К>Здравствуйте, UgN, Вы писали:
К>Когда цель движется по прямой — это не прикольно. Вот если хотя бы по синусоиде... (типа — противоракетный маневр).
К>Пожалуй, попробую сам — на эхеле.

Попытаюсь описать, что мне хотелось бы.

Жертва бегает по кругу радиуса R.
Хищник стартует из точки, отстоящей от центра круга на L.
Скорость хищника в A раз больше.

1) За какое время в среднем догонит жертву собака (бежит строго на жертву).
   Cреднее нужно потому что собаку можно спускать с поводка в разные моменты.

2) То же самое для волка (он смотрит на вектор скорости жертвы, 
   строит треугольник и бежит в точку предполагаемой встречи).

3) Я думаю, что для L>>R собака будет побеждать. А для L~R возможно волк. 

4) Если сделать мутанта (который бежит к середине отрезка между 
   текущим положением жертвы и точкой предполагаемой встречи) 
   Возможно он будет круче родителей.

5) Сделать супер-мутанта, чтоб бежал не к половине, 
   а к k-той доле отрезка. Найти оптимальное k. Как оно зависит от L/R ?

6) Сделать супер-пупер-мутанта, у которого k зависит от времени 
   (думаю вначале собака, в конце почти волк). Это будет та ещё зверюга :)

Может найдётся неленивый человек, который всё это сделает, а?

Привет, Pushkin!

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.
[]
P>4) Ну и наконец практическая задача (по заказу иракских ПВО ).
P>Если еж бежит быстрее ежихи, то за какое время он её догонит? (начальное расстояние и обе стороны даны, стартует по-прежнему в момент наибольшего сближения, держит курс строго на неё)

Ждал, я ждал ответа... Да видно позабыли все про этот четвертый пункт...

Вот достаточно простое решение:

Так же как и раньше поместим "ежа" в центр (0; 0), а "ежиху" изначально в координаты (1; 0).

Если "еж" летит со скоростью v, то, перейдя в систему координат с центром в "еже", можно считать, что "еж" стоит на месте, а "ежиха" летит, с одной стороны, со скоростью v вверх, с другой — со скоростью 1 к "ежу".
Рассмотрим проекцию скорости "ежихи" на ось r от "ежа" к ней и на ось y.

r' = vy/r — 1
y' = v — y/r

Заметим, что при v = 1 мы получим r' = -y', что соответствует задаче 3.

Далее (r + vy)' = v^2 — 1 или, с учетом начальных условий,

r = 1 — (1 — v^2)t — vy

Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:

t = 1 / (1 — v^2),

где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

В верности полученной формулы для частных случаев (v = +-1, v = 0, v > 1) предлагаю убедиться самостоятельно.

Так, при v = 0.5, т.е. когда "еж" летит в два раза быстрее "ежихи", t = 4/3.
Так что лететь сильно быстрее нет смысла (меньше, чем за t = 1 все равно не догонишь).



Спасибо.
Саддам.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:


A>Так же как и раньше поместим "ежа" в центр (0; 0), а "ежиху" изначально в координаты (1; 0).

A>Если "еж" летит со скоростью v, то, перейдя в систему координат с центром в "еже", можно считать, что "еж" стоит на месте, а "ежиха" летит, с одной стороны, со скоростью v вверх, с другой — со скоростью 1 к "ежу".
A>Рассмотрим проекцию скорости "ежихи" на ось r от "ежа" к ней и на ось y.

A>

A>r' = vy/r — 1
A>y' = v — y/r

A>Заметим, что при v = 1 мы получим r' = -y', что соответствует задаче 3.

A>Далее (r + vy)' = v^2 — 1 или, с учетом начальных условий,
A>

A>r = 1 — (1 — v^2)t — vy

A>Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:
A>

A>t = 1 / (1 — v^2),

A>где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

Обратим время в обратную сторону. Т.е. Ежиха бежит в противоположную строну, а еж убегает от ежихи.

Опуская промежуточные вычисления, получим, что если еж убегает от ежихи с половиной ее скорости, то он столкнется с ней через 1/(2^2-1) = 1/3

Это я к тому, что достижимость r = y = 0 надо бы доказать.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:


A>Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:
A>

A>t = 1 / (1 — v^2),

A>где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

Ну если скорость ежа положить единицей, то да.
А вообще-то нормальный ответ выглядит так

t= L * Vежа / (Vежа^2 - Vежихи^2)

Забавно, что это время равно среднему арифметическому между максимальным и минимальным возможным времени встречи. (Я не знаю почему).

Вот мой вывод (он опять же повторяет твой, но имхо проще)
Сначала скопируем картинку.

                 \
                   \      x  
                     \  ====== 
                 <- ежиха-----------------------------
                        \\   угол a    
                        r \\
                            \\

Расстояние r между ежами сокращается со скоростью Vежа-Vежихи*cos(a)
Расстояние x по оси ежихи растёт со скоростью Vежихи-Vежа*cos(a)
Значит сумма r*Vежа+x*Vежихи сокращается с постоянной скоростью Vежа^2-Vежихи^2
Значит время равно начальное значение этой суммы делить на скорость её сокращения.

Привет, MichaelP!

MP>... достижимость r = y = 0 надо бы доказать.

Для нашего случая |v|<1 она доказывается элементарно...

Если r > 0, то r' = vy/r — 1. |y| <= |r| по смыслу. Значит r'<0 всегда.
Следовательно r(t) убывает по t. r(t) >= 0.
Значит r(t) как непрерывная функция либо =0 в определенный момент (следовательно и y = 0), либо r(t) стремится к чему-то >= 0 сверху при t, стремящемся к бесконечности.
Но в последнем случае производная должна стремится к нулю, что в случае |v| < 1 невозможно.

P.S. Зато это происходит при |v|=1, и еж никогда не достигает расстояния 0.5, но стремится к нему...

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.

P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?

Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Здравствуйте, Cat, Вы писали:
Cat>Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Это почему же не встретятся?

Здравствуйте, Cat, Вы писали:

Cat>Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Встретятся, встретятся. За конечное время, совешив бесконечное число оборотов вокруг центра. Такие вот ежики гордые птицы

Задолбали все.
Ответы говорите, и концы в воду