Здравствуйте, andyJB, Вы писали:
JB>Здравствуйте, andyJB, Вы писали:
JB>>Утверждение, что P(x>y|x=x0)>1/2 соответствует тому, что P(x=x0|x>y) > P(x=x0|x<=y). JB>Что, опять же из P(x>y) = P(x<=y), равносильно P(x=x0 & x>y) > P(x=x0 & x<=y). Откуда P(x>y) > P(x<=y)!?
Это верно. Вероятность каждой из гипотез одинаковая.
Однако, это не показывает, что Таня не может извлечь из знания числа определенную выгоду для себя, пусть даже маленькую.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Давайте так.
V>Играют один раз. Вова пишет на двух бумажках два различных числа. Таня выбирает одну из бумажек наугад, смотрит число и говорит, больше оно или меньше другого. Проверяют. Если сказала правильно, получает рубль, иначе отдает.
V>Может ли Таня выиграть с вероятностью больше 1/2?
Подсказка.
Пусть Вова написал на бумажках числа a и b, a<b для определенности.
Таня их не знает, разумеется. Эти числа могут быть любыми в общем случае.
Открыв любое из этих чисел случайно, Таня может с некоторой вероятностью сказать, что другое число больше или меньше.
Причем эта вероятность может зависеть от того, что она увидела.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Пусть Вова написал на бумажках числа a и b, a<b для определенности. V>Таня их не знает, разумеется. Эти числа могут быть любыми в общем случае.
Вот, вот. В такой формулировке ещё более очевидно, что ответ равен 1/2. Вова показывает число (a или b с вероятностью 1/2), Тане нужно сказать, показали ей a или b. Показанное значение абсолютно никак не может помочь Тане в выборе.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Давайте так.
V>>Играют один раз. Вова пишет на двух бумажках два различных числа. Таня выбирает одну из бумажек наугад, смотрит число и говорит, больше оно или меньше другого. Проверяют. Если сказала правильно, получает рубль, иначе отдает.
V>>Может ли Таня выиграть с вероятностью больше 1/2?
V>Подсказка.
V>Пусть Вова написал на бумажках числа a и b, a<b для определенности.
V>Таня их не знает, разумеется. Эти числа могут быть любыми в общем случае.
V>Открыв любое из этих чисел случайно, Таня может с некоторой вероятностью сказать, что другое число больше или меньше. V>Причем эта вероятность может зависеть от того, что она увидела.
Вероятность выигрыша Тани, зависит от го знает ли она стратегию Вовы.
Если не знает, то вероятность будет своей для каждой конкретной пары стратегий (Тани и Вовы). В общем случае ничего нельзя сказать.
Но даже если Таня будет знать стратегию Вовы, то Вова все равно может выбрать стратегию, дающею вероятность выигрыша сколь угодно близкую к 1/2.
Например:
Пусть Вова загадывает произвольное неотрицательное 100 — значное число A. Число Б (с равными вероятностями) берет А+1 или А-1.
Таня сможет сделать осознанный выбор, только если вытянет число -1, 0, 1e100 или 1е100+1.
Причем в случаях -1 и 1е100+1 вероятность ее выигрыша 100%, а в случае 0 и 1e100 вероятность ее выигрыша 2/3.
т.е. вероятность ее выигрыша < 1/2 + (10/3)*1e-100.
On Tue, 22 Jan 2008 11:46:49 +0500, baily <45452@users.rsdn.ru> wrote:
> Поподробнее — очень просто. Если предположить, что Вова выбирает любое > число из, например Z ( натуральные числа здесь не подойдут ) случайным > образом с равномерным распределением
выбрать число из бесконечного интервала с равномерным распределением
невозможно. то есть, "равномерного распределения на бесконечном интервале
не существует".
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>[Из цикла "ДДТ или Детство Девочки Тани"]
V>После того, как соседский мальчик Вова, известный в школе математик-компьютерщик, раскусил ее первый лохотрон
, она, не долго думая, пришла к нему снова...
V>"На этот раз все по-честному," -- начала Таня. -- "Мы с тобой сыграем в игру 'Удача-2'. Ты загадываешь ЛЮБЫЕ два различные числа. Одно из них любое называешь мне, а я отвечаю больше ли второе загаданное число или меньше. Вероятность угадать, разумеется, одна вторая. Если я угадала, ты мне рубь, если нет -- я тебе."
V>По-моему, все честно, не правда ли?
Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них.
А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)?
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)?
V>С какой вероятностью она угадает?
Если Таня в своем выборе функции F будет не особо осмотрительна, то она может сильно попасть в данной игре. Приведу лишь простой пример, чтобы понять суть того, почему это произойдет. Допустим для простоты, что можно загадывать числа от 1 до 100. Допустим также, что Таня взяла следующую функцию F
F(1) = 0.901, F(2) = 0.902, F(3) = 0.903, ..., F(100) = 1. Ясно, что если Вова будет выбирать числа равновероятно, то Таня пролетит в одну калитку
Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)?
V>>С какой вероятностью она угадает?
B>Если Таня в своем выборе функции F будет не особо осмотрительна, то она может сильно попасть в данной игре. Приведу лишь простой пример, чтобы понять суть того, почему это произойдет. Допустим для простоты, что можно загадывать числа от 1 до 100. Допустим также, что Таня взяла следующую функцию F B>F(1) = 0.901, F(2) = 0.902, F(3) = 0.903, ..., F(100) = 1. Ясно, что если Вова будет выбирать числа равновероятно, то Таня пролетит в одну калитку
В какую калитку она пролетит? Хотите сказать, что будет угадывать в вероятностью <1/2?
Вопрос был поставлен конкретный про вероятность. F строго монотонная (возрастающая, естественно) на R.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>>>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)?
V>>>С какой вероятностью она угадает?
B>>Если Таня в своем выборе функции F будет не особо осмотрительна, то она может сильно попасть в данной игре. Приведу лишь простой пример, чтобы понять суть того, почему это произойдет. Допустим для простоты, что можно загадывать числа от 1 до 100. Допустим также, что Таня взяла следующую функцию F B>>F(1) = 0.901, F(2) = 0.902, F(3) = 0.903, ..., F(100) = 1. Ясно, что если Вова будет выбирать числа равновероятно, то Таня пролетит в одну калитку
V>В какую калитку она пролетит? Хотите сказать, что будет угадывать в вероятностью <1/2?
Да, причем значительно
V>Вопрос был поставлен конкретный про вероятность. F строго монотонная (возрастающая, естественно) на R.
Я выше привел пример, показывающий в чем засада. Привел именно его, потому, что он проще для понимания. Но, как я вижу, либо вы его не читали, либо, прочли по диагонали. Теперь просите меня привести пример, когда F на R. Я опасаюсь, что вы и его читать не будете. Но попробую еще раз.
Итак пусть Таня берет строго монотонную возрастающую функцию распределения F на R. То есть F(x) стремится к 1 при x стремящемуся к плюс бесконечности,
и F(x) стремится к 0 при x стремящемуся к минус бесконечности. Так как вы в своем выборе не накладываете на F никаких ограничений, то я могу добавить свое условие — F(0) = 0,999999999999999999999999999999, больше никакого условия я не ставлю. Так вот, если Таня возьмет такую F, а Петя свои числа в R будет генерить, с помощью случайной величины, задаваемой другой функцией распределения G(x), такой, что G(0) = 0.0000000000000000000000001, то тем, что Таня будет иногда выигрывать, можно пренебречь
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: V>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)? V>С какой вероятностью она угадает?
Если F(x) — функция распределения Вовиного генератора, то действительно, Таня выигравает в любом раунде с вероятностью max(F(x), 1-F(x)), что, очевидно >= 1/2. Однако для реализации такой стратегии и Тани должна быть априорная (о чем Вам с самого начала и говорили) информация о Вовиной функции распределения.
Более того, есть случай, когда даже такая стратегия Тани приведет к честным фифти-фифти. Если Вовина случайная величина будет равномерно распределена на интервале [a, b], где -a и b — устремлены к бесконечности, то, очевидно, для любого x F(x) будет стремиться к 1-F(x), т.е. вероятность успеха Тани даже при наличии у нее априорной информации будет стремиться к 1/2.
Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:
MC>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: V>>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)? V>>С какой вероятностью она угадает?
MC>Если F(x) — функция распределения Вовиного генератора, то действительно, Таня выигравает в любом раунде с вероятностью max(F(x), 1-F(x)), что, очевидно >= 1/2. Однако для реализации такой стратегии и Тани должна быть априорная (о чем Вам с самого начала и говорили) информация о Вовиной функции распределения.
Еще раз. Таня ничего не знает о Вовином генераторе. Тот написал два числа (чем он пользовался, когда писал их -- его трудности), она выбирает одно из них и говорит, больше ли другое, или нет.
MC>Более того, есть случай, когда даже такая стратегия Тани приведет к честным фифти-фифти. Если Вовина случайная величина будет равномерно распределена на интервале [a, b], где -a и b — устремлены к бесконечности, то, очевидно, для любого x F(x) будет стремиться к 1-F(x), т.е. вероятность успеха Тани даже при наличии у нее априорной информации будет стремиться к 1/2.
Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>Итак пусть Таня берет строго монотонную возрастающую функцию распределения F на R. То есть F(x) стремится к 1 при x стремящемуся к плюс бесконечности, B>и F(x) стремится к 0 при x стремящемуся к минус бесконечности. Так как вы в своем выборе не накладываете на F никаких ограничений, то я могу добавить свое условие — F(0) = 0,999999999999999999999999999999, больше никакого условия я не ставлю. Так вот, если Таня возьмет такую F, а Петя свои числа в R будет генерить, с помощью случайной величины, задаваемой другой функцией распределения G(x), такой, что G(0) = 0.0000000000000000000000001, то тем, что Таня будет иногда выигрывать, можно пренебречь
До этого Вы, кстати, утверждали всегда, что вероятность равна 1/2. Вполне понятная интуиция. После этого стали утверждать, что она "пролетит". А теперь про какие-то сверх малые...
Изначально вопрос был поставлен качественно "честная ли игра", а не колличественно.
Утверждение следующее: как бы Вова не старался, Таня всегда угадывает с вероятностью больше 1/2. Сам факт, что перед ней уже лежат два написанные числа, которые она еще не видит дает ей вероятность угадать >1/2! И неважно, собственно, как Вова получил эти два числа. Другое дело, что эта вероятность может быть лишь на чуть-чуть больше, чем 1/2, но она всегда больше! Задача Вовы сделать эту вероятность как можно ближе к 1/2.
Если Вас интересует количественная сторона, то все сильно зависит от того, как Вова генерит свои числа, как меняет функцию распределения и т.п.
Был предложен вариант с "равномерным" распределением на Z. Это только на руку Тане, ибо она будет выигрывать с вероятностью, стремящейся к 1!
Вове наоборот, надо называть числа как можно более близкие друг к другу.
Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:
MC>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: V>>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)? V>>С какой вероятностью она угадает?
MC>Если F(x) — функция распределения Вовиного генератора, то действительно, Таня выигравает в любом раунде с вероятностью max(F(x), 1-F(x)), что, очевидно >= 1/2. Однако для реализации такой стратегии и Тани должна быть априорная (о чем Вам с самого начала и говорили) информация о Вовиной функции распределения.
Это неверно.
MC>Более того, есть случай, когда даже такая стратегия Тани приведет к честным фифти-фифти. Если Вовина случайная величина будет равномерно распределена на интервале [a, b], где -a и b — устремлены к бесконечности, то, очевидно, для любого x F(x) будет стремиться к 1-F(x), т.е. вероятность успеха Тани даже при наличии у нее априорной информации будет стремиться к 1/2.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>До этого Вы, кстати, утверждали всегда, что вероятность равна 1/2. Вполне понятная интуиция. После этого стали утверждать, что она "пролетит". А теперь про какие-то сверх малые...
Не передергивайте. Вы уже в течение этого топика несколько раз изменили условие задачи. Там, где я утверждал про 1/2, на стратегию Тани не было
никаких ограничений.
V>Изначально вопрос был поставлен качественно "честная ли игра", а не колличественно. V>Утверждение следующее: как бы Вова не старался, Таня всегда угадывает с вероятностью больше 1/2. Сам факт, что перед ней уже лежат два написанные числа, которые она еще не видит дает ей вероятность угадать >1/2! И неважно, собственно, как Вова получил эти два числа. Другое дело, что эта вероятность может быть лишь на чуть-чуть больше, чем 1/2, но она всегда больше! Задача Вовы сделать эту вероятность как можно ближе к 1/2.
Вам привели уже несколько доказательств, что это не так. Такое впечатление, что вы их вообще не читаете. Если это будет продолжаться и далее, то вести с вами дискуссию не имеет смысла. Давайте так: либо приведите свое доказательство, либо раскритикуйте приведенные вам доказательства, указав, где в них вы видите ошибку.
V>Был предложен вариант с "равномерным" распределением на Z. Это только на руку Тане, ибо она будет выигрывать с вероятностью, стремящейся к 1! V>Вове наоборот, надо называть числа как можно более близкие друг к другу.
Для начала докажите это ваше утверждение. Приведите стратегию Тани, когда она будет выигрывать с вероятностью 1 в этом случае.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: V>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)?
Эта стратегия соответствует тому, что Таня просто генерирует случайное число, используя распределение F и сравнивает названное Вовой с ним. Собственно, Таня может заранее сгенерировать число z. Если x<y и x<z — независимы и P(x<y) = P(x>y), то очевидно, что P(x<y & x<z) + P(x>y & x>z) = P(x<y & x>z) + P(x>y & x<z). Я так понял, что вы утверждаете, что P(x<y & x<z) + P(x>y & x>z) > P(x<y & x>z) + P(x>y & x<z), то есть, x<y и x<z зависимы?
Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>До этого Вы, кстати, утверждали всегда, что вероятность равна 1/2. Вполне понятная интуиция. После этого стали утверждать, что она "пролетит". А теперь про какие-то сверх малые...
B> Не передергивайте. Вы уже в течение этого топика несколько раз изменили условие задачи. Там, где я утверждал про 1/2, на стратегию Тани не было B>никаких ограничений.
Не правда. Условие все тоже. Вова пишет два числа. Таня выбирает одно наугад и говорит, больше ли второе, или меньше. Все, что написано про F() -- это и есть стратегия Тани как она ведет себя в этом случае.
V>>Изначально вопрос был поставлен качественно "честная ли игра", а не колличественно. V>>Утверждение следующее: как бы Вова не старался, Таня всегда угадывает с вероятностью больше 1/2. Сам факт, что перед ней уже лежат два написанные числа, которые она еще не видит дает ей вероятность угадать >1/2! И неважно, собственно, как Вова получил эти два числа. Другое дело, что эта вероятность может быть лишь на чуть-чуть больше, чем 1/2, но она всегда больше! Задача Вовы сделать эту вероятность как можно ближе к 1/2.
B>Вам привели уже несколько доказательств, что это не так. Такое впечатление, что вы их вообще не читаете. Если это будет продолжаться и далее, то вести с вами дискуссию не имеет смысла. Давайте так: либо приведите свое доказательство, либо раскритикуйте приведенные вам доказательства, указав, где в них вы видите ошибку.
Да в том-то и дело, что никто пока не написал чему равна вероятность угадывания, если она воспользуется этой стратегией. Т.е. пусть Вова написал два числа a и b, a < b. Она их не знает. Но использует следующцю стратегию: если она открывает число x, то с вероятностью F(x) она говорит, что второе число меньше, а с вероятностью 1-F(x) -- больше.
V>>Был предложен вариант с "равномерным" распределением на Z. Это только на руку Тане, ибо она будет выигрывать с вероятностью, стремящейся к 1! V>>Вове наоборот, надо называть числа как можно более близкие друг к другу.
B>Для начала докажите это ваше утверждение. Приведите стратегию Тани, когда она будет выигрывать с вероятностью 1 в этом случае.
Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:
V>>А причем тут F(x) и 1-F(x)?
B>А при том, что здесь
Здравствуйте, andyJB, Вы писали:
JB>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: V>>Как мы договорились, Вова пишет два различных числа на бумажках и Таня выбирает одну из них. V>>А что если Таня сразу до того, как увидит число, написанное на одной из бумажек, придумает строго возрастающую функцию распределения F(), и, увидев одно из чисел x, скажет, что второе меньше x с вероятностью F(x), и что второе больше x с вероятностью 1-F(x)? JB>Эта стратегия соответствует тому, что Таня просто генерирует случайное число, используя распределение F и сравнивает названное Вовой с ним. Собственно, Таня может заранее сгенерировать число z. Если x<y и x<z — независимы и P(x<y) = P(x>y), то очевидно, что P(x<y & x<z) + P(x>y & x>z) = P(x<y & x>z) + P(x>y & x<z). Я так понял, что вы утверждаете, что P(x<y & x<z) + P(x>y & x>z) > P(x<y & x>z) + P(x>y & x<z), то есть, x<y и x<z зависимы?
Нет, не так. Пусть Вова написал два числа a и b, которые Таня не знает. Таня смотрит одно число, видит x (x это либо a, либо b, но Таня не знает, большее ли оно, или меньшее), а далее с вероятностью F(x) говорит, что второе число меньше, и с веротяностью 1-F(x), что больше.
Извините, если не очень аккуратно выразился, описывая стратению Тани. Она НЕ может говорить "оно больше с вероятностью ...", но она может посмотрев на число "подбросить монетку" и сказать "больше" с некоторой вероятностью, или "меньше" с некоторой вероятностью. Т.е. ответ однозначный, но с какой вероятностью она дает тот или иной ответ -- личное дело Тани.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Где там новое условие задачи? Там то же самое условие. Это скорее уже ответ... на вопрос, для которого у Вас ответ был 1/2.
Ну чтож. Не затрудните ли себя доказательством, что эта ваша стратегия дает ответ? А то вы пока ничего своего так и не привели. То есть вы считаете, что от F ничего не зависит и она может быть любой? Если так, то давайте я предложу вам конкретную F и мы с вами сыграем на деньги, пользуясь данной стратегией? Скажем в каждом туре ставка 100 рублей, пока кто-то не проиграет 10000?
Не передергивайте. Вы уже в течение этого топика несколько раз изменили условие задачи. Там, где я утверждал про 1/2, на стратегию Тани не было 
на вопрос, для которого у Вас ответ был 1/2.
