Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Можете привести пример функции f(x) которая:
N>1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
N>2) f(x)=0 для всех x<0
N>3) f(x)=1 для всех x>1

N>?


Функция строится следующим образом:

1.Заметим что функция Exp(-1/x*x) — есть бесконечно диффиренцируемая функция и в точке 0 имеет порядок гладкости бесконечность.

2. Строим функцию склейки.
f(x) = Exp(-1/x*x) , x > 0
f(x) = 0 x <=0
3. Модифицируем эту функцию чтобы она еще и в точке 1 имела бесконечный порядок грладкости с нулем. А именно
f(x) = Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) x > 0 и x < 1
f(x) = 0 в остальных случаях.
Очевидно что функция попрежнему остается беск диффиренцируемой и почти такая какая нам нужно.

4. Теперь составим функцию такю чтобы функция п3 была её производной и отвечала нормировочным условиям. Это легко сделать взяв интеграл.

F(y) = Int(0,y) { Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) dx } / Int(0,1) { Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) dx } , у > 0 и y < 1
F(y) = 0 если y < 0
F(y) = 1 если y > 1

очевидно что функция F бес дифиренцируема везде по построению
функция удовлетворяет условиям нормировки
функция имеет порядок гладкости в 0 и 1 согласно п3......

Помоему почти аналогично проводятся рассуждения при доказательстве теоремы Вейерштрасса об аппроксимирующей функции или в задача Коши аппроксимации в точке...
помоему можно наверное и в элементарных функциях построить, но вы просили пример...