Можете привести пример функции f(x) которая:
1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
2) f(x)=0 для всех x<0
3) f(x)=1 для всех x>1

?

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Можете привести пример функции f(x) которая:
N>1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
N>2) f(x)=0 для всех x<0
N>3) f(x)=1 для всех x>1

а именно формула нужна? А то можно от 0 до 1 пустить синус x*pi/2

Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>а именно формула нужна?
Любое конструктивное определение.

A>А то можно от 0 до 1 пустить синус x*pi/2
Тогда не будет дифференцируемости в точках x=0, x=1.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>>а именно формула нужна?
N>Любое конструктивное определение.

Сойдёт за "конструктивное"?

Берём параболу на [-1/2,1/2], режем посередине, одну ветвь зеркально отображаем относительно оси абсцисс, потом берем обратную функцию и транслируем/скалируем для состыковки с прямыми y=0 и y=1?

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Берём параболу на [-1/2,1/2], режем посередине, одну ветвь зеркально отображаем относительно оси абсцисс, потом берем обратную функцию и транслируем/скалируем для состыковки с прямыми y=0 и y=1?

Не будет второй производной в точке x=0. Требуется бесконечно дифференцирцемая функция.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Можете привести пример функции f(x) которая:
N>1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
N>2) f(x)=0 для всех x<0
N>3) f(x)=1 для всех x>1

N>?

Медленно и печально собирается из C_infty(R) функции с нулевым рядом Тейлора.

Здравствуйте, Иванков Дмитрий, Вы писали:

ИД>Медленно и печально собирается из C_infty(R) функции с нулевым рядом Тейлора.

Да, идея в нулевом ряде Тейлора, но почему же медленно и печально?

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Да, идея в нулевом ряде Тейлора, но почему же медленно и печально?

А на кой ляд нужны такие идеи? Скажи где у этой функции особые точки в комплексной плоскости, и что это за особенности — тогда это было бы интересно.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Здравствуйте, Иванков Дмитрий, Вы писали:

ИД>>Медленно и печально собирается из C_infty(R) функции с нулевым рядом Тейлора.

N>Да, идея в нулевом ряде Тейлора, но почему же медленно и печально?

Ну потому как надо лишь сделать функцию с двумя точками, в которых Тейлор нулевой, путь до нее и путь дальше — арифметика.
Медленно и печально выписывать это более точно

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>Берём параболу на [-1/2,1/2], режем посередине, одну ветвь зеркально отображаем относительно оси абсцисс, потом берем обратную функцию и транслируем/скалируем для состыковки с прямыми y=0 и y=1?

N>Не будет второй производной в точке x=0. Требуется бесконечно дифференцирцемая функция.

Тогда берём не x^2, а x^2n, проводим такую операцию и n -> \inf

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Можете привести пример функции f(x) которая:
N>1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
N>2) f(x)=0 для всех x<0
N>3) f(x)=1 для всех x>1

N>?


Функция строится следующим образом:

1.Заметим что функция Exp(-1/x*x) — есть бесконечно диффиренцируемая функция и в точке 0 имеет порядок гладкости бесконечность.

2. Строим функцию склейки.
f(x) = Exp(-1/x*x) , x > 0
f(x) = 0 x <=0
3. Модифицируем эту функцию чтобы она еще и в точке 1 имела бесконечный порядок грладкости с нулем. А именно
f(x) = Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) x > 0 и x < 1
f(x) = 0 в остальных случаях.
Очевидно что функция попрежнему остается беск диффиренцируемой и почти такая какая нам нужно.

4. Теперь составим функцию такю чтобы функция п3 была её производной и отвечала нормировочным условиям. Это легко сделать взяв интеграл.

F(y) = Int(0,y) { Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) dx } / Int(0,1) { Exp(-1/x*x — 1/(1-x)*(1-x)) dx } , у > 0 и y < 1
F(y) = 0 если y < 0
F(y) = 1 если y > 1

очевидно что функция F бес дифиренцируема везде по построению
функция удовлетворяет условиям нормировки
функция имеет порядок гладкости в 0 и 1 согласно п3......

Помоему почти аналогично проводятся рассуждения при доказательстве теоремы Вейерштрасса об аппроксимирующей функции или в задача Коши аппроксимации в точке...
помоему можно наверное и в элементарных функциях построить, но вы просили пример...

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Можете привести пример функции f(x) которая:
N>1) определена на всей действительной оси, непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей действительной оси
N>2) f(x)=0 для всех x<0
N>3) f(x)=1 для всех x>1

Давай немного сдвинем интервал в сторону. Пусть ƒ(x) будет равняться нулю слева от (−ε, ε) и единице справа. Возьмем экстремальный случай — ε=0, и продифференцируем функцию. Получится δ(x). На пространстве D′ она дифференцируема еще бесконечное количество раз, но вряд ли это тебе подойдет :-). Поэтому возьмем любую функцию из D (т. е., бесконечно дифференцируемую и финитную), входящую в δ-образную последовательность. Например, «шапочку» exp(1/(t²/ε²−1)), продолженную нулями за пределами (−ε, ε). Вот ее первообразная и есть та функция, что тебе нужна, с точностью до аффинных преобразований.