Здравствуйте, Bigger, Вы писали:

B>Читая эту ветку, думал что уже легализовали :shuffle:



Как видишь всем и своей дури хватает

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>2) единица: mul(a, 1) = mul(1, a) = a

Вот она, лопата всего спора. Такая структура как кольцо (впрочем как и определение дистрибутивности) не предполагает по умолчанию наличия единицы!
"2) единица: mul(a, 1) = mul(1, a) = a "
есть лишь определение единица в кольце.

Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:

AD>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>>2) единица: mul(a, 1) = mul(1, a) = a

AD>Вот она, лопата всего спора. Такая структура как кольцо (впрочем как и определение дистрибутивности) не предполагает по умолчанию наличия единицы!
AD>"2) единица: mul(a, 1) = mul(1, a) = a "
AD>есть лишь определение единица в кольце.

Всё правильно, но, пардон, ежели нет единицы, то откуда взять двойку? У меня было определение: 2 = sum(1, 1), а теперь единицу "изъяли из обращения", её больше нет, значит и двойки тоже нет, и тройки нет, и четвёрки нет,... значит соотношения 2 * 2 и 2 + 2 смысла не имеют, так как двойки нету.

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>Всё правильно, но, пардон, ежели нет единицы, то откуда взять двойку? У меня было определение: 2 = sum(1, 1), а теперь единицу "изъяли из обращения", её больше нет, значит и двойки тоже нет, и тройки нет, и четвёрки нет,... значит соотношения 2 * 2 и 2 + 2 смысла не имеют, так как двойки нету.

Нее, 1 есть. Просто она не обладает свойством единицы Поясню.
Опр: Единицой кольца называется элемент е, такой, что для любого a из кольцы a*e=e*a=a. Так вот. В описанном кольце такого элемента е нет

Придумался пример поля, в котором 2*2!=4.
Возьмём Z/7. + обычное. * есть обычное умножение, но с дополнительным умножением на обратимый элемент , например на 3. Получаем. [2*2]=[2*2*3]=[12]=[5]. Т.е. 2*2=5. ([a] есть класс вычетов по mod 7).

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, Bigger, Вы писали:

B>>Читая эту ветку, думал что уже легализовали :shuffle:

E>

E>Как видишь всем и своей дури хватает
Я, кстати, на днях курить бросил

Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:


E>>Как видишь всем и своей дури хватает
AD>Я, кстати, на днях курить бросил

Анашу?

Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:

AD>Опр: Единицой кольца называется элемент е, такой, что для любого a из кольцы a*e=e*a=a. Так вот. В описанном кольце такого элемента е нет

Раз нет элемента единица, то нету и элемента двойка = sum(единица, единица).

AD>Придумался пример поля, в котором 2*2!=4.
AD>Возьмём Z/7. + обычное. * есть обычное умножение, но с дополнительным умножением на обратимый элемент , например на 3. Получаем. [2*2]=[2*2*3]=[12]=[5]. Т.е. 2*2=5. ([a] есть класс вычетов по mod 7).

Давайте разберёмся. С одной стороны должно быть:

mul(a, единица) = a mod 7,

с другой стороны Вы определили умножение как обычное числовое умножение с доумножением на 3, тогда имеем:

mul(a, единица) = (3 * единица * a) mod 7.

Получаем уравнения для нахождения единицы:

a = (3 * единица * a) mod 7, для любого a = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

то есть:

0 = 0
1 = ( 3 * единица) mod 7
2 = ( 6 * единица) mod 7
3 = ( 9 * единица) mod 7
4 = (12 * единица) mod 7
5 = (15 * единица) mod 7
6 = (18 * единица) mod 7

Отсюда получаем, что единица = 5. При таким образом заданном умножении роль единицы играет число 5. Теперь вычислим, какие числа играют роль двойки, тройки, четверки и т.д. Получаем:

единица  = 5
двойка   = sum(единица,  единица) = (5 + 5) mod 7 = 3;
тройка   = sum(двойка,   единица) = (3 + 5) mod 7 = 1;
четверка = sum(тройка,   единица) = (1 + 5) mod 7 = 6;
пятерка  = sum(четверка, единица) = (6 + 5) mod 7 = 4;
шестерка = sum(пятерка,  единица) = (4 + 5) mod 7 = 2;
семерка  = sum(шестерка, единица) = (2 + 5) mod 7 = 0, семерка mod 7 есть 0;

