Начало здесь

Автор: moudrick
Дата: 16.06.05

.

Здравствуйте, moudrick, Вы писали:

M>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>>Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

>>>> ? Так ведь если кто-то заявит, что 2*2=5, глядишь, целая дискуссия
>>>> начнется на эту тему

C>>>А что, при желании можно придумать алгебраическую структуру, где это
C>>>будет именно так

СГ>>Нельзя придумать.

M>Доказательство в студию.

Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.

По определению, любая функция умножения mul(X, Y) линейна по первому и по второму аргументам:

mul(X, Y + Z) = mul(X, Y) + mul(X, Z);
mul(X +Y, Z) = mul(X, Z) + mul(Y, Z);

Дополнительно к этому, любая функция умножения будучи применённая к 0 и 1, по определению, даёт следующие результаты:

mul(X, 0) = mul(0, X) = 0;
mul(X, 1) = mul(1, X) = X;

Ну, а теперь докажем, что mul(2, 2) = 4.

mul(2, 2) = mul(2, 1 + 1) = mul(2, 1) + mul(2, 1) = 2 + 2 = 4

Сергей Губанов wrote:

>>>>> ? Так ведь если кто-то заявит, что 2*2=5, глядишь, целая дискуссия
>>>>> начнется на эту тему
> C>>>А что, при желании можно придумать алгебраическую структуру, где это
> C>>>будет именно так
> СГ>>Нельзя придумать.
> M>*Доказательство в студию.*
> Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.

Вы предполагаете, что "+" будет иметь обычную семантику, а это не так
(то есть 3+1 может быть не равно 4).

Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У
меня может быть просто группа с операцией умножения.

--
С уважением,
Alex Besogonov (alexy@izh.com)

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.

Некорректный подход. 2*2=4 в кольце целых чисел равно 4 по определению операуии умножения. А вот доказать, что нет такой структуры, в которой 2*2=5 Вы пока не смогли

Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:

AD>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>>Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.

AD>Некорректный подход. 2*2=4 в кольце целых чисел равно 4 по определению операуии умножения. А вот доказать, что нет такой структуры, в которой 2*2=5 Вы пока не смогли

ну 2*2=10 или 2*2=11 это просто, а вот как 5 получить не меняя операцию умножения?

Здравствуйте, Pyromancer, Вы писали:

P>ну 2*2=10 или 2*2=11 это просто, а вот как 5 получить не меняя операцию умножения?
Что значит не меняя операцию? Группоидом называется множество с заданной на НЁМ операцией. Соот-но, если мы меняем мн-во, то и операция всегда меняется...
Для конечных множеств операции можно легко представлять таблицами Кели. Отсюда и пляшите.
PS: насколько я помню, не всякую таблицу Кели можно представить формулой...

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Вы предполагаете, что "+" будет иметь обычную семантику, а это не так
C>(то есть 3+1 может быть не равно 4).

А что, с функцией сложения sum(X, Y) всё более-менее аналогично:

симметричность (коммутативность): sum(X, Y) = sum(Y, X);
ассоциативность: sum(X, sum(Y, Z)) = sum(sum(X, Y), Z);
нулевой элемент: sum(X, 0) = X

далее фиксируем единичный элемент 1 (такой что mul(X, 1) = mul(1, X) = X) и вводим краткие обозначения для следующих сумм:
2 = (by definition) = sum(1, 1);
3 = (by definition) = sum(2, 1) = sum(sum(1, 1), 1) = sum(1, sum(1, 1));
4 = (by definition) = sum(3, 1) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) = ...
...

C>Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У
C>меня может быть просто группа с операцией умножения.

У Вас группа, а у меня алгебра. В алгебре есть операции сложения sum(X, Y) и умножения mul(X, Y), а также нулевой 0 и единичный 1 элементы. Смысл элемента обозначаемого иероглифом "4" в том что он является кратким обозначением величины sum(sum(sum(1, 1), 1), 1).

Итого:

mul(2, 2) = mul(2, sum(1, 1)) = sum(mul(2, 1), mul(2, 1)) = sum(2, 2) = sum(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) = 4

А если у Вас просто группа с умножением, но без сложения, то как Вы дадите определение для 4?

Сергей Губанов wrote:

> далее фиксируем единичный элемент 1 (такой что mul(X, 1) = mul(1, X) =
> X) и вводим краткие обозначения для следующих сумм:
> 2 = (by definition) = sum(1, 1);
> 3 = (by definition) = sum(2, 1) = sum(sum(1, 1), 1) = sum(1, sum(1, 1));
> 4 = (by definition) = sum(3, 1) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) = ...

А если изменю определение числа 5? Например, у меня будет 5=3+1, а
4=3+2. Если при этом я корректно изменю все законы сложения — то у меня
все будет вполне корректно задано.

> C>Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У
> C>меня может быть просто группа с операцией умножения.
> У Вас группа, а у меня алгебра. В алгебре есть операции сложения
> sum(X, Y) и умножения mul(X, Y), а также нулевой 0 и единичный 1 элементы.

Это не алгебра, а алгебраическая структура под названием "кольцо".
Вероятно, вы хотите мне доказать, что в любом поле (то есть
коммутативном кольце) 2*2=4. Это занятие бессмысленное — я точно знаю,
что нужная мне поле есть

> Смысл элемента обозначаемого иероглифом "4" в том что он является
> кратким обозначением величины sum(sum(sum(1, 1), 1), 1).

Ничуть. Число 4 значит лишь, что это число 4. А определить я его могу
как угодно.

> А если у Вас просто группа с умножением, но без сложения, то как Вы
> дадите определение для 4?

В группе вообще определена только одна операция. Самым простым способом
определения числа 4 в моей группе будет построение биекции на группу
рациональных чисел. Кодт это уже проделал.

