На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

Pi/3 это 1/6 от 2*Pi, дальше всё сводится к задачей с костями.

6/6*1/6*1/6*1/6 = 1/216 если сектор произвольный или 1/216*1/6 = 1/1296, если строго определённый.

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

( ((Pi/3)**(4-1)) / ((Pi*2)**(4-1)) ) * ( 2 + (8-2)*1/3 ) = 12/648 = 1/54 = 0.0185(185) ?

(Решал через вычисление объема 3d многогранника, зафиксировав одну из точек в Pi.)

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

Общий путь решения такой: Есть три угла между точками, независимые и равномерно распределенные в интервале от 0 до 2pi. Плотность распределения их суммы может быть вычислена так:
1. Для двух углов это свёртка двух исходных pdf — равнобедренный треугольник с основанием 4pi. С учётом того, что углы определены от 0 до 2pi, опять получаем равномерную pdf от 0 до 2pi. Тут я не совсем уверен, бумажки под рукой нет.
2. Для суммы трёх углов требуется ещё раз свернуть равномерную pdf с результатом, полученным на предыдущем шаге. Если то, что я написал в 1 верно, то опять получим равномерную pdf. И тогда ответ 1/6.

Здравствуйте, Maniacal, Вы писали:


M>Pi/3 это 1/6 от 2*Pi, дальше всё сводится к задачей с костями.
M>6/6*1/6*1/6*1/6 = 1/216 если сектор произвольный или 1/216*1/6 = 1/1296, если строго определённый.
сектор произвольный, конечно
но смотри, ты фиксируешь первую точку в координате 0 и бросаешь вторую. Вторая должна попасть в сектор (-pi/3,+pi/3). Т.е. уже умножение 1/6 уже не работает.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>( ((Pi/3)**(4-1)) / ((Pi*2)**(4-1)) ) * ( 2 + (8-2)*1/3 ) = 12/648 = 1/54 = 0.0185(185) ?
У меня получилось столько же. Но я решал иначе.

C>(Решал через вычисление объема 3d многогранника, зафиксировав одну из точек в Pi.)
Я многогранник не осилил, а можешь, если не трудно, написать какой интеграл у тебя получился?

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>Здравствуйте, Maniacal, Вы писали:


M>>Pi/3 это 1/6 от 2*Pi, дальше всё сводится к задачей с костями.
M>>6/6*1/6*1/6*1/6 = 1/216 если сектор произвольный или 1/216*1/6 = 1/1296, если строго определённый.
MVK>сектор произвольный, конечно
MVK>но смотри, ты фиксируешь первую точку в координате 0 и бросаешь вторую. Вторая должна попасть в сектор (-pi/3,+pi/3). Т.е. уже умножение 1/6 уже не работает.

сектор (-pi/6,+pi/6), Так как сектор pi/3

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>Общий путь решения такой: Есть три угла между точками, независимые и равномерно распределенные в интервале от 0 до 2pi. Плотность распределения их суммы может быть вычислена так:
A>1. Для двух углов это свёртка двух исходных pdf — равнобедренный треугольник с основанием 4pi. С учётом того, что углы определены от 0 до 2pi, опять получаем равномерную pdf от 0 до 2pi. Тут я не совсем уверен, бумажки под рукой нет.
A>2. Для суммы трёх углов требуется ещё раз свернуть равномерную pdf с результатом, полученным на предыдущем шаге. Если то, что я написал в 1 верно, то опять получим равномерную pdf. И тогда ответ 1/6.

Похоже я не очень понимаю, почему ты считаешь распределение суммы? Возможно, можно посчитать распределение разницы. Но не очень понимаю, как потом добавить четвертую точку к полученной картинке.

Здравствуйте, Maniacal, Вы писали:

M>сектор (-pi/6,+pi/6), Так как сектор pi/3

Сектор первоначально не задан. Если первая точка 0, то нам подходит оба варианта а) вторая точка легла в сектор (-pi/3,0) и б) вторая точка легла в сектор (0,pi/3), так и в том и в другом случае первая и вторая точки будут в секторе pi/3

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>>Общий путь решения такой: Есть три угла между точками, независимые и равномерно распределенные в интервале от 0 до 2pi. Плотность распределения их суммы может быть вычислена так:
A>>1. Для двух углов это свёртка двух исходных pdf — равнобедренный треугольник с основанием 4pi. С учётом того, что углы определены от 0 до 2pi, опять получаем равномерную pdf от 0 до 2pi. Тут я не совсем уверен, бумажки под рукой нет.
A>>2. Для суммы трёх углов требуется ещё раз свернуть равномерную pdf с результатом, полученным на предыдущем шаге. Если то, что я написал в 1 верно, то опять получим равномерную pdf. И тогда ответ 1/6.

MVK>Похоже я не очень понимаю, почему ты считаешь распределение суммы? Возможно, можно посчитать распределение разницы. Но не очень понимаю, как потом добавить четвертую точку к полученной картинке.

Рассматриваю разность углов между точками, кинутыми на круг. Таких разностей 3 для 4х точек. Их сумма дает сектор, в котором точки лежат.

т.е. имеем точки 1,2,3,4. Имеем углы phi12, phi23, phi34. Углы измеряем от 0 до 2 pi. Их сумма дает сектор, в котором точки лежат, ну с учетом переходов через 2pi.

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>Здравствуйте, Maniacal, Вы писали:

M>>сектор (-pi/6,+pi/6), Так как сектор pi/3

MVK>Сектор первоначально не задан. Если первая точка 0, то нам подходит оба варианта а) вторая точка легла в сектор (-pi/3,0) и б) вторая точка легла в сектор (0,pi/3), так и в том и в другом случае первая и вторая точки будут в секторе pi/3

Нужно помнить, про третью и четвёртую точки, они должны попасть в сектор Pi/3, который наметился первыми двумя

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>( ((Pi/3)**(4-1)) / ((Pi*2)**(4-1)) ) * ( 2 + (8-2)*1/3 ) = 12/648 = 1/54 = 0.0185(185) ?
MVK>У меня получилось столько же. Но я решал иначе.

C>>(Решал через вычисление объема 3d многогранника, зафиксировав одну из точек в Pi.)
MVK>Я многогранник не осилил, а можешь, если не трудно, написать какой интеграл у тебя получился?

Без интегралов — чистая стереометрия.

1) Пусть первая случайная точка p[0] имеет координату 0. (всегда можно выбрать систему угловых координат, чтобы это было так).
2) Пусть остальные (4-1) точек имеют случайные координаты на отрезке p[i] in [-pi .. pi].
Отложим по осям координат xyz координаты этих трех точек.
Тогда 3d-точки, которые удовлетворяют условию, max(0,x,y,z) — min(0,x,y,z) < pi/3 — соответствуют тому что точки на окружности легли в один сектор.
Т.е. задача свелась к вычислению отношения объема этого тела, к объему куба (2*pi)**3.

3) Поскольку ограничение max(0,x,y,z) — min(0,x,y,z) < pi/3 — можно заменить набором 16 линейных неравенств, то
данное ограничение есть ограничение задачи линейного программирования, и она ограничивает выпуклый многогранник.

4) Разделим этот многогранник, на 8 частей (разделив плоскостями проходящими по осям координат).
5) в двух квадрантах (+++) и (---) искомое тело буде представлять собой — куб и иметь объем (pi/3)**3
6) в остальных 8-2=6 квадрантах (++-), (+-+), (+--), (-++), (-+-), (--+) заметим, что две координаты имеют один знак и одна координата — противоположенный.
Учитывая что задача симметрична относительно перестановки порядка координат, и относительно смены нарпавления всех трех осей — то объем тела в каждом из этих 6 квадрантов должен быть одинаков.
рассмотрим квадрант (++-) т.е. x>0, y>0, z<0
тодга:
min(0,x,y,z) == z,
max(0,x,y,z) == max( x,y)

