1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.

Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

2.

Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.

3.

Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?

"Roman Odaisky" <48787@users.rsdn.ru> сообщил/сообщила в новостях следующее: news:1853097@news.rsdn.ru...
> 1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.
>
> Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.
Решение: Каждый из маленьких треугольников подобен большому треугольнику (согласно одному из признаков подобия треугольников). Если сделать общее геометрическое постороение, то достаточно просто доказать, что сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна единице. Далее следует, что отношения площадей маленьких треугольников к плошади большого треугольника равно квадратам этих коэффициентов. Дальше просто: площадь каждого маленького треугольника выражаем как произведение плошади большого треугольника на квадрат соответствующего коэффициента подобия. Просуммировав корни этих величин и вынеся за скобки общий множитель, получаем произведение корня плошади всего треугольника на сумму коэффициентов подобия, которая, как сказано выше, равна единице. Дальше следует ответ.

>
> 2.
>
> Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.

Ответ: Площадь четырехугольника равна L*L/8.
Решение: Сделав геометрическое построение, не трудно показать, что выбранная точка и стороны прямоугольника, на которые опущены перпендикуляры, образуют два равносторонних прямоугольных треугольника, которые соприкасаются вершинами при пямых углах. Далее не трудно показать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой и равны по длине. Т.к. сумма диагоналей равна L, то длина каждой диагонали равна L/2. А площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей.

> 3.
>
> Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?

Ответ: Площади боковых граней имеют такое же отношение как и у сторон m:n.
Решение: Первое предложение условия задачи является лишним, наверное служит для того, чтоб запутать того, кто будет ее решать. Две боковые грани имеют общее ребро, выходящее из вершин при при прямых углах обеих граней. Плошадь каждой из этих граней равна половине произведения общего ребра на одну из сторон, отношения которых даны в условии задачи.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:


>> 1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.
>>
>> Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.

Это-то просто, да. Её я даже решил сам в своё время :)

>>
>> 2.
>>
>> Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.

R>Ответ: Площадь четырехугольника равна L*L/8.
R>Решение: Сделав геометрическое построение, не трудно показать, что выбранная точка и стороны прямоугольника, на которые опущены перпендикуляры, образуют два равносторонних (равнобедренных? — Р. О.) прямоугольных треугольника, которые соприкасаются вершинами при пямых углах. Далее не трудно показать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой и равны по длине. Т.к. сумма диагоналей равна L, то длина каждой диагонали равна L/2. А площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей.

Они-то перпендикулярны и равны, но как это красивенько доказать? Я знаю доказательство в одну строчку :)

>> 3.
>>
>> Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?

R>Ответ: Площади боковых граней имеют такое же отношение как и у сторон m:n.

Всё думал: не допущу ли где ошибку? Просто нет подходящей софтины, чтобы нарисовать... Ошибку-таки допустил. Прямой угол не у тех двух боковых граней, а между теми ребрами, которые m:n. Так куда интереснее! ;)

"Roman Odaisky" <48787@users.rsdn.ru> wrote in message news:1853665@news.rsdn.ru...
> Здравствуйте, rg45, Вы писали:
>
>
> >> 2.
> >>
> >> Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.
>
> R>Ответ: Площадь четырехугольника равна L*L/8.
> R>Решение: Сделав геометрическое построение, не трудно показать, что выбранная точка и стороны прямоугольника, на которые опущены перпендикуляры, образуют два равносторонних (равнобедренных? — Р. О.) прямоугольных треугольника, которые соприкасаются вершинами при пямых углах. Далее не трудно показать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой и равны по длине. Т.к. сумма диагоналей равна L, то длина каждой диагонали равна L/2. А площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей.
>
> Они-то перпендикулярны и равны, но как это красивенько доказать? Я знаю доказательство в одну строчку

Ну имея картинку это действительно просто: равная длина диагоналей доказывается по признакам подобия и равенства треугольников. А их перпендикулярность следует из перпендикулярности равных сторон равных треугольников.

>
> >> 3.
> >>
> >> Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?
>
> Всё думал: не допущу ли где ошибку? Просто нет подходящей софтины, чтобы нарисовать... Ошибку-таки допустил. Прямой угол не у тех двух боковых граней, а между теми ребрами, которые m:n. Так куда интереснее!

Ну неплохо бы тогда заново сформулировать условие задачи полностью, а то легко запутаться.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Ну неплохо бы тогда заново сформулировать условие задачи полностью, а то легко запутаться.

Хорошо. Вот даже что сотворил (не ту вещь назвали WordArt! ):



Итак, SABC — треугольная пирамида, H — ортоцентр ∆ABC, SH перпендикулярна (ABC), SA перпендикулярна SC, SA:SC = m:n. Вот. S(∆SBA):S(∆SBC) — ?

Здравствуйте, rg45, Вы писали:


R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.

Кто такие "корни треугольников"?

"Erop" <39916@users.rsdn.ru> wrote in message news:1854828@news.rsdn.ru...
> Здравствуйте, rg45, Вы писали:
>
>
> R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.
>
> Кто такие "корни треугольников"?

