Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

	Скрытый текст
	Значение на концах у исходной параболы и "инвертированной" совпадают, значит на концах модуль значения <= 1. Так как |c|<=1 то получаем, что никакая точка на середине отрезка [-1;1] не может отличаться от значений на концах больше чем на 1.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

y(x) = a*x*x + b*x + c
z(x) = c*x*x + b*x + a

k=a/c

y(x) = k*c*(x^2-1) + b*x + c + k*c
z(x) =   c*(x^2-1) + b*x + k*c + c

  |b| <= 1 - |k+1|*|c|
  |c| <= (1 - |b|) / |1+k|

|y(x)-z(x)| = |k-1|*|c|*|x^2-1| <= |k-1|*|c| <= |k-1|*(1-|b|) <= |k-1|/|k+1|*(1-|b|) <= |k-1|/|k+1| <= 1

|y(x)-z(x)| <= 1

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

Вот подробное доказательство чуть более общего факта ∀x∈real. |x| ≤ 1 ⇒ |x| ≤ 2 на Isabelle/HOL:

lemma abs_mono: "⋀x::real. abs x ≤ 1 ⟹ abs x ≤ 2"
proof -
  fix x::real
  assume alte1: "abs x ≤ 1"
  show "abs x ≤ 2"
  proof -
    from alte1 have "x ≤ 1" by simp
    from this have lte2: "x ≤ 2" by arith

    from alte1 have "-1 ≤ x" by simp
    from this have lte2m: "-2 ≤ x" by arith

    from lte2 and lte2m show "abs x ≤ 2" by arith
  qed
qed

Если уж действительное число оказалось в интервале, то оно находится и в интервале, содержащем исходный. При этом совершенно не важно, откуда мы это число взяли — вычислили по формуле, или нет.

Здравствуйте, Code Digger, Вы писали:

CD>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

CD>Вот подробное доказательство чуть более общего факта ∀x∈real. |x| ≤ 1 ⇒ |x| ≤ 2 на Isabelle/HOL:
...
CD>Если уж действительное число оказалось в интервале, то оно находится и в интервале, содержащем исходный. При этом совершенно не важно, откуда мы это число взяли — вычислили по формуле, или нет.
Тут разные функции. Вот пример:

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Code Digger, Вы писали:

CD>>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>>>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

CD>>Вот подробное доказательство чуть более общего факта ∀x∈real. |x| ≤ 1 ⇒ |x| ≤ 2 на Isabelle/HOL:
_>...
CD>>Если уж действительное число оказалось в интервале, то оно находится и в интервале, содержащем исходный. При этом совершенно не важно, откуда мы это число взяли — вычислили по формуле, или нет.
_>Тут разные функции. Вот пример:

_>Image: n0L6aZW.png

Так для синей функции сходу не выполняется "для любого x из отрезка [-1,1] |f(x)| ≤ 1" — о чём говорить?

Но я согласен, что для полного доказательства на самом деле нужно подключить одну из теорем Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке. Может, на досуге займусь...

Здравствуйте, Code Digger, Вы писали:



CD>Так для синей функции сходу не выполняется "для любого x из отрезка [-1,1] |f(x)| ≤ 1" — о чём говорить?
Так синяя функция не f(x) а g(x). Она построена по f(x) и для неё надо доказать что |g(x)|≤2 если из известно что |f(x)|≤1 на x ∈ [-1..1]

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

Ожидаемо, у этой штуки есть связь с общей теорией.

Вот скриншот из книги Бернштейна

.

Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

Так как |c|<=1 то получаем, что никакая

Вот это бы надо обосновать\доказать. Так как это не очевидно (мне, по крайней мере).

Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>

S>Так как |c|<=1 то получаем, что никакая

S>Вот это бы надо обосновать\доказать. Так как это не очевидно (мне, по крайней мере).
o_O

f(x)=a*x*x+b*x+c

f(0)=c
|f(x)|<=1 for any x in [-1..1]
=> |c|<=1

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:


S>>Вот это бы надо обосновать\доказать. Так как это не очевидно (мне, по крайней мере).
_>o_O
_>f(x)=a*x*x+b*x+c
_>f(0)=c
_>|f(x)|<=1 for any x in [-1..1]
_>=> |c|<=1

Нет-нет-нет, это самое очевидное. Я про середину отрезка и крайние точки, и их отличие на 1.

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Code Digger, Вы писали:

_>Image: n0L6aZW.png

CD>>Так для синей функции сходу не выполняется "для любого x из отрезка [-1,1] |f(x)| ≤ 1" — о чём говорить?
_>Так синяя функция не f(x) а g(x). Она построена по f(x) и для неё надо доказать что |g(x)|≤2 если из известно что |f(x)|≤1 на x ∈ [-1..1]

А, простите, невнимательно прочитал исходный вопрос...

Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>Нет-нет-нет, это самое очевидное. Я про середину отрезка и крайние точки, и их отличие на 1.

Ну я без картинок с трудом что-то объясню, ну типа хорда сильнее всего отклоняется от параболы ровно посередине. И когда хорда идёт от -1 до 1, то отклонение в середине хорды это ровно коэффициент при икс квадрат.

Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

TB>Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>>Нет-нет-нет, это самое очевидное. Я про середину отрезка и крайние точки, и их отличие на 1.

TB>Ну я без картинок с трудом что-то объясню, ну типа хорда сильнее всего отклоняется от параболы ровно посередине. И когда хорда идёт от -1 до 1, то отклонение в середине хорды это ровно коэффициент при икс квадрат.

Понятнее не стало. Я пытался алгебраически, когда взял мин. точку и подставил, получилось что-то
|-b^2 +4ac|/4|a| <= 1, для первого уравнения. Для второго вcе тоже самое |-b^2 +4ac|/4|c| <= q,
для какого-то q. В общем, надо еще какое-нибудь ограничение на a найти. Нер-во треугольника особой
пользы не принесло.

Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>Понятнее не стало.

Любую параболу F=c*x*x + b*x + a для любой хорды, проходящей через точки этой самой параболы (x0,y0) и (x1,y1) (где y0=F(x0), y1=F(x1)) можно представить как сумму линейной функции L, задающей эту хорду (то есть L(x0)=F(x0), L(x1)=F(x1)), и параболы G=(x-x0)*(x-x1)*c. Максимальное значение G принимает ровно в точке (x0+x1)/2 и оно равно c*sqr((x1-x0)/2)

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Даны действительные числа a,b,c такие что для любого x из отрезка [-1,1] выполняется: |a*x*x + b*x + c| <= 1.
C>Доказать, что для тех же x, | c*x*x + b*x + a | <= 2.

Решение:
Подставляя в исходное неравенство значения x = -1, 0, 1 получим:

| a - b + c | <= 1
| c | <= 1
| a + b + c | <= 1

Целевое выражение:

| c*x*x + b*x + a | <=
  <= |b*x| + | c*x*x + a |
  <= |b| + max( |c+a| , |a| )
  <= max( |b| + |c+a|,
          |b| + |a| )
  <= max( max( |c+a+b|,
               |c+a-b| ),
          max( |a+b|,
               |a-b| ) )
  <= max( |c+a+b|,
          |c+a-b|,
          |a+b+c|+|c|,
          |a-b+c|+|c| )
  <= max( 1,
          1,
          1+1,
          1+1) 
  <= 2
kl