--
С уважением,
Alex Besogonov (alexy@izh.com)

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>А если изменю определение числа 5? Например, у меня будет 5=3+1, а 4=3+2.

Ну, таким-то способом Вы сможете сделать всё что угодно Это не спортивно...

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Это не алгебра, а алгебраическая структура под названием "кольцо".
C>Вероятно, вы хотите мне доказать, что в любом поле (то есть
C>коммутативном кольце) 2*2=4. Это занятие бессмысленное — я точно знаю,
C>что нужная мне поле есть

Вот, разлюбопытствовался, сейчас посмотрел у Ленга... Таки не кольцо это. В кольце умножение ассоциативное, а у меня условия ассоциативности на умножение не накладывается. У меня mul(X, mul(Y, Z)) и mul(mul(X, Y), Z), вообще говоря, не обязаны быть равны друг другу. Так что (доказанное мной) равенство:

mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1)

справедливо в более "строгой" структуре чем кольцо и уж тем более чем поле, т.е. справедливо для всех колец и тем более для всех полей.

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>mul(2, 2) = mul(2, 1 + 1) = mul(2, 1) + mul(2, 1) = 2 + 2 = 4

Теперь доказывай что 2 + 2 = 4.
Потому как 2 + 2 = 0 / mod(4)

Здравствуйте Сергей Губанов, Вы писали :
> mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1)

И каким образом это будет работать, например, над полем остатков деления
на 2????

> справедливо в более "строгой" структуре чем кольцо и уж тем более чем
> поле, т.е. справедливо для всех колец и тем более для всех полей.

А потом в rsdn.job идут споры, нафига нужна вышка программеру...

Ромашка wrote:

>> mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1)
> И каким образом это будет работать, например, над полем остатков деления
> на 2????

Но-но! Остатки деления на N образуют кольцо ("кольцо вычетов по классу
N"), а не поле.

Хотя с общей идеей согласен

--
С уважением,
Alex Besogonov (alexy@izh.com)

Здравствуйте Cyberax, Вы писали :
> Но-но! Остатки деления на N образуют кольцо ("кольцо вычетов по классу
> N"), а не поле.

Не помню. И терзают смутные сомнения, что mod(2) и не кольцо вовсе.
Нужно ка-то освежить память.....

Здравствуйте Ромашка, Вы писали :
>> Но-но! Остатки деления на N образуют кольцо ("кольцо вычетов по классу
>> N"), а не поле.
>
> Не помню. И терзают смутные сомнения, что mod(2) и не кольцо вовсе.
> Нужно ка-то освежить память.....

Освежил.
Остатки деления на N образуют поле, если N -- простое число. Двойка поле
не образует, хотя и простое число, не помню почему. Блин, как давно все
было....

Здравствуйте, Ромашка, Вы писали:
P>Освежил.
Р>Остатки деления на N образуют поле, если N -- простое число. Двойка поле
Р>не образует, хотя и простое число, не помню почему. Блин, как давно все
Р>было....
Ага, двойка вам.
Поле — коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
А теперь прошу обосновать, почему это Z/2 не поле?

Здравствуйте, Ромашка, Вы писали:

Р>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>>mul(2, 2) = mul(2, 1 + 1) = mul(2, 1) + mul(2, 1) = 2 + 2 = 4

Р>Теперь доказывай что 2 + 2 = 4.
Р>Потому как 2 + 2 = 0 / mod(4)
Р>
Не пожходит
2+2=0(mod 4), а 4=0(mod 4) => 2+2=4 (mod 4).

Коллеги, я вас наверное удивлю, если скажу, что есть структуры, где 2+2=4, а 2*2!=4.

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

skip

Читая эту ветку, думал что уже легализовали :shuffle:

Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:

AD>Коллеги, я вас наверное удивлю, если скажу, что есть структуры, где 2+2=4, а 2*2!=4.

Конечно удивите, потому как mul(2, 2) = sum(2, 2), где 2 = sum(1, 1).
С нетерпением ждём удивлений.

P. S.
Еще раз...

sum:
1) коммутативность: sum(a, b) = sum(b, a)
2) ассоциативность: sum(a, sum(b, c)) = sum(sum(a, b), c)
3) ноль: sum(a, 0) = a

mul:
1) дистрибутивность(линейность по каждому аргументу):
mul(a, sum(b, c)) = sum(mul(a, b), mul(a, c))
mul(sum(a, b), c) = sum(mul(a, c), mul(b, c))
2) единица: mul(a, 1) = mul(1, a) = a
3) ноль: mul(a, 0) = mul(0, a) = 0


Используя только лишь ассоциативность суммы и дистрибутивность умножения, а также определение единицы и двойки как 2 = sum(1, 1), получаем:

mul(2, 2) = mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(mul(sum(1, 1), 1), mul(sum(1, 1), 1)) = sum(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(2, 2).

Так что в той структуре, о которой Вы говорите, либо сумма не ассоциативна, либо умножение не дистрибутивно. Но что это тогда за сумма такая если она не ассоциативна и что это тогда за умножение такое если оно не дистрибутивно? Это никакие тогда не суммы и не умножения, а какие-то другие операции, которые стоило бы называть подругому.

Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:

СГ>Так что в той структуре, о которой Вы говорите, либо сумма не ассоциативна, либо умножение не дистрибутивно. Но что это тогда за сумма такая если она не ассоциативна и что это тогда за умножение такое если оно не дистрибутивно? Это никакие тогда не суммы и не умножения, а какие-то другие операции, которые стоило бы называть подругому.

Возьмём кольцо (Z;+,*), (Z;+) — обычная абелева группа. * — оперция нулевого умножения, т.е. для любых a и b a*b=0. Тогда выполняется и ассоциативность, и дистрибутивность + от-но *.