Да вот я все думал заметят или не заметят мой ляпсус
Удалять сообщение и постить заново было очень уж лениво.
Конечно же, имелось ввиду "суммы корней площадей маленьких треугольников"
Ну раз уж заметили, то прошу прощения.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

>> Кто такие "корни треугольников"?
R>Да вот я все думал заметят или не заметят мой ляпсус
R>Удалять сообщение и постить заново было очень уж лениво.
R>Конечно же, имелось ввиду "суммы корней площадей маленьких треугольников"
R>Ну раз уж заметили, то прошу прощения.

Да я понял про площади, просто прикольно написано было. Особенно прикольно что в ответах тоже цитировали.
А за извинения спасибо.

"Erop" <39916@users.rsdn.ru> сообщил/сообщила в новостях следующее: news:1854877@news.rsdn.ru...
>
> Да я понял про площади, просто прикольно написано было. Особенно прикольно что в ответах тоже цитировали.
> А за извинения спасибо.

"Roman Odaisky" <48787@users.rsdn.ru> сообщил/сообщила в новостях следующее: news:1854404@news.rsdn.ru...
> Здравствуйте, rg45, Вы писали:
>
> R>Ну неплохо бы тогда заново сформулировать условие задачи полностью, а то легко запутаться.
>
> Хорошо. Вот даже что сотворил (не ту вещь назвали WordArt! ):
>
>
>
> Итак, SABC — треугольная пирамида, H — ортоцентр ∆ABC, SH перпендикулярна (ABC), SA перпендикулярна SC, SA:SC = m:n. Вот. S(∆SBA):S(∆SBC) — ?

Эквивалентность первой и второй формулировок доказывается математически.
Все три угла привершине этой пирамиды оказываются прямыми и ответ остается тот же: m:n.

Во второй формулировке задача оказывается гораздо более интересной.

Когда ответ предполагает зависимость только от заданных переменных, этим можно нагло пользоваться .

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.
RO>Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

В данном случае s = s(s1, s2, s3). Произвольные s1, s2, s3 могут быть заданы в равностороннем треугольнике.
Сторона равностороннего треугольника пропорциональна корню из площади, а сумма сторон трех маленьких треугольников равна стороне большого треугольника. Удаляя коэффициент пропорциональности получаем sqrt(s) = sqrt(s1) + sqrt(s2) + sqrt(s3).

RO>2.
RO>Дан выпуклый четырехугольник. Внутри него выбрана точка M. Из точки M опущены перпендикуляры на две противоположные стороны четырехугольника. Оказалось, что оба они — серединные, мало того, длины каждого из этих перпендикуляров равны половинам длин тех сторон, на которые они опущены. Сумма длин диагоналей четырехугольника — L. Найти площадь четырехугольника.

s = s(L). Произвольные значения L могут быть заданы в квадрате.
Диагонали квадрата равны L/2. Сторона квадрата = L/(2sqrt(2)). Площадь: s = (L^2) / 8.

RO>3.
RO>Дана треугольная пирамида, высота которой опускается в ортоцентр основания. Две из трех боковых граней имеют при вершине пирамиды прямые углы. Боковые ребра третьей грани имеют длины, которые относятся, как m:n. Как относятся площади остальных двух боковых граней?

Замечание: здесь условие уже поменяли: прямые углы при вершине не у двух граней, а у одной, у которой боковые стороны пропорциональны m и n.

s1/s2 = f(m, n) (можно даже сразу = f(m/n), но не будем усложнять)
Возьмем прямоугольный параллелепипед в основании которого прямоугольник m x n. Выберем любую вершину S и скажем, что это вершина нашей пирамиды, а три соседние вершины A, B и C образуют основание. Чтобы полученная таким образом пирамида попадала под условие, необходимо, чтобы проекция вершины на основание попадала на пересечение высот. Однако в данном случае это очевидно так. Например, т.к. ребро SB перпендикулирно плоскости SAC, а значит проекция SB на ACB перпендикулярно AC. Для остальных ребер аналогично. Так как площадь каждой боковой грани полученной пирамиды равна половине площади соответствующей грани параллелепипеда, то площади тех граней, которые не лежат в его основании, пропорциональны m и n: f(m, n) = m / n.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:


R>"Roman Odaisky" <48787@users.rsdn.ru> сообщил/сообщила в новостях следующее: news:1853097@news.rsdn.ru...
>> 1. Вроде бы известная, но вдруг кто не знает.
>>
>> Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?

R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.
R>Решение: Каждый из маленьких треугольников подобен большому треугольнику (согласно одному из признаков подобия треугольников). Если сделать общее геометрическое постороение, то достаточно просто доказать, что сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна единице. Далее следует, что отношения площадей маленьких треугольников к плошади большого треугольника равно квадратам этих коэффициентов. Дальше просто: площадь каждого маленького треугольника выражаем как произведение плошади большого треугольника на квадрат соответствующего коэффициента подобия. Просуммировав корни этих величин и вынеся за скобки общий множитель, получаем произведение корня плошади всего треугольника на сумму коэффициентов подобия, которая, как сказано выше, равна единице. Дальше следует ответ.

