Вот так сидишь, думаешь о чем-то, и всплывают задачки из "прошлой жизни".
На сколько частей делит n плоскостей пространство, если каждые 3 из них пересекаются в одной точке, а каждые 4 — нет?
Желательно с обоснованием...
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>Вот так сидишь, думаешь о чем-то, и всплывают задачки из "прошлой жизни".
A>На сколько частей делит n плоскостей пространство, если каждые 3 из них пересекаются в одной точке, а каждые 4 — нет?
A>Желательно с обоснованием...
Лемма:
Найдем M(n) число областей на плоскости,
на которые она делится n- прямыми, такими что
любые две прямые пересекаются в некоторой точке,
но любые три прямые — нет (не в одной точке).
Тогда добавление прямой на плоскость, увеличит
число бластей, на число старых областей, которые
она пересечет. Но n-я прямая пересечет (n-1) ранее
поставленных прямых, следовательно рассечет n областей.
Отсюда: M(n)=M(n-1)+n, M(1)=2.
Следовательно: M(n)=(n^2+n+2)/2.
Обоснование исходного утверждения:
Пуст K(n) искомое число областей.
Добавление одноной плоскости, увеличит число областей,
на число старых областей, которые она делит.
Но новая плоскость, пересекает все n-1 старых
плоскостей, причем, пряме (пересечения со старыми
плоскостями) подчиняются условиям леммы.
Таким образом : K(n)=K(n-1)+M(n-1), K(1)=2, K(2)=4
Результат:
K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
C>Результат:
C>K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6
Идея правильная, а вот в арифметике ошибся ...
K(n)=(n^3+5n+6)/6
n K
1 2
2 4
3 8
4 15
5 26
6 42
7 64
8 93
9 130
10 176
M>Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.
M>Где я ошибся?
Плоскости, походящие через грани куба, не удовлетворяют условию.
Возьмем две параллельные грани + любую другую сторону => три грани не
содержат точки пересечения.
Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
C>Результат:
C>K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6
Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.
Где я ошибся?
Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
C>Идея правильная, а вот в арифметике ошибся ...
C>K(n)=(n^3+5n+6)/6
Совпало!!! Для тетраэдра — точно 15!
...
M>>Гм, для плоскостей задающих куб и отвечающих, имхо, условию задачи, n = 6, областей я насчитал 27, а по формуле получается 98.
M>>Где я ошибся?
C>Плоскости, походящие через грани куба, не удовлетворяют условию.
C>Возьмем две параллельные грани + любую другую сторону => три грани не
C>содержат точки пересечения.
Да, извиняюсь.