Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
__>>Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь.
Q>Так это же прекрасно, скалярное произведение (и вытекающее понятие перпендикулярности) уже есть, а аффинного евклидова пространства ещё нет, оно просто не требуется для перпендикулярности. Это нечто более общее, чем школьная геометрия.
Или менее -- треугольников-то нет. Или почти такая же, но с отмеченной точкой, если рассматривать прямые, не являющиеся подпространствами.
Q>Так в том-то и дело, что само понятие – notion — ортогональности осмыслено и полезно даже на векторах (в смысле, элементах векторного пространства, не геометрических «школьных» векторах), не требуя точек и линий. И это уже позволяет формулировать содержательные утверждения и развивать на этой базе нетривиальные построения. Именно поэтому понятие ортогональности проникает почти во все разделы математики, оно универсально.
Меня за это агитировать не надо Под этими словами я подписываюсь. А аффинная геометрия -- тривиальная ерунда, специально учить которую особой необходимости нет. Но речь шла о ней, а не о советах школьнику, что почитать перед первым курсом.
Q>Именно это я имел в виду, когда написал исходный провокационный комментарий про «фундаментальность перпендикулярности», на который ты триггернулся выпадами про «агрессивное невежество».
Ну, мы вроде, поняли друг друга. Я триггернулся от рассказов "как оно на самом деле в математике бывает" после безапелляционных утверждений. Ещё раз повторю, что мои слова про "фундаментальность параллельности" касались того, что углы и длины из евклидовой геометрии можно убрать, и оcтанется значительная её часть со всякими теоремами Менелая, тогда как линейную структуру убрать нельзя. В этом смысле она (вместе с параллельностью) "более базисная" часть евклидовой геометрии, чем углы (вместе с перпендикулярностью). А не частотности слов в математических текстах в целом.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>А аффинная геометрия -- тривиальная ерунда, специально учить которую особой необходимости нет.
Программистам, кстати, полезно понимание аффинных пространств. Вот в каких сценариях.
1) Время. В некоторых слаботипизированных API моменты времени задаются секундами (с начала эпохи), в float. И интервалы времени задаются секундами, тоже float. И у неопытных программистов начинается чехарда с манипуляциями этими float'ами, с кучей ошибок и неразберихи. Потому что нет понимания, что это разные float'ы, которые в правильном API были бы разными типами. Можно из float-момента вычесть float-момент. Но при этом получается не float-момент, а float-длительность. А если к float-моменту прибавить float-момент, то получается float-ерунда. Как так-то, вычитать можно, а прибавлять нельзя? А прибавлять, кстати, тоже можно; только не float-момент, а float-длительность. И в результате получится float-момент. И так далее, идея понятна. Это пример аффинного пространства, «точки» тут — моменты времени, «векторы» тут — интервалы времени. Точки с точками складывать нельзя, но вычитать друг из друга можно, и так далее по чеклисту из определения аффинного пространства.
2) Собственно, пространство. Есть в API тип Point с компонентами x, y. И ровно точно так же устроенный тип Vector с такими же компонентами x, y. Зачем нам два одинаковых типа, непонятно; давайте везде для позиций пихать тип Vector, и для скоростей тоже, а Point не нужен, зачем только его добавили. Ещё и сложение Point'ов глупые авторы библиотеки забыли добавить, только вычитание почему-то оставили, как так-то?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Программистам, кстати, полезно понимание аффинных пространств. Вот в каких сценариях.
Хорошие примеры. Собственно, я не имел в виду, что незнание (аффинных пространств) -- сила. Но при нормальном понимании векторных, все факты о них воспринимаются: "А разговоров то было... Развели буквоедство на ровном месте". Поэтому ту же 4 главу 2 тома Кострикина читают меньше всего (я, например, не читал ).
Разобрались Капец, конечно, -- в реале пяти минут за глаза бы хватило.
А мне, например, относительно недавно, в хобби-проекте, потребовалось как-нибудь усреднять с разными весами значения наборов численных величин, когда каждому набору можно естественно сопоставить точку в векторном пространстве. Ну и барицентрические координаты затащили (подобно тому, как пиксели на текстурированном треугольнике закрашиваются). Не лучший пример, но зато про стандартную для аффинной геометрии конструкцию.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Гильберта почитай. Основания геометрии.
