Здравствуйте, moudrick, Вы писали:
M>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:
СГ>>Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
>>>> ? Так ведь если кто-то заявит, что 2*2=5, глядишь, целая дискуссия >>>> начнется на эту тему
C>>>А что, при желании можно придумать алгебраическую структуру, где это C>>>будет именно так
СГ>>Нельзя придумать.
M>Доказательство в студию.
Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.
По определению, любая функция умножения mul(X, Y) линейна по первому и по второму аргументам:
Сергей Губанов wrote:
>>>>> ? Так ведь если кто-то заявит, что 2*2=5, глядишь, целая дискуссия >>>>> начнется на эту тему > C>>>А что, при желании можно придумать алгебраическую структуру, где это > C>>>будет именно так > СГ>>Нельзя придумать. > M>*Доказательство в студию.* > Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.
Вы предполагаете, что "+" будет иметь обычную семантику, а это не так
(то есть 3+1 может быть не равно 4).
Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У
меня может быть просто группа с операцией умножения.
Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:
СГ>Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.
Некорректный подход. 2*2=4 в кольце целых чисел равно 4 по определению операуии умножения. А вот доказать, что нет такой структуры, в которой 2*2=5 Вы пока не смогли
Здравствуйте, andrey.def, Вы писали:
AD>Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:
СГ>>Хорошо. Вот доказательство того что 2*2 = 4.
AD>Некорректный подход. 2*2=4 в кольце целых чисел равно 4 по определению операуии умножения. А вот доказать, что нет такой структуры, в которой 2*2=5 Вы пока не смогли
ну 2*2=10 или 2*2=11 это просто, а вот как 5 получить не меняя операцию умножения?
Здравствуйте, Pyromancer, Вы писали:
P>ну 2*2=10 или 2*2=11 это просто, а вот как 5 получить не меняя операцию умножения?
Что значит не меняя операцию? Группоидом называется множество с заданной на НЁМ операцией. Соот-но, если мы меняем мн-во, то и операция всегда меняется...
Для конечных множеств операции можно легко представлять таблицами Кели. Отсюда и пляшите.
PS: насколько я помню, не всякую таблицу Кели можно представить формулой...
далее фиксируем единичный элемент 1 (такой что mul(X, 1) = mul(1, X) = X) и вводим краткие обозначения для следующих сумм:
2 = (by definition) = sum(1, 1);
3 = (by definition) = sum(2, 1) = sum(sum(1, 1), 1) = sum(1, sum(1, 1));
4 = (by definition) = sum(3, 1) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) = ...
...
C>Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У C>меня может быть просто группа с операцией умножения.
У Вас группа, а у меня алгебра. В алгебре есть операции сложения sum(X, Y) и умножения mul(X, Y), а также нулевой 0 и единичный 1 элементы. Смысл элемента обозначаемого иероглифом "4" в том что он является кратким обозначением величины sum(sum(sum(1, 1), 1), 1).
Сергей Губанов wrote:
> далее фиксируем единичный элемент 1 (такой что mul(X, 1) = mul(1, X) = > X) и вводим краткие обозначения для следующих сумм: > 2 = (by definition) = sum(1, 1); > 3 = (by definition) = sum(2, 1) = sum(sum(1, 1), 1) = sum(1, sum(1, 1)); > 4 = (by definition) = sum(3, 1) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) = ...
А если изменю определение числа 5? Например, у меня будет 5=3+1, а
4=3+2. Если при этом я корректно изменю все законы сложения — то у меня
все будет вполне корректно задано.
> C>Кстати, я вообще ничего не говорил, про наличие операции сложения. У > C>меня может быть просто группа с операцией умножения. > У Вас группа, а у меня алгебра. В алгебре есть операции сложения > sum(X, Y) и умножения mul(X, Y), а также нулевой 0 и единичный 1 элементы.
Это не алгебра, а алгебраическая структура под названием "кольцо".