Итак, вырисовывается следующая картина:

ноль     = 0;
единица  = 5;
двойка   = 3;
тройка   = 1;
четверка = 6;
пятерка  = 4;
шестерка = 2;

Вычислим чему равно дважды два и чему равно два плюс два:

mul(двойка, двойка) = 3*3*3 mod 7 = 6 = четверка
sum(двойка, двойка) = (3 + 3) mod 7 = 6 mod 7 = 6 = четверка

То есть как ни крути, а от соотношения mul(двойка, двойка) = sum(двойка, двойка) = четверка никуда не денешься!

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:


E>>>Как видишь всем и своей дури хватает
AD>>Я, кстати, на днях курить бросил

E>Анашу?
Табак.
План я никогда не брошу,
Потому что он хороший...

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:
СГ>То есть как ни крути, а от соотношения mul(двойка, двойка) = sum(двойка, двойка) = четверка никуда не денешься!
Так, я начинаю понимать, зачем мне эту бодягу несколько лет впихивали в институте. По-сырому это не пойдёт.
В описанном поле Z/7 есть элементы 1,2,3,4,5,6 и 0.
Есть элемент 2=sum(1,1).
Ест операция множения (кратко определение: операция — отображение!),определённая выше. Получаем, что единицей данного поля является элемент 5, а элемент 1 не является ни фига единицей. Вот так-то.
Вообще говоря ни один из этих элементов и не является и тем, что вы называете числами 1,2,3 и т.д., т.к. это классы вычетов по модулю 7!

В приведённом мною выше примере я биективно отобразил Z/7 саму в себя. При этом операцией умножения на новом кольце я назвал естественным образом композицию старой операции умножения и пременённого мною отображения. Вы же отобразили всё обратно.
PS: Я конечно понимаю, дико осознавать, что 1 не всегда есть единица, но это так...

структура, где 2*2=1:
кольцо классов вычетов по модулю 3.
более того, если не ошибаюсь это будет даже поле, ибо 3- простое число

Сергей Губанов wrote:
> Вот, разлюбопытствовался, сейчас посмотрел у Ленга... Таки не кольцо
> это. В кольце умножение ассоциативное, а у меня условия ассоциативности
> на умножение не накладывается. У меня mul(X, mul(Y, Z)) и mul(mul(X, Y),
Так это дело вкуса. Вот Винберг — дабы не плодить сущностей — вводит
кольцо, а потом пишет "далее в этой главе под кольцом подразумевается
коммутативное ассоциативное кольцо с единицей".
> Z), вообще говоря, не обязаны быть равны друг другу. Так что (доказанное
> мной) равенство:
>
> mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1)
>
> справедливо в более "строгой" структуре чем кольцо и уж тем более чем
> поле, т.е. справедливо для всех колец и тем более для всех полей.
Так что можно сказать, что верно оно ровно для всех колец.

eugy wrote:
> структура, где 2*2=1:
> кольцо классов вычетов по модулю 3.
> более того, если не ошибаюсь это будет даже поле, ибо 3- простое число
Да. Не ошибаетесь.
Но Вы либо не можете писать 4 в этой структуре, либо 4=1 (mod 3).

Сергей Губанов wrote:
>> >>> ? Так ведь если кто-то заявит, что 2*2=5, глядишь, целая дискуссия
>> >>> начнется на эту тему
>
> C>>>А что, при желании можно придумать алгебраическую структуру, где это
> C>>>будет именно так
>
> СГ>>Нельзя придумать.
>
> M>*Доказательство в студию.*
>
> Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.

В общем-то доказательство построено на определении 4. И так как четыре
почти всегда так и определено, то оно почти всегда применимо. Все
примеры типа "возьмём произвольные элементы, определим произвольную
операцию, а среди элементов случайно окажутся 2, 4 и 5" мне лично не
нравятся. Там 2, 4 и 5 никак не связаны с происходящим (или почти
никак), а в исходном доказательстве была связь. Вопрос "а что такое 4"
эти примеры не освещали. Доказательство же этот вопрос предполагало
решённым естественным образом.
Пример, скорее, надо искать в другом определении 4. Например, у Конвея
был ввод умножения на полугрупе ординалов по сложению по принципу
простоты. Там 2*2=0!=4.