Здравствуйте, Les, Вы писали:
Les>Легко видеть, что кольцо начнет двигаться в одну сторону, пока не сожмется вокруг одной точки — это когда несколько машинок едут к одной вершине по разным ребрам (например). Les>Не судите строго, тут есть пробелы, но идея ИМХО верная.
Идея имхо интересная, но я пока к сожалению не вижу, как получить из этого что-нибудь определённое...
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Идея имхо интересная, но я пока к сожалению не вижу, как получить из этого что-нибудь определённое...
Интересно, что когда "опровергал" эту идею придумал решение, когда машинки разъезжаются, для многогранника с дыркой (т.е. топологически эквивалентным тору):
Представим многоугольник, составленный из призм соединенных основаниями и "замкнутых" в кольцо.
Очевидно, что если машинки расположены по боковым ребрам призм — они могут последовательно для каждой призмы, одновременно проезжать полграни.
На самом деле, мне кажется, у меня то же самое, но только машинка, от которой стартуют рассуждения, помещена не в центр ребра, а в вершину. Что позволило отлынить от рисования дополнительных картинок
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mogadanez, Вы писали:
M>>>ну как так убедительно? M>>видимо не убедительно
P>Ну ты же понимаешь, каждого своё решение
убеждает больше
P>На самом деле, мне кажется, у меня то же самое, но только машинка, от которой стартуют рассуждения, помещена не в центр ребра, а в вершину. Что позволило отлынить от рисования дополнительных картинок
а не важно, можно и в вершину, если мы на рисунке будем двигать желтую точку вперед по ходу движения, все нарисованые участки будут сдвигаться ровно настолько же...
просто мне показалось, что графически это должно быть нагляднее... ну да ладно.... к вечеру сформулирую что придумал поповоду N угольника.
Вот, о чём говорил Les:
Если взять какой-то момент времени и начать приклеивать дкруг г другу грани, смежные по ребру с машинкой, то рано или поздно мы придём к кольцу.
Причём все машинки едут внутрь кольца.
Специально для MichalP уточнение: могут и наружу, но тоже все. В этом случае надо просто иначе развернуть сферу — проколоть в другой точке, и все поедут внутрь (ну или время назад пустить, кому как нравится)
Далее, существует машинка, которая первой доедет ло своей вершины. Что произойдёт? Кольцо изменится — три верхних жёлтых полигона выпадут, а два внутренних, зелёных — встроятся. Какую величину при этом мы можем гарантировать? Площадь, ограничивающую кольцо снаружи. Она точно уменьшилась, и кажется очевидным, что иначе и быть не могло (все машинки ехали внутрь). Но площадь не может всё время уменьшаться.
Всё. Математических строгостей каждый может навесить столько, сколько требует его математическая совесть А моя, пожалуй, успокоилась.
PS
Оставляю MichaelP удовольствие поразвёртывать на плоскость тор и разобраться с "дырявыми" многогранниками
Рассмотрим мой "любимый" случай двух состыкованных оснрваниями призм, на боковых ребрах которых стоят машинки.
Возьмем одну из призм — на ней существует кольцо из машинок. Теперь одна из машинок выехала на основание призмы. Что же произошло с кольцом? Оно разрушилось и превратильсь в цепочку упирающуюся в кольцо на другой призме!
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Рассмотрим мой "любимый" случай двух состыкованных оснрваниями призм, на боковых ребрах которых стоят машинки. MP>Возьмем одну из призм — на ней существует кольцо из машинок. Теперь одна из машинок выехала на основание призмы. Что же произошло с кольцом? Оно разрушилось и превратильсь в цепочку упирающуюся в кольцо на другой призме!
Прости, не пойму. Может нарисуешь наиболее упрощённо момент перехода кольца в цепочку?
Если это топологически сфера, то всегда можно её проколоть и нарисовать на плоскости...
MP> MP>Рассмотрим мой "любимый" случай двух состыкованных оснрваниями призм, на боковых ребрах которых стоят машинки. MP>Возьмем одну из призм — на ней существует кольцо из машинок. Теперь одна из машинок выехала на основание призмы. Что же произошло с кольцом? Оно разрушилось и превратильсь в цепочку упирающуюся в кольцо на другой призме!
Извиняюсь за "underquoting" в предыдущем сообщении. И, заодно, хочу добавить, что именно этот пример разрушения кольца и привел меня к решению на торе.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Прости, не пойму. Может нарисуешь наиболее упрощённо момент перехода кольца в цепочку? P>Если это топологически сфера, то всегда можно её проколоть и нарисовать на плоскости...
Я еще не встречал человека, который рисовал бы хуже чем я! Но, если подождешь, попробую. А пока постарайся сам представить.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Прости, не пойму. Может нарисуешь наиболее упрощённо момент перехода кольца в цепочку? P>Если это топологически сфера, то всегда можно её проколоть и нарисовать на плоскости...
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Прошу прощения за качество .
Малевич! Теперь я понял, о чём ты говоришь.
Но прости, дорогой, во втором случае у тебя нарисован чёткий и неизбежный кирдык (три машины катят в в верхнюю внутреннюю вершину).
И так и должно было быть. Либо расширяющееся кольцо может и дальше расширяться, либо рушится вся логика. Мы же строили кольцо ДЛЯ ЛЮБОГО момента времени. И вроде все согласились, что оно обязано замкнуться.
Цепочек не бывает. Мы вошли на грань через ребро. По грани ездит машинка. Она на другом ребре (не на том, через которое вошли). Можно идти дальше. Так всегда, пока не придём на ту грань, где уже были. В этот момент кольцо замкнётся. Голову, если надо выбросим, чтобы осталось чистое кольцо. Если оно едет наружу, проколем в центре дырку и перерисуем наоборот — поедут внутрь как миленькие. Прекрати нас пугать расходящимися кольцами — смотрим только на одно конкретное, всегда существующее сходящееся. С каждым достижением машинкой вершины оно сходится ещё больше! Вершин в нём становится всё меньше, и рано или поздно их не хватит для размещения машин реже чем по три на каждую.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Малевич! Теперь я понял, о чём ты говоришь.
Это, когда я говорил, что не встречал людей, которые рисуют хуже меня?
P>Цепочек не бывает. Мы вошли на грань через ребро. По грани ездит машинка. Она на другом ребре (не на том, через которое вошли). Можно идти дальше. Так всегда, пока не придём на ту грань, где уже были. В этот момент кольцо замкнётся. Голову, если надо выбросим, чтобы осталось чистое кольцо. Если оно едет наружу, проколем в центре дырку и перерисуем наоборот — поедут внутрь как миленькие. Прекрати нас пугать расходящимися кольцами — смотрим только на одно конкретное, всегда существующее сходящееся. С каждым достижением машинкой вершины оно сходится ещё больше! Вершин в нём становится всё меньше, и рано или поздно их не хватит для размещения машин реже чем по три на каждую.
Если на втором из моих бессмертных рисунков сделать ход машинкой из левого нижнего угла — получится кольцо из шести машинок! Оно, в свою очередь, может быть разорвано на само себя.
Одним словом, кольца могут претерпевать разнообразные сложные изменения.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
P>>Прости, не пойму. Может нарисуешь наиболее упрощённо момент перехода кольца в цепочку? P>>Если это топологически сфера, то всегда можно её проколоть и нарисовать на плоскости...
MP> MP>Прошу прощения за качество . MP> ЗДЕСЬ БЫЛ РИСУНОК. (Кстати имело смысл выбрасывать? Поймет ли браузер что надо брать из кеша?)
Действительно, облом. (Вот только стрелочки-машинки нужно было рисовать на соответствующих плоскостях.) Пусть вначале активно "оранжевое" кольцо. На следующем рисунке активным становится красное. Затем оранжевое, будучи неактивным "восстанавливает конфигурацию", а потом идет переключение с красного на оранжевое. Тем не менее, это не опровержение гипотезы Александра Сергеевича. Но надо уточнить, что ни для какой машинки скорость не должна стремиться к нулю.
А то, что для тора не выполняется, это понятно. Достаточно порубить плоскость в клетку, и в каждой пустить машинку, с одинаковыми скоростями и одним стартовым углом.
Здравствуйте, Les, Вы писали:
Les>Действительно, облом.
Давай ещё раз, я по пунктом пройдусь, а кто хочет — пусть вставит "упс".
1) Любой многогранник без дырок можно проколоть в одной из граней и нарисовать на плоскости.
2) Стартовав с любой грани, последовательно ведём цепочку, которая из-за конечного количества граней самопересечётся. Отбросим голову, имеем кольцо.
3) Если машинки кольца едут наружу, проколем его в центре и перерисуем иначе. Т.е. утверждение: всегда найдётся кольцо, едущее на плоскости "все внутрь". Далее рассматриваем только его. (Мне кажется, что все возражения Михаила о рвущихся цепочках базируются на расходящихся кольцах,я предлагаю их забыть)
4) Первая машина в нём, достигшая своей вершины, ломает кольцо. Но
а) оно ломается "внутрь", т.е. не может захватить граней извне (т.к. все ехали внутрь, через сломанный полигон наружу нельзя, остальные тоже не выпустят)
б) кольцо не может разорваться — по построению — от каждой грани есть путь к следующей.
в) кольцо может потерять некий хвост в виде цепочки, но тем быстрее мы придём к цели.
5) Таким образом кольцо уменьшается. Т.е. уменьшается суммарное число граней, входящих в кольцо и охваченных им. При этом по-прежнему все машинки едут внутрь.
6) Рано или поздно мы придём к ситуации, когда кольцо есть просто несколько граней, примыкающих к одной вершине — это кирдык.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, Les, Вы писали:
Les>>Действительно, облом.
P>Давай ещё раз, я по пунктом пройдусь, а кто хочет — пусть вставит "упс".
P>1) Любой многогранник без дырок можно проколоть в одной из граней и нарисовать на плоскости.
P>2) Стартовав с любой грани, последовательно ведём цепочку, которая из-за конечного количества граней самопересечётся. Отбросим голову, имеем кольцо.
