Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Найти все пары натуральных чисел (m, n), для которых выполняется условие:
N>
N>1 + 2 + ... + m = 1 * 2 * ... * n
N>
В общем, если у кого-то из присутвующих получится доказать, что скорость роста ((p + 1) / 2)-го решения x^2 — 2*n#*y^2 = 1 меньше скорости роста n!, где p -- наибольшее простое меньшее или равное n, а n# -- произведение всех простых чисел меньших или равных n, то можно будет смело заявить что после некоторого значения n решений быть не может.
На самом деле там всё несколько тоньше, но без идеи о подобном доказательстве вдаваться в детали нет смысла.
Здравствуйте, stab, Вы писали:
S>Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>>Найти все пары натуральных чисел (m, n), для которых выполняется условие:
N>>
N>>1 + 2 + ... + m = 1 * 2 * ... * n
N>>
S>В общем, если у кого-то из присутвующих получится доказать, что скорость роста ((p + 1) / 2)-го решения x^2 — 2*n#*y^2 = 1 меньше скорости роста n!, где p -- наибольшее простое меньшее или равное n, а n# -- произведение всех простых чисел меньших или равных n, то можно будет смело заявить что после некоторого значения n решений быть не может.
S>На самом деле там всё несколько тоньше, но без идеи о подобном доказательстве вдаваться в детали нет смысла.
На х и у дополнительные условия налагаются?
Не получается без этого определить какое из решение ((p + 1) / 2)-е, а какое ((p + 1) / 2 — 1) -е или ((p + 1) / 2 + 1)-е.
Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:
VEA>На х и у дополнительные условия налагаются? VEA>Не получается без этого определить какое из решение ((p + 1) / 2)-е, а какое ((p + 1) / 2 — 1) -е или ((p + 1) / 2 + 1)-е.
X, y -- целые. Для каждого n# существует бесконечное кол-во решений, одно фундаментальное -- 1-ое -- самое маленькое, из него можно построить все остальные, каждое из которых больше 1-го, растут они экспоненциально. Из них нас интересуют первые ((p + 1) / 2) решения для каждого n#, т.к. только среди них могут быть решения из которых можно получить такие x, y, что из них можно получить такое m, что оно будет решением главной задачи.
Оценки для роста есть, но они не эксплуатируют идею о том, что коэффициент при y^2, в нашем случае, очень гладкий (делится на все простые меньшие или равные n) и к тому же не содержит степеней в разложении на простые. По видимому из-за этого факта непреревные дроби возникающие при решении имеют очень короткий период, поэтому решения x, y растут намного медленее n!, но доказать это незнаю как.
Вообще идея основывается на том, что m * (m + 1) = 2 * n!, из левой части видно, что нам нужны два числа идущих подряд, из правой части видно, что они должны быть n-гладкими. Тогда по теореме Стормера можно найти решения для левой части в терминах правой (n-гладкость). Это конечно очень сильно сужает множество возможных m, но всё же оно остаётся бесконечным. Если просто порешать первые штук 15 уравнений, видно что значения растут сильно медленне n!.
Упс, просмотрел.
V>Теперь этюд -- показать, как она сводится...
Там есть более общее утверждение, что для всех многочленов второй и более степеней существует только конечное кол-во решений. Хотя, может быть конкретно эта задача решается как-то очень красиво и просто.
Здравствуйте, stab, Вы писали:
S>Задача, оказывается, сводится к одной из неразрешённых проблем в теории чисел -- Brocard's problem
Не совсем к этой. Вставлю свои 5 копеек
1+2…m=1*2*…n=m(m+1)/2=A
Т.е. m^2+m=2n! или m^2=2n!-m
Допустим m и n удовлетворяет условиям. Тогда следующая пара удовлетворяющая условиям будет выглядеть так (m+x) и (n+y) где x>1 и получаться из предыдущей пары вот так.
A+(m+1)(x*(x-1)/2)=A*(n+1)*(n+2)..(n+y)
Упроститть уравнение можно, но решение вряд ли можно назвать этюдом.
Перекуём баги на фичи!
