Я слышал, что обещана премия Филдса за введение в математику понятия “время”. Нагуглить это не удалось. Предлагаю порассуждать на данную тему.
Интуитивно кажется, что число 1000 более “позднее”, чем число 1. Кроме того, введение времени в математику помогло бы ответить на вопрос, чем потенциальная бесконечность отличается от актуальной.
Более конкретные рассуждения предполагают поиск ответов на вопрос “почему” в математике. В физике можно провести длинную цепочку рассуждений, почему такое-то явление является таким-то, и в итоге придём к стандартной модели и базовым концепциям в физике. Приведу цитаты из книги “Мечты об окончательной теории”:

	Фрагмент 1
	Мел белый. Почему? Один ответ, который можно дать сразу, таков: мел белый потому, что он не какого-то другого цвета. Такой ответ безусловно понравился бы лировскому шуту, но на самом деле он не так уж далек от истины. Уже во времена Хаксли знали, что каждый цвет в радуге связан со светом определенной длины волны — более длинные волны соответствуют красному концу спектра, более короткие — голубому. Белый свет рассматривался как смесь света многих разных цветов. При падении света на непрозрачное вещество вроде мела только часть его отражается, а другая часть поглощается. Вещество определенного цвета, например зелено-синего, присущего многим соединениям меди (медно-алюминиевые фосфаты в турмалине) или 22 синего, характерного для соединений хрома, имеет такой цвет потому, что вещество поглощает свет строго определенных длин волн; цвет, который мы видим в свете, отраженном от вещества, связан со светом тех длин волн, которые поглощаются не слишком сильно. Оказывается, что карбонат кальция, из которого и состоит мел, особенно сильно поглощает свет только в области инфракрасных и ультрафиолетовых длин волн, все равно не видимых глазом. Поэтому свет, отраженный от куска мела, имеет практически такое же распределение по длинам волн видимого света, как и свет, падающий на мел. Благодаря этому и возникает ощущение белизны, будь то у мела, облака или снега. Почему? Почему некоторые вещества сильно поглощают видимый свет определенных длин волн, а другие нет? Оказывается, ответ связан со сравнительными энергиями атомов и света. Ученые начали понимать это после работ Альберта Эйнштейна и Нильса Бора, сделанных в первые два десятилетия ХХ в. Эйнштейн в 1905 г. впервые понял, что световой луч состоит из потока колоссального количества частиц, позднее названных фотонами. У фотонов нет ни массы, ни электрического заряда, но каждый фотон обладает определенной энергией, величина которой обратно пропорциональна длине волны света. В 1913 г. Бор предположил, что атомы и молекулы могут существовать только в определенных состояниях, т. е. стабильных конфигурациях, обладающих определенной энергией. Хотя атомы часто сравнивают с миниатюрными Солнечными системами, все же существует принципиальное различие. Любой планете Солнечной системы можно придать чуть больше или чуть меньше энергии, просто подвинув ее чуть дальше от Солнца или, наоборот, придвинув к нему. Но состояния атома дискретны — мы не можем изменять энергии атомов иначе, как на определенную конечную величину. Обычно атом или молекула находятся в состоянии с наименьшей энергией. Но, поглощая свет, они перескакивают из состояния с наименьшей энергией в одно из состояний с большей энергией (при испускании света происходит обратный процесс). Если объединить идеи Эйнштейна и Бора, то получается, что свет может поглощаться атомом или молекулой, только если длина волны света принимает определенное значение. Эти определенные длины волн отвечают таким энергиям фотонов, которые как раз равны разности энергий между начальным состоянием атома или молекулы и одним из состояний с большей энергией. В противном случае при поглощении фотона атомом или молекулой не сохранялась бы энергия. Типичные соединения меди имеют зелено-синий цвет, потому что существует определенное состояние атома меди, обладающее энергией, на два электрон-вольта2) большей, чем энергия нормального состояния атома. Поэтому атом особенно 2) Мы будем использовать общепринятую единицу измерения энергии электронвольт (эВ). Такую энергию получает электрон, если его проталкивает по проводу батарейка напряжением 1 В. 23 легко перепрыгивает в состояние с большей энергией, поглотив фотон с энергией 2 эВ. Длина волны такого фотона равна 0,62 мкм, что соответствует красно-оранжевому цвету, так что после поглощения этого фотона оставшийся отраженный свет имеет зелено-синий оттенок12. (Приведенное рассуждение — не просто крайне сложный способ объяснить то, что мы и так знаем про зелено-синий цвет соединений меди; подобная структура энергетических состояний атомов меди проявляется и тогда, когда они получают извне энергию другими способами, например, от пучка электронов.) Мел имеет белый цвет потому что у молекул, из которых он состоит, оказывается, нет таких уровней энергии, куда можно легко перепрыгнуть, поглощая фотоны любого цвета из видимого света. Почему? Почему атомы и молекулы существуют только в дискретных состояниях, обладающих определенной энергией? Почему эти энергии такие, а не другие? Почему свет состоит из отдельных частиц, энергия которых обратно пропорциональна длине волны света? И почему атомы или молекулы особенно легко перепрыгивают в определенные состояния, поглощая фотоны? Все эти свойства света, атомов и молекул было невозможно понять вплоть до