P>3) Если машинки кольца едут наружу, проколем его в центре и перерисуем иначе. Т.е. утверждение: всегда найдётся кольцо, едущее на плоскости "все внутрь". Далее рассматриваем только его. (Мне кажется, что все возражения Михаила о рвущихся цепочках базируются на расходящихся кольцах,я предлагаю их забыть)
P>4) Первая машина в нём, достигшая своей вершины, ломает кольцо. Но
P>а) оно ломается "внутрь", т.е. не может захватить граней извне (т.к. все ехали внутрь, через сломанный полигон наружу нельзя, остальные тоже не выпустят)
P>б) кольцо не может разорваться — по построению — от каждой грани есть путь к следующей.
P>в) кольцо может потерять некий хвост в виде цепочки, но тем быстрее мы придём к цели.
P>5) Таким образом кольцо уменьшается. Т.е. уменьшается суммарное число граней, входящих в кольцо и охваченных им.
P>При этом по-прежнему все машинки едут внутрь.
Упс.
Еще раз рассмотрим пример Михаила. Изначально рассматриваем внешнее кольцо. Все машинки этого кольца дружно делают круг, в процессе этого движения происходит переключение на внутреннее кольцо, внешнее же возвращается в исходную позицию. Делаем то же самое для внутреннего кольца.
Тем не менее, я думаю что это доказательство можно оживить. Внушает оптимизм, что для того чтобы сделать круг, машинкам кольца нужно, чтобы внутренний (или внешний) периметр был свободен, это сильное ограничение. Так что закон явно имеет место быть, надо искать доказательсьво.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>4) И последнее. Мне по-прежнему кажется очень забавным исследовать любой многогранник (даже не обязательно правильный). Не может ли быть верным следующее топологическое утверждение: если на каждой грани ездит машинка, и все по часовой стрелке, то катастрофы не миновать. Может кто-нить хотя бы контрпример придумает, чтоб я успокоился?
Попробуем так: переберем по индукции все плоские графы.
База: граф, состоящий из единственной вершины и петли. Невозможность разъехаться очевидна
Шаг:
а) Разрыв ребра вершиной. Невозможность разъехаться сохраняется
б) Добавление к графу петли. Невозможность разъехаться сохраняется, поскольку рано или поздно кто-нибудь въедет на "внешнюю" сторону петли и столкнется с машинкой, крутящейся в петле
в) "Растягивание" вершины в гранью. О сохранении ниже по тексту. Вот пример:
Этого достаточно для порождения любого плоского графа, посколько любой плоский граф можно привести к базе обратными операциями
Попробую доказать, что невозможность разъехаться сохраняется и в случае (в).
Смотрим на (в1), (в2). Столкновению должна предшествовать ситуация, когда по всем ребрам извне едут машинки (они управляемы и разбиваться не хотят), иначе они смогут разъехаться, по крайней мере, в случае (в1).
Покажем, что в случае фатальной для (в1) ситуации, столкновение будет и в (в2)
Пусть х — первая из машинок, которая первой въедет в центр. Чтобы машинка, едущая по ребру х выехала "наружу", надо, чтобы машинка, едущая по ребру у, въехала внутрь. Машинка, ездящая внутри, не должна занимать ни ребро, по которому едет х, ни ребро, по которому едет у.
Чтобы машинка, едущая по ребру у выехала "наружу", надо, чтобы машинка, едущая по следующему против часовой стрелки ребру, въехала внутрь... и т.д.
Таким образом мы наращиваем список ребер, запрещенных для внутренней машинки, причем въехать на хвост она не может по причине ориентации по часовой стрелке.
Les>Этого достаточно для порождения любого плоского графа, посколько любой плоский граф можно привести к базе обратными операциями
Les>Попробую доказать, что невозможность разъехаться сохраняется и в случае (в).
Les>Смотрим на (в1), (в2). Столкновению должна предшествовать ситуация, когда по всем ребрам извне едут машинки (они управляемы и разбиваться не хотят), иначе они смогут разъехаться, по крайней мере, в случае (в1). Les>Покажем, что в случае фатальной для (в1) ситуации, столкновение будет и в (в2) Les>Пусть х — первая из машинок, которая первой въедет в центр. Чтобы машинка, едущая по ребру х выехала "наружу", надо, чтобы машинка, едущая по ребру у, въехала внутрь. Машинка, ездящая внутри, не должна занимать ни ребро, по которому едет х, ни ребро, по которому едет у. Les>Чтобы машинка, едущая по ребру у выехала "наружу", надо, чтобы машинка, едущая по следующему против часовой стрелки ребру, въехала внутрь... и т.д. Les>Таким образом мы наращиваем список ребер, запрещенных для внутренней машинки, причем въехать на хвост она не может по причине ориентации по часовой стрелке.
Думал я в этом направлении, правда в обратную сторону. Т.е. я пытался доказать, что если существует решение, то оно будет существовать и на грани со "схлопнутой" вершиной.
А теперь опровержение :
Предположим, что к грани подъехали машинки x, u, при этом машинки y,w находятся где-то далеко на своих гранях и не мешают проехать x, u. Затем аналогично проезжают y, w.
.
: