Когда ответ предполагает зависимость только от заданных переменных, этим можно нагло пользоваться .

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.
RO>Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

В данном случае s = s(s1, s2, s3). Произвольные s1, s2, s3 могут быть заданы в равностороннем треугольнике.
Сторона равностороннего треугольника пропорциональна корню из площади, а сумма сторон трех маленьких треугольников равна стороне большого треугольника. Удаляя коэффициент пропорциональности получаем sqrt(s) = sqrt(s1) + sqrt(s2) + sqrt(s3).

RO>2.
RO>Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.

s = s(L). Произвольные значения L могут быть заданы в квадрате.
Диагонали квадрата равны L/2. Сторона квадрата = L/(2sqrt(2)). Площадь: s = (L^2) / 8.

RO>3.
RO>Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?

Замечание: здесь условие уже поменяли: прямые углы при вершине не у двух граней, а у одной, у которой боковые стороны пропорциональны m и n.

s1/s2 = f(m, n) (можно даже сразу = f(m/n), но не будем усложнять)
Возьмем прямоугольный параллелепипед в основании которого прямоугольник m x n. Выберем любую вершину S и скажем, что это вершина нашей пирамиды, а три соседние вершины A, B и C образуют основание. Чтобы полученная таким образом пирамида попадала под условие, необходимо, чтобы проекция вершины на основание попадала на пересечение высот. Однако в данном случае это очевидно так. Например, т.к. ребро SB перпендикулирно плоскости SAC, а значит проекция SB на ACB перпендикулярно AC. Для остальных ребер аналогично. Так как площадь каждой боковой грани полученной пирамиды равна половине площади соответствующей грани параллелепипеда, то площади тех граней, которые не лежат в его основании, пропорциональны m и n: f(m, n) = m / n.