Вот так сидишь, думаешь о чем-то, и всплывают задачки из "прошлой жизни".

На сколько частей делит n плоскостей пространство, если каждые 3 из них пересекаются в одной точке, а каждые 4 — нет?

Желательно с обоснованием...

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>Вот так сидишь, думаешь о чем-то, и всплывают задачки из "прошлой жизни".

A>На сколько частей делит n плоскостей пространство, если каждые 3 из них пересекаются в одной точке, а каждые 4 — нет?

A>Желательно с обоснованием...

Лемма:
Найдем M(n) число областей на плоскости,
на которые она делится n- прямыми, такими что
любые две прямые пересекаются в некоторой точке,
но любые три прямые — нет (не в одной точке).

Тогда добавление прямой на плоскость, увеличит
число бластей, на число старых областей, которые
она пересечет. Но n-я прямая пересечет (n-1) ранее
поставленных прямых, следовательно рассечет n областей.

Отсюда: M(n)=M(n-1)+n, M(1)=2.
Следовательно: M(n)=(n^2+n+2)/2.

Обоснование исходного утверждения:
Пуст K(n) искомое число областей.
Добавление одноной плоскости, увеличит число областей,
на число старых областей, которые она делит.
Но новая плоскость, пересекает все n-1 старых
плоскостей, причем, пряме (пересечения со старыми
плоскостями) подчиняются условиям леммы.
Таким образом : K(n)=K(n-1)+M(n-1), K(1)=2, K(2)=4

Результат:
K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Результат:
C>K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6

Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.

Где я ошибся?

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Результат:
C>K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6

Идея правильная, а вот в арифметике ошибся ...
K(n)=(n^3+5n+6)/6

n    K
1    2
2    4
3    8
4    15
5    26
6    42
7    64
8    93
9    130
10   176

M>Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.

M>Где я ошибся?

Плоскости, походящие через грани куба, не удовлетворяют условию.
Возьмем две параллельные грани + любую другую сторону => три грани не
содержат точки пересечения.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Идея правильная, а вот в арифметике ошибся ...
C>K(n)=(n^3+5n+6)/6



Совпало!!! Для тетраэдра — точно 15!
...

M>>Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.

M>>Где я ошибся?

C>Плоскости, походящие через грани куба, не удовлетворяют условию.
C>Возьмем две параллельные грани + любую другую сторону => три грани не
C>содержат точки пересечения.

Да, извиняюсь.