середины 1920-х гг., когда был развит новый подход в физике, известный как квантовая механика. В рамках квантовой механики частицы в атоме или молекуле описываются так называемой волновой функцией. Эта функция ведет себя в чем-то похоже на волну света или звука, но ее значение (точнее, значение ее квадрата) определяет вероятность обнаружения частицы в любом данном месте. Точно так же, как воздух в органной трубе может колебаться только в определенных модах, каждая из которых имеет свою длину волны, так и волновая функция частицы в атоме или молекуле может существовать только в определенных модах или квантовых состояниях, каждое из которых имеет свою определенную энергию. Когда уравнения квантовой механики применили для рассмотрения атома меди, обнаружилось, что один из электронов на далекой внешней орбите этого атома слабо связан и в результате поглощения видимого света может быть легко переброшен на следующую более высокую орбиту. Квантовомеханические вычисления показали, что энергии атома в этих двух состояниях отличаются на два электрон-вольта, что как раз равно энергии фотона красно-оранжевого света3). С другой стороны, у молекул карбоната кальция в куске мела нет подобных слабосвязанных электронов, которые могли бы поглотить фотоны какой-нибудь длины волны. Что же касается фотонов, то их свойства объясняются применением принципов квантовой механики к самому свету. Оказывается, что свет, как и атомы, может существовать только в определенных квантовых состояниях с определенной энергией. Например, красно-оранжевый свет длиной волны 0,62 мкм может существовать только в состояниях с энергиями, равными нулю или 2, 4, 6 и т. д. эВ, которые мы интерпретируем как состояния без фотонов или содержащие один, два, три и т.д. фотонов, энергия каждого из которых равна 2 эВ. Почему? Почему уравнения квантовой механики, определяющие поведение частиц в атомах, таковы, каковы они есть? Почему вещество состоит из этих частиц, электронов и атомных ядер? Почему в этом веществе возникает излучение света? Большая часть этих вопросов была довольно загадочной и в 1920-е, и в 1930-е гг., когда квантовая механика была впервые применена для описания атомов и света. Достаточное понимание пришло лишь около пятнадцати лет тому назад4) в связи с успешным развитием так называемой стандартной модели элементарных частиц и сил. Ключевым предварительным условием этого нового понимания было объединение в 1940-х гг. квантовой механики с другой революционной теорией в физике ХХ в. — эйнштейновской теорией относительности. Принципы теории относительности и квантовой механики почти несовместимы друг с другом и могут сосуществовать лишь в рамках очень узкого класса теорий. В рамках нерелятивистской квантовой механики 1920-х гг. можно было вообразить почти любой характер сил, действующих между электронами и ядрами, но в релятивистской теории, как мы увидим, это не так: силы, действующие между частицами, могут возникать только за счет обмена другими частицами. Более того, вообще все частицы представляют собой сгустки энергии или кванты полей разного сорта. Поле, например электрическое или магнитное, есть некий вид напряжения в пространстве, напоминающий разные виды напряжений, возможные в твердом теле, с той разницей, что поле есть напряжение самого пространства. Каждому сорту элементарных частиц соответствует свой тип поля: в рамках стандартной модели имеется электронное поле, квантами которого являются электроны; электромагнитное поле (состоящее из электрического и магнитного полей), квантами которого являются фотоны; однако не существует поля, соответствующего атомным ядрам или частицам (протонам и нейтронам), из которых ядра составлены, но есть поля разных типов частиц, называемых кварками, из которых состоят протоны и нейтроны; есть и еще несколько полей, на которых мы сейчас останавливаться не будем. Уравнения полевой теории типа стандартной модели описывают поведение не частиц, а полей; частицы возникают как проявления этих полей. Обычная материя состоит из электронов, протонов и нейтронов просто по той причине, что все другие массивные частицы чудовищно нестабильны. Считается, что стандартная модель что-то объясняет не потому, что она представляет собой набор каких-то собранных в кучу обрывков,работающих по неизвестным причинам. На самом деле структура стандартной модели в значительной степени фиксируется начальным выбором набора полей, входящих в теорию, и общими принципами (вроде принципов теории относительности и квантовой механики), которые управляют взаимодействием этих полей. Почему? Почему мир состоит только из этих полей, а именно полей кварков, электронов, фотонов и т.п.? Почему их свойства такие, как предполагается в стандартной модели? И почему именно для этой материи природа подчиняется принципам теории относительности и квантовой механики? К сожалению, ответов на эти вопросы пока нет. Комментируя современное положение дел в физике, теоретик из Принстона Дэвид Гросс перечисляет открытые вопросы: «Теперь, когда мы понимаем, как все это работает, мы начинаем спрашивать себя, а почему существуют именно кварки и лептоны, почему структура материи повторяется в трех поколениях кварков и лептонов, почему все силы обязаны своим происхождением локальным калибровочным симметриям? Почему, почему, почему?» Именно надежда когда-нибудь найти ответ на эти вопросы и делает занятие физикой элементарных частиц столь увлекательным.