Получаем систему уравнений:
x>0, y>0, z<0
x-z<pi/3
y-z<pi/3

Очевидно, эта систма уравнений ограничивает пирамиду, с основанием на плоскости x-y, и направленную вершиной вниз (вдоль отрицательного направления оси z).
На плоскости x-y (z==0) уравнения вырождаются:
x>0, y>0
x<pi/3
y<pi/3

Т.е. площадь основания ( pi/3 ) **2
Вершина пирамиды: (x,y,z)==(0, 0, pi/3)
Объем пирамиды: 1/3 * ( pi/3 )**2 * pi/3 == 1/3 * (pi/3)**3
(Напомню таких пирамид 6)

7) Итого:
( 2* (pi/3)**3 + (8-2)* 1/3 * (pi/3)**3 ) / ( (2*pi) **3 ) = (pi/3)**3 / (2*pi)**3 * ( 2+ (8-2)*1/3) = ...

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?



f — отношение длины сектора к длине окружности (1/6);
n — число точек (4);


I(x_i; x₁, ..., x_n) — событие, что все точки лежат в секторе [x_i; x_i + f).
P(x_i; x₁, ..., x_n) = f^n-1 — каждая точка попадает в зафиксированный сектор с вероятностью f, кроме x_i, которая там уже находится по определению.

Событие, когда все точки попали в какой-то сектор соответствует тому, что реализовалось хотя бы одно событие I(x_i; x₁, ..., x_n).

	Скрытый текст
	Потому что, если если существует сектор [a; a+f), накрывающий все точки и xi-1<a<xi (в отсортированном массиве координат x1≤ x2 ≤ ... ≤ xn), то сектор [xi; xi + f) также будет покрывать все точки, и поэтому достаточно рассматривать только сектора такого вида

Ответ на задачу — значение интеграла от функции "реализовалось хотя бы одно I".
Но для f < ½ события I никогда не реализуются одновременно: I(x_i; x₁, ..., x_n) · I(x_j; x₁, ..., x_n) = 0 для i ≠ j.

	Скрытый текст
	Точнее, при совпадении точек координат у двух разных точек xi = xj может реализоваться 2+ события, но такие совпадения пропадут при интегрировании, либо можно от них совсем избавится, если усилить I(xi; x1, ..., xn) требованием, что для всех j, таких что xi = xj, должно дополнительно выполняется неравенство i ≤ j. Тогда даже при совпадении координат только одно I будет реализовываться.   f<½ Если рассмотреть случай, к которому можно свести любое решение поворотом, перенумерацией точек и выкидыванием дубликатов, 0 = x1 < x2 < ... < xn ≤ f и предположить, существует ещё какое-то другое решение что I(xi; x1, ..., xn) = 1 для i ≠ 1, то это будет означать, что xj-xi ≤ f, для j > i, и xj-xi+1 ≤ f, для j < i; Рассматривая случай j = 1, получаем x1-xi+1 ≤ f ⇒ 1-f ≤ xi ≤ f ⇒ 1-f ≤ f ⇒ 1 ≤ 2f ⇒ ½ ≤ f — необходимое условие для одновременной реализации двух I, которое нарушено по условию задачи

Поэтому вместо того, чтобы интегрировать функцию "реализовалось хотя бы одно I", можно посчитать n интегралов для каждой отдельной стартовой точки x_i и потом их сложить:

P = n · f^n-1

P = 4 · ⅙³ = 1/54

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

MVK>>Похоже я не очень понимаю, почему ты считаешь распределение суммы? Возможно, можно посчитать распределение разницы. Но не очень понимаю, как потом добавить четвертую точку к полученной картинке.

A>Рассматриваю разность углов между точками, кинутыми на круг. Таких разностей 3 для 4х точек. Их сумма дает сектор, в котором точки лежат.

