Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:
TB>>Соединяем отрезками А и Б крест накрест. К концу отрезка А прикладываем отрезок Б90 (он как отрезок Б только повернут ровно на 90). Соединяем вторые концы А и Б90 — получили одну сторону квадрата, остальные уже легко TB>>За минуту в уме решил
R>Как дополнение, можно задавать вопрос, в каких случаях задача будет иметь бесконечно много решений. Ответ простой — когда отрезки А и Б перпендикулярны. Легко доказать, что при этом они должны иметь одинаковую длину, ибо в противном случае решений нет вовсе.
Попытался на бумажке порисовать экстремальные случаи. Например, почти перпендикулярные отрезки очень разной длины. Получился очень маленький квадратик (вырождается в 0 для строго перпендикулярных отрезков), а изначальные точки не на самих сторонах, а очень далеко на продолжениях сторон. Считать ли это решением?
Нет такой подлости и мерзости, на которую бы не пошёл gcc ради бессмысленных 5% скорости в никому не нужном синтетическом тесте
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:
TB>Попытался на бумажке порисовать экстремальные случаи. Например, почти перпендикулярные отрезки очень разной длины. Получился очень маленький квадратик (вырождается в 0 для строго перпендикулярных отрезков), а изначальные точки не на самих сторонах, а очень далеко на продолжениях сторон. Считать ли это решением?
Всё зависит от строгости формулировки. Я бы ожидал, что точки должны принадлежать отрезкам, являющимся сторонами квадратов, а не лежать на их продолжениях.
Вот то видео на ютубе. Я, кстати сказать, так и не досмотрел его до конца, т.к. первый же вариант решения совпал с моим. Возможно, там дальше есть и твой вариант.
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали: TB>Соединяем отрезками А и Б крест накрест. К концу отрезка А прикладываем отрезок Б90 (он как отрезок Б только повернут ровно на 90). Соединяем вторые концы А и Б90 — получили одну сторону квадрата, остальные уже легко
Попытался построить сказанное — не выходит. Без эскиза не разобраться. Отрезок b брал горизонтальный — 3см, отрезок a начало — 1см вправо, 2см вверх от левой точки b; конец — 1см влево, 0.5 вниз от правой точки b.
Мое решение
Для произвольных 4 точек. Последовательные пары точек образуют прямоугольные треугольники с вершинами квадрата. Опираемся на диаметр. Середину гипотенузы геометрически находить тривиально. Дальше строим дуги с опорой на точки — получим четыре дуги. Они и задают множество решений. Произвольно выбираем первую точку и строим квадрат.
Здравствуйте, pva, Вы писали: pva>Попытался построить сказанное — не выходит. Без эскиза не разобраться. Отрезок b брал горизонтальный — 3см, отрезок a начало — 1см вправо, 2см вверх от левой точки b; конец — 1см влево, 0.5 вниз от правой точки b.
Предположу, что ты просто не те концы отрезков пытался совместить. Два отрезка, у каждого два конца и существует 4 варианта совмещения. Но только два из четырёх вариантов приводят к решению pva>
Мое решение
pva>Для произвольных 4 точек. Последовательные пары точек образуют прямоугольные треугольники с вершинами квадрата. Опираемся на диаметр. Середину гипотенузы геометрически находить тривиально. Дальше строим дуги с опорой на точки — получим четыре дуги. Они и задают множество решений. Произвольно выбираем первую точку и строим квадрат.
Рассуждения про прямоугольные треугольники, вписанные в окружности правильные. Но только описаанное решение подходит для тех случаев, когда задача имеет бесконечное число решений. Для случаев же, когда решение имеется единственное, произвольный выбор первой точки не катит.
--
Справедливость выше закона. А человечность выше справедливости.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Рассуждения про прямоугольные треугольники, вписанные в окружности правильные. Но только описаанное решение подходит для тех случаев, когда задача имеет бесконечное число решений. Для случаев же, когда решение имеется единственное, произвольный выбор первой точки не катит.
Да, я уже посмотрел видос и там в коментах есть такая же пропозиция. То что получится прямоугольник — очевидно. А вот то что он квадрат — совсем не факт. Спасибо за задачу.
Здравствуйте, pva, Вы писали:
R>>Рассуждения про прямоугольные треугольники, вписанные в окружности правильные. Но только описаанное решение подходит для тех случаев, когда задача имеет бесконечное число решений. Для случаев же, когда решение имеется единственное, произвольный выбор первой точки не катит. pva>Да, я уже посмотрел видос и там в коментах есть такая же пропозиция. То что получится прямоугольник — очевидно. А вот то что он квадрат — совсем не факт. Спасибо за задачу.