	Фрагмент 2
	Похожую цепочку «почему?» можно выстроить для любого физического свойства куска мела — для его хрупкости, плотности, сопротивления электрическому току. Но попробуем проникнуть в лабиринт объяснений через другой вход, рассматривая химию мела. Как говорил Хаксли, мел главным образом состоит из карбоната кальция. Хотя Хаксли этого прямо и не утверждал, он, вероятно, знал, что это химическое соединение состоит из элементов кальция, углеро- 28 да и кислорода в совершенно определенных весовых пропорциях, соответственно, 40, 12 и 48%. Почему? Почему мы обнаруживаем, что кальций, углерод и кислород образуют именно это химическое соединение только в таких пропорциях, и не существует других соединений, содержащих такие же элементы во многих других возможных пропорциях? Ответ был найден химиками XIX в. с помощью атомной теории, причем до того, как были получены прямые экспериментальные свидетельства существования атомов. Веса атомов кальция, углерода и кислорода относятся как 40 : 12 : 16, а молекула карбоната кальция состоит из одного атома кальция, одного атома углерода и трех атомов кислорода, так что отношение весов этих элементов в карбонате кальция как раз равно 40 : 12 : 48. Почему? Почему атомы разных элементов имеют те значения веса, которые мы наблюдаем, и почему молекулы состоят из совершенно определенного количества атомов каждого сорта? Уже в XIX в. знали, что число атомов каждого сорта в молекулах, подобных карбонату кальция, определяется числом электрических зарядов, которым обмениваются друг с другом атомы в молекуле. В 1897 г. Дж. Дж. Томсон обнаружил, что носителями этих электрических зарядов являются отрицательно заряженные частицы, названные электронами. Эти частицы много легче, чем атомы в целом, и именно они перемещаются по проводам в обычных электрических цепях, когда течет ток. Элементы отличаются друг от друга числом электронов в атоме: один у водорода, шесть у углерода, восемь у кислорода, двадцать у кальция и т. д. Когда к атомам, из которых состоит мел, применили законы квантовой механики19, то выяснилось, что атомы кальция и углерода охотно отдают, соответственно, два и четыре электрона, а атом кислорода легко подхватывает два электрона. Таким образом, три атома кислорода в каждой молекуле карбоната кальция могут подхватить шесть электронов, предоставляемых одним атомом кальция и одним атомом углерода; баланс сходится. Электрические силы, порождаемые этим обменом электронов, и удерживают молекулу от развала на составные части. А что можно сказать об атомных весах? После работ Резерфорда в 1911 г. мы знаем, что почти вся масса атома содержится в маленьком положительно заряженном ядре, вокруг которого обращаются электроны. После некоторых затруднений, к 1930 г. физики поняли, что атомное ядро состоит из двух сортов частиц, имеющих почти одинаковые массы, а именно из протонов с положительным электрическим зарядом, равным по величине отрицательному заряду электрона, и нейтронов, не имеющих заряда. Ядро атома водорода состоит из одного протона. Число протонов должно всегда равняться числу электронов20, чтобы атом оставался нейтральным, а нейтроны нужны потому, что сильное притяжение между ними и протонами существенно для удержания ядра от развала. Нейтроны и протоны весят 29 почти одинаково, а вес электронов много меньше, так что с хорошей точностью можно считать, что вес всего атома просто пропорционален полному числу протонов и нейтронов в его ядре: один (протон) у водорода, двенадцать у углерода, шестнадцать у кислорода и сорок у кальция. Эти цифры соответствуют атомным весам, которые были известны, но не имели объяснения во времена Хаксли. Почему? Почему существуют протон и нейтрон, заряженная и нейтральная частицы почти одинаковой массы и много тяжелее электрона? Почему они притягиваются друг к другу с такой силой, что им удается образовать атомные ядра, в сотни тысяч раз меньшие по размерам, чем сами атомы? Объяснение всему этому вновь содержится в сегодняшней стандартной модели элементарных частиц. Легчайшие кварки имеют названия и и d (от слов up и down), их заряды равны +2/3 и -1/3 (в единицах, где заряд электрона принят равным -1); протоны состоят из двух u-кварков и одного d-кварка и поэтому имеют заряд 2/3 + 2/3 -1/3=1; нейтроны состоят из одного u-кварка и двух d-кварков, так что их заряд равен 2/3 — 1/3 — 1/3 = 0. Массы протона и нейтрона почти равны, так как они порождаются главным образом большими силами, удерживающими кварки вместе, а эти силы одинаковы для и- и d-кварков. Электрон много легче, так как он не испытывает воздействия этих сил. Все кварки и электроны являются сгустками энергии различных полей и их свойства вытекают из свойств соответствующих полей. Итак, мы опять столкнулись со стандартной моделью. На самом деле любые вопросы о физических или химических свойствах карбоната кальция сходятся через цепочку «почему?» к одной общей точке: к современной квантово-механической теории элементарных частиц, т. е. к стандартной модели. Но физика и химия — очень легкие предметы. Что, если взять что-нибудь позаковыристей, например биологию?