A>т.е. имеем точки 1,2,3,4. Имеем углы phi12, phi23, phi34. Углы измеряем от 0 до 2 pi. Их сумма дает сектор, в котором точки лежат, ну с учетом переходов через 2pi.

PS Распределение суммы я правильно прикинул, а вот с тем, что сумма описываеттребуемый сектор я не прав.

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>PS Распределение суммы я правильно прикинул, а вот с тем, что сумма описывает требуемый сектор я не прав.

Потому что, например, 2/3pi + 2/3pi + 2/3pi = 2pi = 0? Я вот задумался, можно ли это как-то обойти.
Сама идея решить через свертку красивая, так как pdf суммы равномерных распределений можно в уме прикинуть.

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

Я использовал подход с разбиением пространства элементарных событий на несовместные составные события образующие полную группу. Если правильно подобрать такое разбиение, то задача редуцируется до анализа одного составного события.

1.Построение разбиения
Возьмем произвольные четыре точки (x₁,x₂,x₃,x₄) на окружности и рассмотрим множество всех возможных комбинаций этих точек полученных вращением с шагом pi/3, {x₁ⁱ,x₂^j,x₃^k,x₄^l | x₁ⁱ=x₁+i*pi/3, i in [0..5]; ...}. Очевидно, что каждое элементарное событие входит в одно и только в одно такое множество и в каждом множестве по 6^4 элементарных событий. Соответственно, все такие множества разбивают пространство элементарных событий на несовместные события и образуют полную группу.

2. Дальше уже элементарно.
Лего показать, что для каждого положения точки x_i^j, i in [1..3], j in [0..5] есть только одна комбинация трех других точек попадающих в сектор x_i + pi/3. Визуально можно представить, что мы фиксируем одну точку, а остальные вращаем против часовой стрелки с шагом pi/3 пока они не "перепрыгнут" точку x_i. У каждой точки 6 положений и всего четыре точки, соответственно таких комбинаций точек будет 6*4.
Получается 6*4/6^4 = 1/54

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

Написал софтину, которая на замкнутом отрезке длиной 2*PI провела 1 млрд. экспериментов и взяла среднее значение вероятности. Результат очень странный: 1:~20.611735
Или я где-то накосячил...

Здравствуйте, watchmaker, Вы писали:

Так и думал, что в формуле из интернета что-то неправильно из чьей-то статейки: 6/6*1/6*1/6 (вариант для трёх игральных костей)
там писали, что 6/6 это потому что первое событие произойдёт 100%

Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

MVK>На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?

У меня получилось 1/54


Суть такая — возьмём простую подзадачу: есть 24 цифры, которые стоят на циферблате вот так, случайно выбирается одна единичка, одна двоечка, одна троечка и одна 4ка, какая вероятность что выбранная четвёрка всё попадёт в сектор 60 градусов, ну тут понятно, что есть 24 варианта из 6**4.
Для общего случая выбор любой точки из по кругу — это равномерный выбор точки в секторе 60 градусов + смещение на один уз углов кратных 60 градусов с равность вероятностью. Поэтому любое расположение 4 точек можно свести к такому же циферблату

Здравствуйте, Maniacal, Вы писали:

M>Здравствуйте, watchmaker, Вы писали:

M>Так и думал, что в формуле из интернета что-то неправильно из чьей-то статейки: 6/6*1/6*1/6 (вариант для трёх игральных костей)
M>там писали, что 6/6 это потому что первое событие произойдёт 100%

У меня при проверке численным методом, после миллиарда испытаний, получился результат 0,004628799.
Это примерно равно 1/216.

Условие задачи странное и не полное:

"На окружность бросили 4 точки. Какова вероятность, что все эти 4 точки окажутся в рамках сектора Pi/3?"

Точки бросают на "окружность" но ожидают их в "рамках сектора"(почему не дуги?).
В рамках какого-то определенного сектора или любого?