, известных из курса элементарной геометрии,
Ш>>поскольку их можно доказать, не прибегая к пятому постулату.

__>Кстати, если интересно, недавно была переведена на русский лаконичная (относительно) "Геометрии" Сосинского, которую, в принципе, можно прочитать целиком, в отличие от прекрасной, но неохватной книжки Берже. Если интересует аксиоматически-глобальный взгляд на элементарные геометрии, в противовес стандартному "структурно-локальному", то занятно полистать.

Дожили. Книги Сосинского переводят НА русский.

Я не усмотрел ничего неохватного в Берже. Она просто скучновата.

А что касается глобального взгляда на классические геометрии, то как известно со времен Клейна, это и есть самый правильный подход.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:

__>>хоть "Геометрию" Берже (если хочется необычного).

Q>Это не читал, и вряд ли буду.

Гильберта почитай. Основания геометрии.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>Я не усмотрел ничего неохватного в Берже. Она просто скучновата.

Да, это и имелось в виду, при её объёме. Не "Elements de geometrie algebrique" же )

Ш>А что касается глобального взгляда на классические геометрии, то как известно со времен Клейна, это и есть самый правильный подход.

Мягко говоря, на любителя

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

V>>Ну ОК, а если нелинейное пространство имеет однозначное отображение на линейное?
__>Что такое "нелинейное пространство" человечеству неизвестно.

Это которые не попадают под определение "линейное пространство".


__>На всякий случай: "линейное" в словосочетании "линейное пространство" надо воспринимать не как прилагательное, а как часть "одного существительного из двух слов".

Ес-но, это же термин.
Линейное пространство — это векторное пространство.

Но пространства могут быть какие угодно.
Например, метрика (мера) пространства изменяется, допустим, по одному из базисов.


V>>Ну вот у нас пространство всех гармоник, а f — линейная операция над гармониками.
V>>Поясни, почему f — элемент пространства?
__>Непонятно, причём здесь гармоники, и что вообще под этим словом имеется в виду (про линейные операции над гармониками даже спрашивать боюсь). Я уже пожалел, что про окружность заикнулся. Давай попроще.

Не давай, я просил ответа на мой уточняющий вопрос (выделил).
Можно пропустить обсуждение "что такое гармоника" и "что такое линейные операции над гармониками".
Скорее всего, ты всё это знаешь.
Поэтому, интересен ответ на вопрос.


V>>Это всё не в ту степь, зачем брать вырожденные случаи, типа бесконечномерного пространства? ))
__>Почему вырожденные, а не случаи общего положения? Но это не важно, потому что определение линейного пространства слов размерность и базис не содержит, и потому годится и там и сям.

Ну я спрашивал про пространства, обладающие некими размерностями, т.е. конечным их числом.
Есл бы спрашивал про бесконечномерные пространства, я бы так и спросил.


V>>Набор ф-ий f_i — это просто множество, задаётся через перечисление, т.е. не понятно, что ты этим хочешь сказать?
__>Что предъявил до фига линейно независимых векторов.

Отож.
А при чём тут точка на окружности — я ХЗ, если можно было сразу дать список векторов и объявить их линейно-независимыми.


__>А потому, пространство, мягко говоря, не одномерно, как говорил ты.

Не надо бегать, само мн-во векторов — это просто множество, см. выделенное в моём процитированном.
Выглядит так, что тебе захотелось завернуть что-то эдакое, но на выходе банальности.


V>>Если f_i — это базис, и ты намекал именно на это, то определение базиса через некое мн-во ф-ий над {z_i} — это самое глупое забавное, что только можно было родить. ))
__>По-моему, ты вообще не понимаешь, о чём идёт речь.

Пока что ты виляешь, это мягко говоря.


V>>>>ОК, переформулирую свой вопрос — многомерные пространства в математике как задаются.
__>>>В прошлом сообщении я написал, что такое линейное пространство произвольной (любой кардинальности: нулевой, конечной, счётной, континуальной и т.п. -- любой) размерности. Потому что само понятие размерности -- производное.
V>>Ответь прямо на прямой вопрос, плиз.
__>Я ответил, но ты не понял.

"Что такое" и "как задаются" — разные вещи.
Например, в теории мн-в "что такое мн-во" и "способы задания мн-в" — это, таки, немного разные вещи.


__>Т.е. "проблемы на вашей стороне"

Для пытающихся убежать от сути? — ес-но. ))


__>Если тебя интересует, что такое размерность пространства, то это мощность базиса.

Не прошло и пол-года.
А мог бы сразу по-делу говорить.

Сделаешь над собой усилие, ответишь на прямой вопрос прямо или что-то эдакое мешает, после всего сказанного?

Я бы объяснил перпендикулярность примерно так: "геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть срединный ПЕРПЕНДИКУЛЯР к отрезку, соединяющему эти точки".

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Не, ну это не серьёзно. Книжка должна быть по математике.

Это и есть книжка по математике. Или ты решил разыграть карту ненастоящего шотландца?

Q>>В электронном виде нет, только в бумажном, так что по'Ctrl+F'ить по нему не могу. Но насколько я его помню, оно подтвердит мою точку зрения: ортогональность там сквозная, параллельность — ну так, мимоходом.
__>Я помогу: 2 том, 4 глава.

Не очень понял, к чему это ты. Глава 4 «Аффинные и евклидовы точечные пространства». Да, там найдётся слово параллельный, было бы странно, если бы оно нигде не встретилось в главе про аффинные пространства. Но уже во втором параграфе этой главы автор переходит к евклидовым пространствам, вводит понятие прямоугольной системы координат и ортонормированного базиса (через скалярное произведение, естественно) и перпендикуляра к многомерной плоскости (чтобы задать кратчайшее расстояние от точки).

__>Это сильно устаревшее и узкое понимание математической физики. Сейчас математической физикой называют скорее всякие вопросы теории представлений, дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и т.п., имеющие некоторое отношение к формальным вопросам фундаментальных теорий с одной стороны, и некоторые слишком формальные вопросы теоретической физики, ну очень далёкие от эксперимента, как правило, связанные с физикой фундаментальных взаимодействий, с другой.

Так что уже, всё, гильбертовых пространств, ортонормированных базисов и ортогональных разложений там нет? Нормали к поверхностям хотя бы есть в твоей математической физике?

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Это да. Но проблема в том, что иначе фонтан агрессивного невежества заткнуть нельзя. См. анекдот про игру в шахматы с голубем :) Например, ты не способен воспринять глубокий аргумент. А про то, что есть какие-то акажемические круги знаешь.

Твои «академические круги» никого не впечатляют; монополии на знание математики у тебя нет, смирись.

К слову про «фонтан агрессивного невежества», напомни, из какого ты университета?