Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.

P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые).
P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается,
P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию.
P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?

Обозначим:
P(n,m)- вероятность вынуть последним черный шар,, если в урне n -черных и m белых шаров.
Cб(k,n,m)- вероятность, того что следующая серия будет серией из k белых шаров (при том, что сейчас в урне n и m шаров).
Cч(k,n,m)- вероятность, того что следующая серия будет серией из k черных шаров

Очевидно:
P(n,0)=0
P(0,n)=1
P(k,k)=0.5; в частности P(1,1)=0.5

из нормировки вероятностей "какя-то серия обязательно выпадет"
summ(k=1,k<=n)Cч(k,n,m) + summ(k=1,k<=m)Cб(k,n,m))=1

Далее менее очевидные равентсва:
Cч(n,n,m)=n!m!/(n+m)!
Cб(m,n,m)=n!m!/(n+m)!

Cч(n,n,m)=Cб(m,n,m)

Будем проводить доказательство по индукции. пусть дано что для бубой пары n,m такой что:
n>0,m>0,n+m<X верно P(n,m)=0.5. докажем теперь для случая n>0,m>0,n+m=X


P(n,m)=
=summ(k=1,k<=n)(P(n-k,m)*Cч(k,n,m)) + summ(k=1,k<=m)(P(n,m-k)*Cб(k,n,m))=
=summ(k=1,k<n)(P(n-k,m)*Cч(k,n,m)) + summ(k=1,k<m)(P(n,m-k)*Cб(k,n,m))+
+ Cч(n,n,m)*1 + Cб(m,n,m)*0 =
=summ(k=1,k<n)(0.5*Cч(k,n,m)) + summ(k=1,k<m)(0.5*Cб(k,n,m))+
+ Cч(n,n,m)*0.5 + Cб(m,n,m)*0.5 =
=summ(k=1,k<=n)(0.5*Cч(k,n,m)) + summ(k=1,k<=m)(0.5*Cб(k,n,m))=
=0.5* ( summ(k=1,k<=n)Cч(k,n,m) + summ(k=1,k<=m)Cб(k,n,m)) )=
=0.5

для случая X=2, ответ очевиден. (P(1,1)=0.5), для всех X>2 доказываем по индукции.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

Круто, конечно. Впечатляет.
И вроде правильно всё.
Но блин! Неужели никак нельзя проще?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Доказать как?
Что именно доказать?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Нет!

Да я уже понял

Я обрадовался своему ответу, так как нашёл для него решение по индукции.
А потом нашел индуктивное решение для правильного ответа, правда не формализовал его еще.





PS. Если есть ещё какие нибудь варианты правильных ответом, то у меня найдутся индуктивные решения и для них

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, DemAS, Вы писали:

P>
DAS>> Но помоему этот ответ очевиден — если мы ничего не знаем о том, что было в начале эксперимента...

P>Знаем! Мы знаем, что там N белых и M чёрных. Например, 100 белых и 1 чёрный.
P>Ставим 1000 таких ящиков. И 500 из них остаётся чёрный шар. Разве не забавно?

Извиняюсь, исходная задача была так сформулирована, что такое толкование, как у DemAS, — это первое что приходит в голову.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.

P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые).
P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается,
P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию.
P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?

Странно, если исходить из формулировки задачи, приведенной мною выше, то имеем:

Пусть в урне m белых и n черных шаров, тогда всего исходов

Число сочетаний из m+n по m. Благоприятный исход, если последний шар ва урне белый, т.е. в последовательности из m+n-1 шаров д.б. m-1 белый шар. Таких последовательностей число сочетаний из m+n-1 по m-1. Делим это дело
(m+n-1)! (m+n)! m
--------- : ------- = -----.
(m-1)!n! n!m! n + m

В чем ошибка?

P>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

Мне всё больше и больше нравится твоё доказательство, но, к сожалению, многие поленятся читать формулы. Поэтому я, с твоего разрешение, попробую изложить то же самое словами. Поправь, если где совру.

Итак, вероятность получить в конце чёрный является, очевидно, суммой вероятностей различных первых серий, умноженных на вероятности вытащить последним чёрный из того, что осталось. Последние по предположениию индукции равны 1/2 и выносятся за скобки. В скобках остаётся сумма вероятностей всех возможных первоначальных серий — очевидно, 1.

Единственная неприятность — мы можем в качестве первой серии вытащить сразу все белые (и тогда вероятность вынуть последний чёрный из остатка равна единице) или все чёрные (вероятность последнего чёрного будет ноль). Но к счастью, вероятности двух этих серий равны — просто потому, что это одно и то же расположение, просто на него посмотрели с разных сторон. Поэтому вполне можно считать, что и здесь не 1+0, а 0.5+0.5.

Здравствуйте, DOOM, Вы писали:

DOO>Странно, если исходить из формулировки задачи, приведенной мною выше, то имеем:

Твоя формулировка не эквивалентна исходной.
Неудачный ход был! Потому, что мы возвращаем неудачно вытянутый шар назад.
В твоей формулировке, вероятность того, что на любом месте последовательности (хоть первом хоть последнем) лежит черный шар, равна, разумеется, просто доле этих шаров в общем числе.

DOO> m
DOO> -----.
DOO> n + m

Если что-то остаётся неясным, посмотри случай 2+1, разобранный выше.