Теперь попробую перенести это в математику. На другом форуме мне привели такую цепочку:

Почему теорема Ферма верна?
Это следует из гипотезы Шимуры-Таниямы.
Почему эта гипотеза верна?
Это следует из системы аксиом Цермело–Френкеля.

И мои примеры, намного более примитивные:

Почему простых чисел бесконечно много? Потому что если бы их было конечное количество, получилось бы противоречие: сосчитали всего n простых чисел, и можно добавить ещё одно, получается n=n+1 – логическое противоречие.

Почему корень из двух – число иррациональное? Потому что его нельзя представить в виде дроби с целыми коэффициентами. Почему нельзя представить? Потому что если бы была такая дробь sqrt(2)=m/n, то получилось бы m^2=2*n^2 -> в правой части чётное число множителей-двоек, во второй нечётное – логическое противоречие.

Правила логики – это аподиктическая очевидность. По-моему, если строить такие цепочки в математике, обязательно придёшь к какой-то аподиктической очевидности, или аксиомам.
Мне кажется, если собрать много таких цепочек в математике, можно прийти к каким-то выводам.

Наука есть — математическая логика, там есть раздел с логикой времени

https://ru.wikipedia.org/wiki/Темпоральная_логика

Здравствуйте, Khimik, Вы писали:

K>Я слышал, что обещана премия Филдса за введение в математику понятия “время”. Нагуглить это не удалось. Предлагаю порассуждать на данную тему.

для начала бы неплохо выяснить что такое вообще время — хотя бы для человека, например когда он бодрствует (время идёт медленно) или спит (время пролетает незаметно) ..

вот например (из популярного),

По словам Абросимовой, ей казалось, что она провела в коме всего два дня. Артистка удивилась, когда узнала, что прошло больше месяца.

https://www.fontanka.ru/2021/08/09/70069091/

читал также про "афганца" (русский боец времён Афганской) которого снайпер подстрелил и он через три недели очнулся в больнице — по его словам вышел он отлить, тут бац темнота — открывает глаза, а он уже в больнице (по его словам — по его ощущениям, прошла секунда или несколько за это время)

грубо говоря — при бодрствовании сама интенсивность времени (т.е. восприятий в которых мы пребываем), служит нам точкой отсчёта ..

интересно бы, выяснить физические причины этого — но для этого надо как то исследовать душёнку человека, что пока что проблематично ..

