Задачка с международного математического конкурса этого года - Этюды для программистов

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Вряд ли. Число 2001 занесено в Международный Каталог Замечательных Чисел.
M>Например, число 2732 из того же каталога, тоже обладает подобным свойством:
M>sqrt(1+2731*sqrt(1+2732*sqrt(1+2733*sqrt(1+2734*2736)))) = 2732
M>А Pushkin наверняка это знал, но молчал. А мы его раскусили.

Здравствуйте, RS, Вы писали:

A>>>>sqrt(1+2000*sqrt(1+2001*sqrt(1+2002*sqrt(1+2003*2005))))
RS>Ну, кстати, вместо последнего 2005 можно поставить многоточие, устремив количество арифметических действий к бесконечности. В этом случае калькулятор не поможет, а ответ все равно будет 2001 (мне так кажется).

По сложным ассоциациям

вспомнил это.

3   5   9   17
- * - * - * -- * ... = ?
2   4   8   16

А вот такую задачку?

Пусть даны натуральные A>B>1 такие, что A, B, A-B, A+B все простые. Определить, будет ли
A+B+(A-B)+(A+B)

1. простым
2. четным
3. кратным 3
4. кратным 5
5. кратным 7

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>По сложным ассоциациям

вспомнил это.

P>

P>3   5   9   17
P>- * - * - * -- * ... = ?
P>2   4   8   16
P>

2,38423102903137

Евгений

Здравствуйте, Alik, Вы писали:

A>А вот такую задачку?

A>Пусть даны натуральные A>B>1 такие, что A, B, A-B, A+B все простые. Определить, будет ли
A>A+B+(A-B)+(A+B)

B=2, поэтому

простым

четным

кратным 3

кратным 5

кратным 7

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>>

P>>3   5   9   17
P>>- * - * - * -- * ... = ?
P>>2   4   8   16
P>>

M>2,38423102903137
M>

Блин, прошу пардону, третий член там лишний.
Эту я сам не знаю, как решать

Имелось в виду, что знаменатель растёт как 2^(2^n)
Т.е. каждый следующий знаменатель — квадрат предыдущего.

3   5   17   257   32769
- * - * -- * --- * -----... = ?
2   4   16   256   32768

А так как калькуляторы у вас, мерзавцев, у всех есть,

то задача просто объяснить, почему это всё равно двойке.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>
P>

P>3   5   17   257   32769
P>- * - * -- * --- * -----... = ?
P>2   4   16   256   32768 
P>

Теперь с пятым членом проблемы? Ну да ладно.

Рассмотрим до 2^(2^N).

               i=N                i=N                          i=N
Числитель: Nom= П (2^(2^i)+1) = 3* П (2^(2^i)+1) = (2^(2^1)-1)* П (2^(2^i)+1) =
               i=0                i=1                          i=1

                          i=N                          i=N
= (2^(2^1)-1)*(2^(2^1)+1)* П (2^(2^i)+1) = (2^(2^2)-1)* П (2^(2^i)+1) = .....
                          i=2                          i=2

.... = (2^(2^N)-1)*(2^(2^N)+1) = 2^(2^(N+1))-1

                   i=N             i=N                         1
Знаменатель: Denom= П 2^(2^i) = 2^( E  2^i) = 2^(2^(N+1)-1) = --- * 2^(2^(N+1))
                   i=0             i=0                         2

 Nom         2^(2^(N+1))-1
----- = 2* ----------------- --> 2 при N --> +1/0.
Denom         2^(2^(N+1))

Здравствуйте, RS, Вы писали:

RS>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>>
P>>

P>>3   5   17   257   32769
P>>- * - * -- * --- * -----... = ?
P>>2   4   16   256   32768 
P>>

RS>Теперь с пятым членом проблемы? Ну да ладно.

Блин,

с утра башка трещит чегой-то

Решение хорошее.

Оно только на первый взгляд пугает

Вот ещё одно.

(1-q)*(1-q^2)*(1-q^4)*(1-q^8)*(1-q^16)*...

Если "раскрыть" скобки, то будет сумма разных степеней q.
Причём видно, что каждая степень войдёт ровно 1 раз
(т.к. любое число единственным образом набирается степенями двойки).

Поэтому это просто сумма геометрической прогрессии равная 1/(1-q)

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот ещё одно.

P>(1-q)*(1-q^2)*(1-q^4)*(1-q^8)*(1-q^16)*...

P>Если "раскрыть" скобки, то будет сумма разных степеней q.
P>Причём видно, что каждая степень войдёт ровно 1 раз
P>(т.к. любое число единственным образом набирается степенями двойки).

P>Поэтому это просто сумма геометрической прогрессии равная 1/(1-q)

Молодец.

Решение еще проще, чем мое, я че-то не допер до прогрессий.

Здравствуйте, Alik, Вы писали:

A>А вот такую задачку?

A>Пусть даны натуральные A>B>1 такие, что A, B, A-B, A+B все простые.

A и B -- простые, следовательно, нечетные. А сумма и разность нечетных чисел -- число четное. Значит A+B и A-B простыми быть не могут.

--
Дмитрий

Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:

A>>Пусть даны натуральные A>B>1 такие, что A, B, A-B, A+B все простые.

Д>A и B -- простые, следовательно, нечетные. А сумма и разность нечетных чисел -- число четное. Значит A+B и A-B простыми быть не могут.

Как ответил Pushkin, 2 — единственное простое и чётное. Поэтому, на часть вопросов можно ответить.

Я на этом тоже попался.

Евгений

От:	Pushkin	www.linkbit.com
Дата:	27.03.03 11:20
Оценка:

От:	Pushkin	www.linkbit.com
Дата:	27.03.03 11:32
Оценка:

	От:	Alik
	Дата:	27.03.03 11:37
	Оценка:	3 (1)

	От:	mrhru
	Дата:	27.03.03 11:45
	Оценка:

От:	Pushkin	www.linkbit.com
Дата:	27.03.03 11:51
Оценка:

От:	RS	ICQ: 148844272
Дата:	27.03.03 12:54
Оценка:	26 (2)

	От:	Дмитро
	Дата:	29.03.03 08:07
	Оценка: