Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Обозначим:
P(n,m)- вероятность вынуть последним черный шар,, если в урне n -черных и m белых шаров.
Cб(k,n,m)- вероятность, того что следующая серия будет серией из k белых шаров (при том, что сейчас в урне n и m шаров).
Cч(k,n,m)- вероятность, того что следующая серия будет серией из k черных шаров
Очевидно:
P(n,0)=0
P(0,n)=1
P(k,k)=0.5; в частности P(1,1)=0.5
из нормировки вероятностей "какя-то серия обязательно выпадет"
summ(k=1,k<=n)Cч(k,n,m) + summ(k=1,k<=m)Cб(k,n,m))=1
Далее менее очевидные равентсва:
Cч(n,n,m)=n!m!/(n+m)!
Cб(m,n,m)=n!m!/(n+m)!
Cч(n,n,m)=Cб(m,n,m)
Будем проводить доказательство по индукции. пусть дано что для бубой пары n,m такой что: n>0,m>0,n+m<X верно P(n,m)=0.5. докажем теперь для случая n>0,m>0,n+m=X
Мне всё больше и больше нравится твоё доказательство, но, к сожалению, многие поленятся читать формулы. Поэтому я, с твоего разрешение, попробую изложить то же самое словами. Поправь, если где совру.
Итак, вероятность получить в конце чёрный является, очевидно, суммой вероятностей различных первых серий, умноженных на вероятности вытащить последним чёрный из того, что осталось. Последние по предположениию индукции равны 1/2 и выносятся за скобки. В скобках остаётся сумма вероятностей всех возможных первоначальных серий — очевидно, 1.
Единственная неприятность — мы можем в качестве первой серии вытащить сразу все белые (и тогда вероятность вынуть последний чёрный из остатка равна единице) или все чёрные (вероятность последнего чёрного будет ноль). Но к счастью, вероятности двух этих серий равны — просто потому, что это одно и то же расположение, просто на него посмотрели с разных сторон. Поэтому вполне можно считать, что и здесь не 1+0, а 0.5+0.5.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
IMHO стремиться быть 1/2.
Изначальная вероятность Б/Ч
Чем больше перекос в одну сторону тем больше вероятность вытаскиванием шара её выровнять.
Если там 500Б/1Ч, то мы с вероятностью 500/1 вытянем белый, а вытащив чёрный бросим обратно и так до тех пор пока не останеться равное кол-во чёрных и белых, система шаров самоболансируема.
Это вроде качель. С одной стороны чёрные шары, м другой белые, через центр не катаються.
Каких больше, те и скатываються, пока их не станет равное кол-во, а из-за "ветра" они всё равно продолжают скатываться, но как только с одной стороны стало меньше система начинает уравновешиваться.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Есть у меня одна идея, правда не есть решение
Задача эквивалентна следующей: из урны поочередно тянут шары, какова вероятность, что последним вытащат белый. Поясняю идею: мы тянем шары одного цвета и, если вытянули другого, кладем обратно. Таким образом неудачного хода просто не было! А мы тянем шары не обращая внимания ни на что.
Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые).
Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается,
как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию.
Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Вау!!! По-моему, суперзадачка!!!
Ответ — вероятность достать последним чёрный шар равна вероятности достать первым чёрный шар!!!
А?
Евгений, с приветом (но без остроумной подписи, к сожалению )
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P> ... P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые).
Вот тут непонятно: в начальный момент времени, число черных и белых шаров в урне равно друг другу? дано условиями задачи? неиизветно? P> ...
Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
C>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>> ... P>>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). C>Вот тут непонятно: в начальный момент времени, число черных и белых шаров в урне равно друг другу?
Неизвестно.
...дано условиями задачи?
Нет.
неиизветно?
Да.
P>> ...
Атож!
Евгений, с приветом (но без остроумной подписи, к сожалению )
Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
P>>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). C>Вот тут непонятно: в начальный момент времени, число черных и белых шаров в урне равно друг другу? дано условиями задачи? неиизветно?
Ну хочешь пусть там будет M и N.
Ответ поразительный — для любых M>0 и N>0 вероятность вытянуть последним чёрный шар равна 1/2 !!!
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
P>>>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). C>>Вот тут непонятно: в начальный момент времени, число черных и белых шаров в урне равно друг другу? дано условиями задачи? неиизветно?
P>Ну хочешь пусть там будет M и N. P>Ответ поразительный — для любых M>0 и N>0 вероятность вытянуть последним чёрный шар равна 1/2 !!!
Черных — 2, белых — 1.
С р=2/3 первым достаем черный, тогда вероятность достать черный последним равна 1/2
С р=1/3 первым достаем белый, тогда вероятность достать черный последним равна 1
Итого 2/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 1/3 + 1/3 = 2/3!
Евгений, с приветом (но без остроумной подписи, к сожалению )
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Черных — 2, белых — 1.
M>С р=2/3 первым достаем черный, тогда вероятность достать черный последним равна 1/2
Неа. Положительный исход в этом случае такой: с вероятность 1/2 вытаскиваем белый. После этого с вероятностью 1/2 еще раз вытаскиваем белый. Итого вероятность 2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/3.
У меня тока ноль идей. Единственное, что очевидно — P(K,M) + P(M,K) = 1, где P(K,M) — вероятность вытащить последним черный при K черных и M белых. Сейчас еще попробую индукцией пошуровать.
M M>Черных — 2, белых — 1.