Q>Про его аксиоматику я знаю; но читал в пересказе, самого Гильберта читать не буду, извини.
Ну извини, если ты хочешь научиться понимать предмет, то без Гильберта -- никак.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Ну извини, если ты хочешь научиться понимать предмет, то без Гильберта -- никак.
Q>Какой именно предмет? Почему Гильберта, а не, скажем, Тарского?
Предмет называется "элементарная геометрия".
Это начало всех начал в математике.
Почему именно Гильберта.
Потому что именно Гильберт завершил работу, начатую Евклидом, по аксиоматизации геометрии.
Его работа является стандартом де-факто.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Vi2>А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?
Даже проще: по одной из прямых — сгибаем лист, чтобы он сложился пополам. Тогда вторая прямая распадается на два луча, которые полностью совпадут (смотрим лист на просвет). Можно даже иголкой лист попротыкать в нескольких точках вдоль любого из лучей, и увидеть, что "выходное отверстие" иголки всегда попадает на второй луч.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, meadow_meal, Вы писали:
_>>Симметрично — через скалярное произведение единичных направляющих векторов. Если оно равно 0, то прямые перпендикулярны, если 1 по модулю — то параллельны.
Q>И это правильный ответ, тред закрыт.
Гым-гым... Вспоминается анекдот про воздушный шар и программиста...
Ситуация: перед Вами ребёнок-дошкольник, надо ему объяснить сам факт перпендикулярности, без транспортира, скалярных произведений и аксиоматики Гильберта. Пока что лидирует вот эта ветка https://rsdn.org/forum/education/7458721.1
Здравствуйте, Mr.Delphist, Вы писали:
MD>Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>>Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>>>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>>>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Vi2>>А если развить таким образом: листочек с нарисованными перпендикулярными прямыми можно так свернуть, что одна прямая будет прямой, а вторая превратится в окружность, т.е. замкнётся?
MD>Даже проще: по одной из прямых — сгибаем лист, чтобы он сложился пополам. Тогда вторая прямая распадается на два луча, которые полностью совпадут (смотрим лист на просвет). Можно даже иголкой лист попротыкать в нескольких точках вдоль любого из лучей, и увидеть, что "выходное отверстие" иголки всегда попадает на второй луч.
Это называется французский метод (применяется во французских школах). Сложить листочек пополам.
Только таким способом объясняют не перпендикулярность, а что такое осевая симметрия.
Т.е. две точки листочка, которые таким способом совместились, на самом деле осе-симметричны.
Сворачивание листочков в цилиндр — это квазиобъяснение. Зачем тогда вообще какие-то формальные системы аксиом планиметрии, если всё равно потом доказывать на оригами?
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Потому что именно Гильберт завершил работу, начатую Евклидом, по аксиоматизации геометрии.
Q>Так ведь не завершил же, а в лучшем случае продолжил.
Да нет, завершил полностью.
Q>Расскажи, что там такого в первоисточнике, что непременно должно быть прочитано, и чего нет, скажем, в Википедии в статье про его аксиоматику?
Ну, есть разница между настоящим сексом и кратким рассказом о сексе.
Изучать математику по Википедии не стоит. Только по хорошим книжкам.
Что касается Гильберта. Ты можешь его не читать, но просто тогда не нужно с пеной у рта доказывать что-то, в чём ты явно не разбираешься.
Книга Гильберта показывает логическое устройство геометрии. Что из чего вытекает, что от чего зависит, а что не зависит.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Да нет, завершил полностью.
Тогда последователи не пытались бы сформулировать альтернативные аксиоматики с другими желаемыми свойствами.
Q>>Расскажи, что там такого в первоисточнике, что непременно должно быть прочитано, и чего нет, скажем, в Википедии в статье про его аксиоматику? Ш>Ну, есть разница между настоящим сексом и кратким рассказом о сексе.
То есть конкретики нет, только неуместные аналогии? А от чего ещё зависит восприятие этих аксиом, может, от цвета бумаги, на которой они напечатаны?
Ш>Что касается Гильберта. Ты можешь его не читать, но просто тогда не нужно с пеной у рта доказывать что-то, в чём ты явно не разбираешься.
А ты можешь сформулировать, что, по-твоему, я пытаюсь доказать?
Ш>Книга Гильберта показывает логическое устройство геометрии. Что из чего вытекает, что от чего зависит, а что не зависит.
Ты переоцениваешь значимость аксиоматики Гильберта в этой дискуссии, и в целом значимость для построения фундамента математики. В этом вопросе почти согласен с _vanger_: «Последнее -- человеческий способ (без 20 аксиом, на правильную формулировку которых потребовались тысячелетия и гений Гильберта, что говорит о неудачности аксиоматического языка для описания евклидовой геометрии) говорить о "школьной" евклидовой геометрии»
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Конкретно в этой ветке обсуждения топике имело смысл говорить о таких, к которым применимы "параллельность" и "ортогональность". __>Т.е. аффинные и евклидовы. А никакие не "нелинейные" и просто "пространства".
Дык, о чём и речь.
Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара (а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения.
В принципе, рядом QBit86 этот момент с тобой уже обсудил, т.е. вопрос исчерпан.
Введение параллельности и ортогональности независимое, посему мне этот спор и кажется глупым изначально.
V>>следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью. __>Это опять чушь. Но на этот раз, хотя бы, утверждение, которое можно распарсить и понять, что оно неверно. К примеру, размерность двойственного пространства к бесконечномерному строго больше.
Условия
неких линейных пространств, отличающихся только размерностью
недостаточно разве?
V>>Покажи мне в своём "каноническом базисе" то и другое. V>>Или только параллельность, коль на твой взгляд это более фундаментальное. __>А про связь линейного пространства с аффинным было в другой ветке.
Таки, речь о конкретно твоём примере.
Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос)
И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность?
__>По себе людей не судят. Топологические пространства и многообразия -- это базовый объект, на котором разворачивается движ в подавляющем количестве математики и физики. Соответственно, и кольца функций на них -- это то, что мозолит глаза большинству математиков и физиков. Но так как ты с этим не знаком, и ковыряешь свой узкий пятачок, то этого не понимаешь. Парадокс Блаба, фигли.
Тоже о чём и речь. ))
а не показывать, что конкретно ты "еще что-то знаешь" (С).
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Дык, о чём и речь. V>Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара
Снова ты говоришь о чём-то своём. Причём здесь какой-то базис? Было конкретное задание линейного пространства без упоминания слов "базис" и "ортогональность". С вопроса о чём эта ветка и началась. Выше ещё несколько примеров были, которые ты проигнорировал.
V>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?),
Нулевая и везде равная 1.
V>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения.
Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний. Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1); или, в некотором смысле, невозможно. Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно. Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
V>>>следует, что среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью, существует всего одно пространство с бесконечной размерностью. __>>Это опять чушь. Но на этот раз, хотя бы, утверждение, которое можно распарсить и понять, что оно неверно. К примеру, размерность двойственного пространства к бесконечномерному строго больше.
V>Условия V>
V>неких линейных пространств, отличающихся только размерностью
V>недостаточно разве?
Недостаточно для чего? Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
V>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос)
Как и куда угодно: аффинизация.
V>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность?
Да можно. Как и много чего другого. linux_дома.jpg
V>Ну как не зарисоваться...
Когда не знаешь, что такое линейное пространство и его размерность...
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Вместо придуманного способа задания базиса через ф-ии на поверхности шара __>Снова ты говоришь о чём-то своём. Причём здесь какой-то базис?
Чем тебе не нравится базис?
В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.
Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.
__>Было конкретное задание линейного пространства без упоминания слов "базис"
На базис хотел выйти я, ес-но, это видно уже по 3-му моему посту в этой подветке.
__>и "ортогональность".
Наверно потому что "ортогональность" означает кое-какие св-ва базиса (попарно для его элементов), не?
Не зря же даже в программировании есть выражение "да это ортогонально".
Думаю, ты хорошо в курсе, что значит это выражение.
V>>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), __>Нулевая и везде равная 1.
Всё? ))
V>>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения. __>Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний.
Объясни, в чём странность?
__>Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
"Нафиг не надо" — вкусовщина.
__>И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
Ну, для всего должна быть причина.
Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом.
__>И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1);
Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент.
__>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно.
Тут пролетарское чутье подвело.
"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо.
__>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
Численные методы уже отменили?
Я как-то это упустил. ))
V>>Условия V>>неких линейных пространств, отличающихся только размерностью V>>недостаточно разве? __>Недостаточно для чего?
Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством.
__>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
Ес-но разные. ))
Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга, поэтому аргумент тоже так себе, на любителя повыступать среди "голубей".
V>>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос) __>Как и куда угодно: аффинизация.
Интересует на конкретном примере.
И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить.
А то ты так долго формулировал, что это за ф-ии, как получаются из неких попарных 3D координат поверхности шара, но я так и не увидел примеров таких ф-ий, чтобы три координаты участвовали. Вернее шесть, у нас же попарность там, помнится, была?
V>>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность? __>Да можно. Как и много чего другого.
Да это было с самого начала понятно, хосподя, что правильный ответ определяется личным вкусом автора.
Жесть как она есть...
Сам факт влезания "учёного" в подобные обсуждения — это уже ой.
__>Когда не знаешь, что такое линейное пространство и его размерность...
Если знаю, что такое базис, знаю что такое размерность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Поэтому, любой, заявляющий что-то типа "я профессионально занимаюсь наукой", с вероятностью 90% является тем самым чернорабочим, пока не покажет в аргументации обратное. V>>Ты пока обратного не показал. __>И не собирался. И формат не тот, и парадокс Блаба.
Парадокс блабла он о том, что кто-то знает больше кого-то.
Но люди деляться на эти 10% и 90% не по этому признаку, бо часто которые на подхвате, знают в какой-то области больше руководителя (почти всегда так).
Разделение это идёт чаще по демонстрируемым повадкам, что ле.
Поэтому, одним доверяют принимать решения (или они сами их принимают и эти решения становятся заметны), а других необходимо направлять.
Мотивы твоего участия в подобных спорах стрёмные по самое нимогу, однако. ))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Чем тебе не нравится базис?
Тем, что ни при чём.
V>>>(а можно аналитический вид пары таких ф-ий, плиз?), __>>Нулевая и везде равная 1.
V>Всё? ))
Абцисса точки, при стандартном вложении в евклидово пространство. Ты опять непонятно чего хочешь.
V>>>достаточно было просто сказать, вот есть линейно-независимый базис, но на нём нет скалярного произведения. __>>Или вообще не произносить подобных странных словосочетаний.
V>Объясни, в чём странность?
Например, тем, что "масло масляное". То, что не в тему -- это уже привычно.
__>>Опять же, как говорилось выше, при желании, скалярное произведение можно ввести везде. Так что, в каком-то смысле, есть, но нафиг не надо.
V>"Нафиг не надо" — вкусовщина.
Нет. Ты опять, видимо, не понимаешь о чём речь.
__>>И главное, базис где? Ты, кажется, хочешь сказать: "А давайте задавать линейные пространства как линейные оболочки наборов линейно независимых векторов объемлющего пространства". Это вариант, но объемлющее пространство тоже откуда-то надо взять. Так что определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо.
V>Ну, для всего должна быть причина. V>Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом.
Очередная нераспарсиваемая ахинея.
__>>И даже при задании подпространства это или не обязательно: подпространство пар чисел (x, y), являющихся решением уравнения x + y = 0 и так нормально задано, без указания, что в качестве базиса там можно взять (1, -1);
V>Мде, сплошное изложение в духе "пролетарское чутьё подсказывает". )) V>Эдакий фирменный стиль.
V>Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент.
Причём здесь "аргумент", "чутьё"? Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство?
__>>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно.
V>Тут пролетарское чутье подвело. V>"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо.
Нет. Очень часто уравнение -- это и есть "решение".
__>>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах.
V>Численные методы уже отменили? V>Я как-то это упустил. ))
А выше на кой-то ляд аналитические выражения просил.
V>Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством.
Очередная бессмысленная фраза.
__>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры.
V>Ес-но разные. )) V>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга, поэтому аргумент тоже так себе, на любителя повыступать среди "голубей".
Что значит "выражать друг через друга"? Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). Это не так. Не уверен, что ты это понял.
V>>>Таки, речь о конкретно твоём примере. V>>>Т.е. как туда ввести параллельность? (это просто вопрос) __>>Как и куда угодно: аффинизация.
V>Интересует на конкретном примере. V>И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить.
Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
V>А то ты так долго формулировал,
Одно короткое предложение -- это никак не долго. Это ты долго тупил.
V>что это за ф-ии, как получаются из неких попарных 3D координат поверхности шара, но я так и не увидел примеров таких ф-ий, чтобы три координаты участвовали.
И продолжаешь тупить. Я не знаю, к чему эта неизвестно откуда взявшаяся ахинея. Ты снова говоришь сам с собой. Иногда чему-то радуешься.
V>Вернее шесть, у нас же попарность там, помнится, была?
Не было, конечно. Там вообще окружность была.
V>>>И, если можно ввести параллельность, почему нельзя ввести ортогональность? __>>Да можно. Как и много чего другого.
V>Да это было с самого начала понятно, хосподя, что правильный ответ определяется личным вкусом автора.
Ответ на что?
V>Если знаю, что такое базис, знаю что такое размерность.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
V>>Ну, для всего должна быть причина. V>>Т.е. что-то должно мешать удалить "избыточность описания" (если оно наличествует), и ограничиться каким-нить базисом. __>Очередная нераспарсиваемая ахинея.
Ну ты же утверждал, что "определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо".
Откуда ты взял "совершенно" и "необходимо", если это же пространство можно определить через базис?
V>>Конкретно в этом примере вид x=-y не так чтобы избыточен рядом с (1, -1), поэтому пролетарское чутьё подсказывает правильно, но в общем случае "чутьё" не аргумент. __>Причём здесь "аргумент", "чутьё"?
Потому что сплошная вкусовщина.
__>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство?
Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна.
Иначе бы ты не разбрасывался словами насчёт "совершенно" и "необходимо".
__>>>Рассмотрим, например, в пространстве гладких функций на прямой подпространство функций, являющихся решением диффура: f''''' + 3 f = 6 f'. Оно прекрасно задано и всего лишь пятимерно. V>>Тут пролетарское чутье подвело. V>>"Прекрасно заданным" это пространство было бы, если бы было определено решением диффура, а не уравнением, которое еще решать надо. __>Нет. Очень часто уравнение -- это и есть "решение".
Это смотря как задача стоит.
Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис.
Т.е. твоё замечание насчёт "часто" не релевантно собственному примеру.
__>>>Но даже при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится: характеристическое уравнение неразрешимо в радикалах. V>>Численные методы уже отменили? V>>Я как-то это упустил. )) __>А выше на кой-то ляд аналитические выражения просил.
Опять беготня или работа на публику, ХЗ.
Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы.
Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор.
V>>Для отбивания желания сравнивать с двойственным пространством. __>Очередная бессмысленная фраза.
Бессмысленным было сравнивать несравнимое.
__>>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры. V>>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга __>Что значит "выражать друг через друга"?
y=x2, x->oo пойдёт?
__>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма).
Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью".
V>>Интересует на конкретном примере. V>>И желательно исходный набор ф-ий в твоём гипотетическом примере, таки, расширить. __>Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
В твоём примере, таки, функциональное пространство.
Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере.
Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север".
V>>А то ты так долго формулировал, __>Одно короткое предложение -- это никак не долго.
z -- это точка на окружности. Очевидно, что, скажем, если {z_i} -- набор попарно различных точек, то функции f_i вида: f_i(z_i) = 1, f_i = 0 в остальных точках, линейно независимы.
Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия.
Сдаётся мне, что скалярное произведение тут уже определено, поэтому я не совсем понимаю, как этот пример демонстрирует линейное пространство без ортогональности.
Под этими словами я подписываюсь. А аффинная геометрия -- тривиальная ерунда, специально учить которую особой необходимости нет. Но речь шла о ней, а не о советах школьнику, что почитать перед первым курсом.
Капец, конечно, -- в реале пяти минут за глаза бы хватило.