По поводу видоса, моё решение — это в точности первый вариант в видосе. Вот только как он это решение объясняет, мне не нравится. Он как бы берёт готовое решение и доказывает, что оно правильное, а самого хода рассуждений, которые приводят к этому решению, там нет, как таковых.
--
Справедливость выше закона. А человечность выше справедливости.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Предположу, что ты просто не те концы отрезков пытался совместить. Два отрезка, у каждого два конца и существует 4 варианта совмещения. Но только два из четырёх вариантов приводят к решению
Ну, вот эскиз. Что тут с чем соединить по итогу?
R>По поводу видоса, моё решение — это в точности первый вариант в видосе. Вот только как он это решение объясняет, мне не нравится. Он как бы берёт готовое решение и доказывает, что оно правильное, а самого хода рассуждений, которые приводят к этому решению, там нет, как таковых.
А ход рассуждений может быть примерно таким:
Сообразили про прямоугольные треугольники, вписанные в окружности, о которых ты упомянул выше.
Диагональ квадрата будет лежать на биссектриссах прямых углов противоположных треугольников. То есть, нам нужно найти такую пару противоположных треугольников, у которых биссектриссы прямых углов лягут на одну прямую.
Если взять произвольную окружность с проведенным диаметром и постоить на этом диаметре множество прямоугольных треугольников с вершинами по одну сторону от диаметра, то биссектриссы прямых углов этих треугольников пересекутся в одной точке. Эта точка лежит на противоположной дуге окружности на диаметре, перпендикулярном тому, который является общей гипотинузой для нашего множества прямоугольных треугольников. И прелесть в том, что эти точки мы можем найти сразу же, как только построим наши окружности.
Берем любую пару противоложных окружностей и находим на них точки, лежащие на диагонали квадрата. Если эти точки не совпадают, то мы сразу же получаем прямую, на которой лежит диагональ квадрата. Точки пересечения этой прямой с окружностями дают нам пару противоположных вершин квадрата. После этого стоим пару противоположных прямоугольных треугольников и следующим шагом получаем и весь квадрат.
Особый случай — когда противоположные окружности являются попарно касательными друг к другу. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. Произвольное решение из множества можно получить, проведя прямую через точку касания окружностей "наглазок". Пишу "наглазок", а не "произвольно", потому что там будет существовать определенный диапазон, при выходе из которого решений не существует.
--
Справедливость выше закона. А человечность выше справедливости.
Здравствуйте, pva, Вы писали:
pva>Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>>Предположу, что ты просто не те концы отрезков пытался совместить. Два отрезка, у каждого два конца и существует 4 варианта совмещения. Но только два из четырёх вариантов приводят к решению pva>Ну, вот эскиз. Что тут с чем соединить по итогу? pva>Image: photo_2025-08-25_13-02-26.jpg
Проводишь прямую через верхние концы нового отрезка и отрезка А.
Опускаещь перпендикуляры на эту прямую из концов отрезка B и получаешь сторону квадрата.
--
Справедливость выше закона. А человечность выше справедливости.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Проводишь прямую через верхние концы нового отрезка и отрезка А. R>Опускаещь перпендикуляры на эту прямую из концов отрезка B и получаешь сторону квадрата.
Да, это все красиво. Осталось понять насколько сложно это выполнимо при помощи циркуля и линейки. Транспортира же у нас нет.
Выполнимо, с парой дополнительных построений.
R>> Проводишь прямую через верхние концы нового отрезка и отрезка А. R>> Опускаещь перпендикуляры на эту прямую из концов отрезка B и получаешь сторону квадрата. R>>pva>Да, это все красиво. Осталось понять насколько сложно это выполнимо при помощи циркуля и линейки. Транспортира же у нас нет.
Ну там всего-то одна операция: провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точкую. Причём, тут даже не важно, лежит ли заданная точка на прямой, или вне неё — процедура одинаковая и легко выполняется при помощи циркуля и линейки:
Проводим окружность произвольного радиуса так, чтоб получить на прямой две точки пересечения.
Строим серединный перпендикуляр к полученному отрезку — также при помощи циркуля и линейки. (А для этого строим ещё пару пересекающихся окружностей одинакового радиуса с центрами в этих двух точках и через точки пересечения окружностей проводим прямую — это и будет искомый перпендикуляр.)
А, ну там будет ещё параллельный перенос отрезка. Это достигается двойным преобразованием, описанным выше.
--
Справедливость выше закона. А человечность выше справедливости.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>А, ну там будет ещё параллельный перенос отрезка. Это достигается двойным преобразованием, описанным выше.
Строим из точки дугу пересекающую прямую в двух точках и из них строим серединный перпендикуляр.