M>С р=2/3 первым достаем черный, тогда вероятность достать черный последним равна 1/2
Нет!
1/2 что ты вытащишь встык к первому второй чёрный (и тогда уж точно последним будет белый)
1/2 что ты вытащишь вторым белый шар, вернёшь его, и будет ещё 1/2 что последним будет чёрный
M>С р=1/3 первым достаем белый, тогда вероятность достать черный последним равна 1
это так
M>Итого 2/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 1/3 + 1/3 = 2/3!
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
У меня эта задача была на областной мат олимпиаде в 95 году.
я ее решил путем логических рассуждений. решение признали правильным.
Олимпиаду я проиграл(7е место), но получил поощрительный приз за лучшее логическое решение.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Ну хочешь пусть там будет M и N. P>Ответ поразительный — для любых M>0 и N>0 вероятность вытянуть последним чёрный шар равна 1/2 !!!
Никогда не изучал теор. вер. и не знаю ни одной формулы.
Но помоему этот ответ очевиден — если мы ничего не знаем о том, что было в начале эксперимента, то есть задача сводится к следующей — в коробе один шар — может черный, может белый 50/50, какова вероятность вытащить черный/белый. Естественно 1/2. И как я понимаю, от этого:
P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию.
+Х(х/с) --- вытаскиваем X с вероятностью х/с (х — число шаров Х, с — суммарное число шаров в урне)
+Х --- вытаскиваем оставшийся Х
-Х --- возвращаем Х в урну
Итого возможны следующие сессии.
+Ч(2/3) +Ч(1/2) +Б -Б +Б ==> Б(1/3)
+Ч(2/3) +Б(1/2) -Б +Ч(1/2) +Б -Б +Б ==> Б(1/6)
+Б(1/3) +Ч(2/2) -Ч +Ч(2/2) +Ч ==> Ч(1/2)
Во второй сессии после первой серии из 1 черного шара белый шар пришлось сразу же вернуть.
DAS> Но помоему этот ответ очевиден — если мы ничего не знаем о том, что было в начале эксперимента...
Знаем! Мы знаем, что там N белых и M чёрных. Например, 100 белых и 1 чёрный.
Ставим 1000 таких ящиков. И 500 из них остаётся чёрный шар. Разве не забавно?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mogadanez, Вы писали:
M>>Олимпиаду я проиграл(7е место), но получил поощрительный приз за лучшее логическое решение.
P>Не томи, давай решение. Тем более, раз сам решил
смеешься... 8 лет не мало... в голове осталась только гордость от того что решил =))
вечером домой прийду, поковыряюсь. сейчас работы много....
Здравствуйте, Kluge, Вы писали:
K>Чем больше перекос в одну сторону тем больше вероятность вытаскиванием шара её выровнять. K>Это вроде качель. С одной стороны чёрные шары, м другой белые, через центр не катаються. K>Хм-м в голове это было простым и очевидным
Я обрадовался своему ответу, так как нашёл для него решение по индукции.
А потом нашел индуктивное решение для правильного ответа, правда не формализовал его еще.
PS. Если есть ещё какие нибудь варианты правильных ответом, то у меня найдутся индуктивные решения и для них
Евгений, с приветом (но без остроумной подписи, к сожалению )
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
P> DAS>> Но помоему этот ответ очевиден — если мы ничего не знаем о том, что было в начале эксперимента...
P>Знаем! Мы знаем, что там N белых и M чёрных. Например, 100 белых и 1 чёрный. P>Ставим 1000 таких ящиков. И 500 из них остаётся чёрный шар. Разве не забавно?
Извиняюсь, исходная задача была так сформулирована, что такое толкование, как у DemAS, — это первое что приходит в голову.
Евгений, с приветом (но без остроумной подписи, к сожалению )
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот задача, у которой гениально простой ответ, но я не знаю решения.
P>В урне белые и чёрные шары (точно не все одиаковые). P>Я выкидываю шары сериями — пока идёт один цвет, серия продолжается, P>как наткнулся на другой, возвращаю его в урну, перемешиваю и начинаю новую серию. P>Какова вероятность, достать последним чёрный шар?
Странно, если исходить из формулировки задачи, приведенной мною выше, то имеем:
Пусть в урне m белых и n черных шаров, тогда всего исходов
Число сочетаний из m+n по m. Благоприятный исход, если последний шар ва урне белый, т.е. в последовательности из m+n-1 шаров д.б. m-1 белый шар. Таких последовательностей число сочетаний из m+n-1 по m-1. Делим это дело
(m+n-1)! (m+n)! m
--------- : ------- = -----.
(m-1)!n! n!m! n + m
Здравствуйте, DOOM, Вы писали:
DOO>Странно, если исходить из формулировки задачи, приведенной мною выше, то имеем:
Твоя формулировка не эквивалентна исходной.
Неудачный ход был! Потому, что мы возвращаем неудачно вытянутый шар назад.
В твоей формулировке, вероятность того, что на любом месте последовательности (хоть первом хоть последнем) лежит черный шар, равна, разумеется, просто доле этих шаров в общем числе.
DOO> m DOO> -----. DOO> n + m
Если что-то остаётся неясным, посмотри случай 2+1, разобранный выше.
Единственное, что очевидно — P(K,M) + P(M,K) = 1, где P(K,M) — вероятность вытащить последним черный при K черных и M белых. Сейчас еще попробую индукцией пошуровать.
Перекуём баги на фичи!