ну а дальше — совсем чертовщина в виде Апорий Зенона (напр., "Ахиллес и черепаха") .. тут без детального исследования и постижения (если оно вообще возможно) выше обозначенных (ранее) вопросов — думая что ковырять бесполезно ..

wikipedia -> Апории Зенона -> Ахиллес и черепаха -> Современная трактовка
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%97%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0#%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0

но возможно ИИ смог бы переварить как то не перевариваемое принципиально человеком — и построить некую годную модель, да ещё и отвечающую (и предсказывающую) экспериментам ..

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>По словам Абросимовой, ей казалось, что она провела в коме всего два дня. Артистка удивилась, когда узнала, что прошло больше месяца.
xma>читал также про "афганца" (русский боец времён Афганской) которого снайпер подстрелил и он через три недели очнулся в больнице — по его словам вышел он отлить, тут бац темнота — открывает глаза, а он уже в больнице (по его словам — по его ощущениям, прошла секунда или несколько за это время)

ТС путает физику с математикой, а ты биологию (физиологию) с физикой.

Здравствуйте, Khimik, Вы писали:

K>Теперь попробую перенести это в математику.
K>Правила логики – это аподиктическая очевидность.

Логик разных уже много придумали, и можно всегда еще добавить. Хотя некоторые из них действительно кажутся натуральными, естественными, без красителей и консервантов.

K> По-моему, если строить такие цепочки в математике, обязательно придёшь к какой-то аподиктической очевидности, или аксиомам.
K>Мне кажется, если собрать много таких цепочек в математике, можно прийти к каким-то выводам.

Так этим математики как раз давно уже занимались. Того же Гильберта взять с его программой. И к выводам пришли.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>ну а дальше — совсем чертовщина в виде Апорий Зенона (напр., "Ахиллес и черепаха") .. тут без детального исследования и постижения (если оно вообще возможно) выше обозначенных (ранее) вопросов — думая что ковырять бесполезно ..

Блин, апории Зенона — это уже давно решённые проблемы. Он не обладал необходимым математическим аппаратом, но потом придумали теорию пределом и Ахиллес сразу же обогнал черепаху.

Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:

N>Блин, апории Зенона — это уже давно решённые проблемы. Он не обладал необходимым математическим аппаратом, но потом придумали теорию пределом и Ахиллес сразу же обогнал черепаху.

хоть бы почитали по ссылке (ранее приведённой), прежде чем вываливать сюда своё "невежество" (ну или неосведомлённость)

Современная трактовка :

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени. Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают.

Ричард Фейнман заявил:

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля, — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».

Адекватность аналитической теории движения :

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физики удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV — бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу — инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются). Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел.

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>хоть бы почитали по ссылке (ранее приведённой), прежде чем вываливать сюда своё "невежество" (ну или неосведомлённость)
Набредологить можно хоть сколько. "Парадокс" Зенона решается двумя путями:
1. Или пространство фундаментально дискретно, и тогда бесконечное деление невозможно, так что весь парадокс исчезает.
2. Если пространство бесконечно делимо, то для работы с бесконечностью нужен соответствующий мат. аппарат — теория пределов. А там всё нормально, так как нужные ряды все сходятся.

Причём нужный мат. аппарат даже доказуемо полностью внутренне непротиворечив в качестве бонуса. Так что даже рассуждения о неполноте и потенциальной противоречивости идут лесом.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>2. Если пространство бесконечно делимо,

это вряд ли — я бы даже сказал что невозможно

C>то для работы с бесконечностью нужен соответствующий мат. аппарат — теория пределов. А там всё нормально, так как нужные ряды все сходятся.

При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу — инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога.

при бесконечной делимости — пространства и времени, Ахилл никогда не догонит черепаху .. почитай внимательно сам парадокс "Ахилл и Черепаха" ..

Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Здесь и в следующей апории предполагается, что пространство и время не имеют предела делимости.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>

xma>При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу — инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога.

"Инструментальный исследовательский приём" — это такой способ показаться умным, набирая подряд слова, без всякого смысла, да?

Теория пределов — это просто цепочка логических выводов для того, чтобы вообще уметь рассуждать о том, что произойдёт после бесконечного числа шагов. Иначе как можно сказать, что Ахилес черепаху не догонит?

xma>

xma>Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Автор разве самолично провёл эксперимент, где он отмерил бесконечное число делений? Так почему вообще тогда он может что-то утверждать?

Это доводы вида: "Ну эта... мамой клянусь!"

Если же автор удосужится подумать, о том, что всё же такое "продолжаться до бесконечности", то получится теория пределов.

xma>

xma>Здесь и в следующей апории предполагается, что пространство и время не имеют предела делимости.