Блин так и не понял как доказать, что сумма коэфициентов подобий равна 1. уже даже хотел расписать косинус суммы углов треугольников. Не понимаю, откуда из всех этих отношений берётся единица?

"TarasKo" <50382@users.rsdn.ru> wrote in message news:1874841@news.rsdn.ru...
>>> Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?
>
> R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.
> R>Решение: Каждый из маленьких треугольников подобен большому треугольнику (согласно одному из признаков подобия треугольников). Если сделать общее геометрическое постороение, то достаточно просто доказать, что сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна единице. Далее следует, что отношения площадей маленьких треугольников к плошади большого треугольника равно квадратам этих коэффициентов. Дальше просто: площадь каждого маленького треугольника выражаем как произведение плошади большого треугольника на квадрат соответствующего коэффициента подобия. Просуммировав корни этих величин и вынеся за скобки общий множитель, получаем произведение корня плошади всего треугольника на сумму коэффициентов подобия, которая, как сказано выше, равна единице. Дальше следует ответ.
>
> Блин так и не понял как доказать, что сумма коэфициентов подобий равна 1. уже даже хотел расписать косинус суммы углов треугольников. Не понимаю, откуда из всех этих отношений берётся единица?



Итак, прямые, проведенные через точку O параллельны стронам треугольника, значит треугольники OFG, OEI и OHD подобны треугольнику ABC. Обозначим их коэффициенты подобия как K1, K2 и K3 (здесь и далее подразумевается, что коэффициенты подобия берутся по отношению к треугольнику ABC). Требуется доказать, что K1 + K2 + K3 = 1.

1.По построению: AF + FG + GB = AB;
2.Т.к. AF = OD и GB = OE, то OD + FG + OE = AB;
3.Из условия подобия треугольников: OD = AB*K1, OE = AB*K2, FG = AB*K3;
4.Подставив выражения из п.3 в выражение п.2 получаем: AB*K1 + AB*K2 + AB*K3 = AB;
5. Разделив обе части этого уравнения на AB получаем: K1 + K2 + K3 = 1 ч.т.д.

Доказанное свойство используется в металлургии для построения диаграмм состояний трехкомпонентных сплавов: диаграмма имеет вид треугольника, каждая точка которого представляется собой определенный состав сплава, сумма относительных содержаний компонентов в любой точке равна 1.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:


R>"TarasKo" <50382@users.rsdn.ru> wrote in message news:1874841@news.rsdn.ru...
>>>> Дан треугольник. Внутри него выбрана точка M. Через точку M проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они делят треугольник на три параллелограмма и на три треугольничка. Площади последних — S_1, S_2, S_3. Чему равна площадь всего треугольника?
>>
>> R>Ответ: Площадь всего треугольника равна квадрату суммы корней маленьких треугольников.
>> R>Решение: Каждый из маленьких треугольников подобен большому треугольнику (согласно одному из признаков подобия треугольников). Если сделать общее геометрическое постороение, то достаточно просто доказать, что сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна единице. Далее следует, что отношения площадей маленьких треугольников к плошади большого треугольника равно квадратам этих коэффициентов. Дальше просто: площадь каждого маленького треугольника выражаем как произведение плошади большого треугольника на квадрат соответствующего коэффициента подобия. Просуммировав корни этих величин и вынеся за скобки общий множитель, получаем произведение корня плошади всего треугольника на сумму коэффициентов подобия, которая, как сказано выше, равна единице. Дальше следует ответ.
>>
>> Блин так и не понял как доказать, что сумма коэфициентов подобий равна 1. уже даже хотел расписать косинус суммы углов треугольников. Не понимаю, откуда из всех этих отношений берётся единица?

R>

R>Итак, прямые, проведенные через точку O параллельны стронам треугольника, значит треугольники OFG, OEI и OHD подобны треугольнику ABC. Обозначим их коэффициенты подобия как K1, K2 и K3 (здесь и далее подразумевается, что коэффициенты подобия берутся по отношению к треугольнику ABC). Требуется доказать, что K1 + K2 + K3 = 1.

R>1.По построению: AF + FG + GB = AB;
R>2.Т.к. AF = OD и GB = OE, то OD + FG + OE = AB;
R>3.Из условия подобия треугольников: OD = AB*K1, OE = AB*K2, FG = AB*K3;
R>4.Подставив выражения из п.3 в выражение п.2 получаем: AB*K1 + AB*K2 + AB*K3 = AB;
R>5. Разделив обе части этого уравнения на AB получаем: K1 + K2 + K3 = 1 ч.т.д.

R>Доказанное свойство используется в металлургии для построения диаграмм состояний трехкомпонентных сплавов: диаграмма имеет вид треугольника, каждая точка которого представляется собой определенный состав сплава, сумма относительных содержаний компонентов в любой точке равна 1.

Гениально! и как я не допёр