Человеческий разум очень ограничен. Похоже, что геометрия Лобачевского является объективной реальностью (она работает в физике на сверхбольших расстояниях), но человеческий разум её не способен вообразить.
Есть и гораздо более тяжёлые случаи. Вот меня на некоторых форумах считают фриком; я верю в реальность паранормальных и сверхъествественных явлений, православных и буддийских чудес и т.д. Мне кажется, всё это в принципе объяснимо. Но вот недавно я увидел в интернете такую хрень, что сутки плохо себя чувствовал. К счастью, такие страдания (от когнитивного диссонанса) довольно быстро заканчиваются.
Я слышал такую интерпретацию: человеческий разум подобен автомобилю; делая его всё более мощным, можно увеличивать его скорость, но он всё равно никогда не доедет до луны.
Несмотря на то, что мы не можем вообразить ту же геометрию Лобачевского, мы можем успешно изучать её свойства с помощью метода аналогий.
Здесь возникает вопрос – что такое вообще аналогии? Я хорошего ответа дать не могу, предлагаю два варианта:
1) Если мы интуитивно чувствуем, что что-то можно назвать словом “аналогия”,”метафора” – это и есть аналогия.
2) Поскольку аналогии позволяют делать предсказания, это может служить и критерием – если какая-то аналогия дала верные предсказания, значит она имеет право называться аналогией.
Далее я озвучу важную идею: количество аналогий может компенсировать качество.
Я уже писал, что много слабых аргументов могут в сумме превратиться в сильный, подобно тому как показания многих людей на суде превращаются в доказательство (если исключить возможность сговора). Здесь работает теорема сложения непроизвольных событий.
Приведу пример. Те, кто играют в компьютерные игры (стратегии), начинают немного понимать некоторые законы реальных войн. Скажем, в современных стратегиях часто работает правило “камень, ножницы и бумага”, которое можно перенести и на реальные ситуации. Классический пример: лучники эффективны против копейщиков, поскольку, пока те подойдут, лучники будут долго забрасывать их стрелами; кавалерия эффективна против лучников, поскольку быстро до них доберётся; а копейщики эффективны против кавалерии. Всё это тоже можно называть аналогиями (в широком смысле).
Приведу пример, как множество аналогий позволяют делать более достоверное предсказание. В большинстве стратегий обороняться легче, чем атаковать; это же работает и в реальных войнах (возможны исключения – например, в ядерной войне первым нападать может быть легче). Так вот, в разных стратегиях это правило реализуется по-разному: в одной обороняться легче за счёт эффекта “стены огня”; в других – обороняющаяся сторона имеет тактическую инициативу и может контратаковать там, где это наиболее выгодно; в третьих – атакующая сторона более уязвима для разных бомбардировок, т.к. она перемещается; в четвёртых – на своей территории снабжать войска легче. И т.д.
Теперь приведу пример, как с помощью аналогий можно изучать свойства той же геометрии Лобачевского. Я знаю четыре подходящие аналогии:
1) Внутренняя поверхность сферы.
Предположим, имеется поверхность сферы в трехмерном пространстве. Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве). Также между двумя точками можно провести линию по поверхности, как бы тень от первой прямой, если бы в центре сферы был источник света (и далее продолжить эту линию в обе стороны, чтобы получилась окружность на поверхности сферы).
Назовём эти абстракции соответственно “линия в первом смысле” и “линия во втором смысле”.
Теперь придумаем омоним – “прямая ” в кавычках, которая означает и то и то.
Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского:
Через заданную точкой можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.
2) Модель Пуанкаре
Назовём “прямой” в кавычках дугу окружности, перпендикулярную внешней поверхности круга (т.е. под каким углом эта дуга выходит из стенки круга, по таким же углом и входит в эту стенку; линия от центра круга до стенки делит эту дугу на две симметричные половины).
Назовём эти “прямые” “параллельными” в кавычках, если они не имеют общих точек.
Получаем “теорему”:
Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой”
3) Модель верхней полуплоскости
Назовём “прямыми” окружности, которые делятся пополам осью X.
4) Модель на гиперболоиде
В этой модели “линиями” называются области пересечения между гиперболоидом (поверхностью, образованной вращением гиперболы вокруг оси Z на рисунке) и плоскостями, проходящими через центр координат.
Теперь возьмём вторую и третью модель, и определим, какая в них должна быть сумма углов треугольника:
Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема:
K>Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема:
А ты в которой из геометрий считал эту сумму?
K>>Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема: S>А ты в которой из геометрий считал эту сумму?
Второй и третьей (модель Пуанкаре и модель верхней полуплоскости). Там на рисунках видно, что меньше 180.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>1) Внутренняя поверхность сферы. K>Предположим, имеется поверхность сферы в трехмерном пространстве. Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве). Также между двумя точками можно провести линию по поверхности, как бы тень от первой прямой, если бы в центре сферы был источник света (и далее продолжить эту линию в обе стороны, чтобы получилась окружность на поверхности сферы). K>Назовём эти абстракции соответственно “линия в первом смысле” и “линия во втором смысле”. K>Теперь придумаем омоним – “прямая ” в кавычках, которая означает и то и то. K>Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского: K>Через заданную точкой можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.
Чего-то я тут не понял. Как хоть одну параллельную линию провести? Они же все пересекаются на сфере.
Поверхность сферы имеет положительную кривизну, там сумма углов больше 180, это не то, что у Лобачевского.
K>Несмотря на то, что мы не можем вообразить ту же геометрию Лобачевского, мы можем успешно изучать её свойства с помощью метода аналогий. K>Здесь возникает вопрос – что такое вообще аналогии?
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
DM>Чего-то я тут не понял. Как хоть одну параллельную линию провести? Они же все пересекаются на сфере.
Почему пересекаются? Разве пересекаются параллели Земли (линии, параллельные экватору)?
DM>Поверхность сферы имеет положительную кривизну, там сумма углов больше 180, это не то, что у Лобачевского.
Правда больше 180? Это печально...
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
DM>>Чего-то я тут не понял. Как хоть одну параллельную линию провести? Они же все пересекаются на сфере. K>Почему пересекаются? Разве пересекаются параллели Земли (линии, параллельные экватору)?
Параллели Земли — не прямые в этом смысле, их не получить описанным вами же способом.
Непосредственный аналог прямой на сфере — это геодезическая, "большой круг". Такие, как меридианы, как экватор. И они все пересекаются.
DM>>Поверхность сферы имеет положительную кривизну, там сумма углов больше 180, это не то, что у Лобачевского.
K>Правда больше 180? Это печально...
Правда. Как классический пример — треугольник, составленный из двух перпендикулярных меридианов и экватора. У него все углы прямые, сумма 270. У других треугольников сумма может быть меньше, и у маленьких будет приближаться к 180, но все равно всегда чуть больше 180 будет.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>>>Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема: S>>А ты в которой из геометрий считал эту сумму? K>Второй и третьей (модель Пуанкаре и модель верхней полуплоскости). Там на рисунках видно, что меньше 180.
На рисунках этого не видно, кмк....
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
K>>Правда больше 180? Это печально...
DM>Правда. Как классический пример — треугольник, составленный из двух перпендикулярных меридианов и экватора. У него все углы прямые, сумма 270. У других треугольников сумма может быть меньше, и у маленьких будет приближаться к 180, но все равно всегда чуть больше 180 будет.
Любая аналогия даёт какие-то правильные предсказания, и какие-то неправильные. Чем "сильнее" (ближе) аналогия, тем больше процент правильных предсказаний.
Можно взять в качестве примера аналогию между атомом и солнечной системой. Она позволяет предсказать, что если кинетическая энергия электрона будет достаточно высокой, он улетит от ядра на бесконечность. С другой стороны, из этой аналогии следует неправильное предсказание, что электрон должен излучать энергию и постепенно падать на ядро.
Как я уже написал, количество аналогий может компенсировать качество. В исходном посту приведено 4 аналогии, из них две или скорее всего три предсказывают, что сумма углов меньше 180, и всего одна (первая) — что больше 180. Поэтому в целом эти аналогии предсказывают свойства геометрии Лобачевского.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
K>>>>Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема: S>>>А ты в которой из геометрий считал эту сумму? K>>Второй и третьей (модель Пуанкаре и модель верхней полуплоскости). Там на рисунках видно, что меньше 180. S>На рисунках этого не видно, кмк....
Вы смотрите невнимательно (последние рисунки с красными углами).
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>>>>>Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов. Действительно, в геометрии Лобачевского есть такая теорема: S>>>>А ты в которой из геометрий считал эту сумму? K>>>Второй и третьей (модель Пуанкаре и модель верхней полуплоскости). Там на рисунках видно, что меньше 180. S>>На рисунках этого не видно, кмк.... K>Вы смотрите невнимательно (последние рисунки с красными углами).
А ты случаем не оперируешь евклидовой геометрией, считая углы, которые нарисованы в проекции неевклидовой на евклидовую?
Здравствуйте, Sheridan, Вы писали:
K>>Вы смотрите невнимательно (последние рисунки с красными углами). S>А ты случаем не оперируешь евклидовой геометрией, считая углы, которые нарисованы в проекции неевклидовой на евклидовую?
Не понял вопрос. Все четыре модели естественно подразумевают эвклидову геометрию.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Но вот недавно я увидел в интернете такую хрень, что сутки плохо себя чувствовал. К счастью, такие страдания (от когнитивного диссонанса) довольно быстро заканчиваются.
Самое главное забыл: где ссылка на хрень?
Нет такого преступления, на которое не пошло бы суверенное родоплеменное быдло ради продления своего бессмысленного рода и распространения своего бессмысленного генома.
Здравствуйте, anonymouse2, Вы писали:
A>Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>>Но вот недавно я увидел в интернете такую хрень, что сутки плохо себя чувствовал. К счастью, такие страдания (от когнитивного диссонанса) довольно быстро заканчиваются.
A>Самое главное забыл: где ссылка на хрень?
Я уже достаточно натерпелся, когда постил то, что большинство считает лженаукой, ток что лучше воздержусь.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
A>>Самое главное забыл: где ссылка на хрень? K>Я уже достаточно натерпелся, когда постил то, что большинство считает лженаукой, ток что лучше воздержусь.
Ну не стоит воспринимать это так близко к сердцу Я тоже могу запостить что-то что большинство при прямой подаче "в лоб" посчитает лженаукой. Но в отличие от большинства тех кто постит такое, я не утверждаю абсолютной истинности того что я пишу, и тем более ложность официальной науки. А просто предлагаю некую интеллектуальную игру, приятную для пытливого любознательного разума. Все аналогии умозрительны, все рассуждения — не более чем рассуждения, и не стоит ожидать от них большего.
Нет такого преступления, на которое не пошло бы суверенное родоплеменное быдло ради продления своего бессмысленного рода и распространения своего бессмысленного генома.
K>Человеческий разум очень ограничен. Похоже, что геометрия Лобачевского является объективной реальностью (она работает в физике на сверхбольших расстояниях), но человеческий разум её не способен вообразить.
Это сильно зависит от человека. Что значит "вообразить"? А гильбертово пространство Вы можете "вообразить"?