Вероятно, вы хотите мне доказать, что в любом поле (то есть
коммутативном кольце) 2*2=4. Это занятие бессмысленное — я точно знаю,
что нужная мне поле есть
> Смысл элемента обозначаемого иероглифом "4" в том что он является > кратким обозначением величины sum(sum(sum(1, 1), 1), 1).
Ничуть. Число 4 значит лишь, что это число 4. А определить я его могу
как угодно.
> А если у Вас просто группа с умножением, но без сложения, то как Вы > дадите определение для 4?
В группе вообще определена только одна операция. Самым простым способом
определения числа 4 в моей группе будет построение биекции на группу
рациональных чисел. Кодт это уже проделал.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Это не алгебра, а алгебраическая структура под названием "кольцо". C>Вероятно, вы хотите мне доказать, что в любом поле (то есть C>коммутативном кольце) 2*2=4. Это занятие бессмысленное — я точно знаю, C>что нужная мне поле есть
Вот, разлюбопытствовался, сейчас посмотрел у Ленга... Таки не кольцо это. В кольце умножение ассоциативное, а у меня условия ассоциативности на умножение не накладывается. У меня mul(X, mul(Y, Z)) и mul(mul(X, Y), Z), вообще говоря, не обязаны быть равны друг другу. Так что (доказанное мной) равенство:
Здравствуйте Сергей Губанов, Вы писали : > mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1)
И каким образом это будет работать, например, над полем остатков деления
на 2????
> справедливо в более "строгой" структуре чем кольцо и уж тем более чем > поле, т.е. справедливо для всех колец и тем более для всех полей.
А потом в rsdn.job идут споры, нафига нужна вышка программеру...
Posted via RSDN NNTP Server 2.0 beta
Всё, что нас не убивает, ещё горько об этом пожалеет.
Ромашка wrote:
>> mul(sum(1, 1), sum(1, 1)) = sum(sum(sum(1, 1), 1), 1) > И каким образом это будет работать, например, над полем остатков деления > на 2????
Но-но! Остатки деления на N образуют кольцо ("кольцо вычетов по классу
N"), а не поле.
Здравствуйте Ромашка, Вы писали : >> Но-но! Остатки деления на N образуют кольцо ("кольцо вычетов по классу >> N"), а не поле. > > Не помню. И терзают смутные сомнения, что mod(2) и не кольцо вовсе. > Нужно ка-то освежить память.....
Освежил.
Остатки деления на N образуют поле, если N -- простое число. Двойка поле
не образует, хотя и простое число, не помню почему. Блин, как давно все
было....
Posted via RSDN NNTP Server 2.0 beta
Всё, что нас не убивает, ещё горько об этом пожалеет.
Здравствуйте, Ромашка, Вы писали: P>Освежил. Р>Остатки деления на N образуют поле, если N -- простое число. Двойка поле Р>не образует, хотя и простое число, не помню почему. Блин, как давно все Р>было....
Ага, двойка вам.
Поле — коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
А теперь прошу обосновать, почему это Z/2 не поле?
Так что в той структуре, о которой Вы говорите, либо сумма не ассоциативна, либо умножение не дистрибутивно. Но что это тогда за сумма такая если она не ассоциативна и что это тогда за умножение такое если оно не дистрибутивно? Это никакие тогда не суммы и не умножения, а какие-то другие операции, которые стоило бы называть подругому.
Здравствуйте, Сергей Губанов, Вы писали:
СГ>Так что в той структуре, о которой Вы говорите, либо сумма не ассоциативна, либо умножение не дистрибутивно. Но что это тогда за сумма такая если она не ассоциативна и что это тогда за умножение такое если оно не дистрибутивно? Это никакие тогда не суммы и не умножения, а какие-то другие операции, которые стоило бы называть подругому.
Возьмём кольцо (Z;+,*), (Z;+) — обычная абелева группа. * — оперция нулевого умножения, т.е. для любых a и b a*b=0. Тогда выполняется и ассоциативность, и дистрибутивность + от-но *.