Втопку всех этих недофелософов. От их идиотизма один вред.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>

парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Никогда не понимал этого парадокса. Что сложного в том, чтобы представить себе бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, которая завершается к некому моменту? Складывается впечатление, что у кого-то слишком слабые возможности представления.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

C>>2. Если пространство бесконечно делимо,
xma>это вряд ли — я бы даже сказал что невозможно

Почему?
Мне кажется наоборот, без непрерывности и бесконечной делимости пространства сложно обеспечить симметрии вращения (и как следствие сохранение углового момента) и нормальную геометрию в целом.

Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:

DM>Здравствуйте, xma, Вы писали:

C>>>2. Если пространство бесконечно делимо,
xma>>это вряд ли — я бы даже сказал что невозможно

DM>Почему?
DM>Мне кажется наоборот, без непрерывности и бесконечной делимости пространства сложно обеспечить симметрии вращения (и как следствие сохранение углового момента) и нормальную геометрию в целом.

Если пространство-время не квантуется, то на абсолютно точное описание сколь угодно малого объекта требуется бесконечно много информации. Как-то не получатся в это поверить. Должно быть наоборот — пространство-время квантуется и соответственно если вселенная конечна, то для её абсолютно точного описания достаточно конечного количества информации.

K>Интуитивно кажется, что число 1000 более “позднее”, чем число 1.



Что-что? Твоя интуиция явно отличается от моей )

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C> Если же автор удосужится подумать, о том, что всё же такое "продолжаться до бесконечности", то получится теория пределов.
ЕМНИП в теории пределов никакого "продолжаться до бесконечности" формально не требуется. Там просто говорится, что для любого ε существует δ и всё сводится к простым логическим и арифметическим операциям без всяких бесконечностей. А символ ∞ используется просто как сокращённая запись для длинного символического выражения.
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Limits_at_infinity

Здравствуйте, ·, Вы писали:

C>> Если же автор удосужится подумать, о том, что всё же такое "продолжаться до бесконечности", то получится теория пределов.
·>ЕМНИП в теории пределов никакого "продолжаться до бесконечности" формально не требуется.
От теории пределов нужно понимание того, что сумма бесконечной последовательности — это предел частных сумм.

В этом случае всё доказывается вообще элементарно — достаточно предположить, что Ахилес не догонит черепаху. Тогда он будет на каком-то расстоянии delta > 0. Но это противоречит условиям — можно найти такой шаг, после которого Ахилес будет на расстоянии от черепахи менее, чем delta.

Здравствуйте, xma, Вы писали:

xma>

xma>Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.

Как раз теория пределов очень даже относится к реальному применению, если вспомнить ее исходные определения.

Для реального движения всегда есть вопрос погрешности. Когда ты для себя посчитаешь что Ахиллес и Черепаха в одной точке? Если расстояние между ними, скажем, доля микрона? В реальном применении всегда есть погрешность определения. Но у тебя большая точность, и для тебя они сливаются только если расстояние между ними 0.000000000001 микрона? Не проблема. То, что пределы движений равны одному числу как раз и значит, по определению, что какую-бы точность замера (т.е. погрешность эпсилон) ты ни взял, всегда найдется такое число N итераций, после которого положения Ахиллеса и Черепахи будут отличаться не более чем на выбранный тобой эпсилон.

Здравствуйте, Khimik, Вы писали:

K>Более конкретные рассуждения предполагают поиск ответов на вопрос “почему” в математике. В физике можно провести длинную цепочку рассуждений, почему такое-то явление является таким-то, и в итоге придём к стандартной модели и базовым концепциям в физике.

Ув. Khimik! Получил большое удовольствие от прочтения ваших рассуждений о механике математики как науки. Они очень близки к истине!

Теперь по вопросу о времени: имеется в виду относительное время, так ведь? Не "календарно-вселенское"? В любом случае начинать нужно с относительного времени, т.е. промежутков времени.

И вот что я думаю. Пространство где могло бы сушествовать такое время? Очень естественным выглядит пространство действительных чисел R.

Единица измерения? Позаимствуем из физики и системы Си, где принято оперировать секундами. Поэтому условимся что единица в нашей системе равна 1 секунде.

Могут ли быть отрицательные значения? Да! -2 означало бы относительное время "две секунды назад".

Может ли быть 0? Да. 0 означает "прямо сейчас", "моментально".

Есть ли разрывы в пространстве? Нет.

Имеет ли смысл бесконечность? Да. ∞ означало бы "бесконечно далеко в будущем", а -∞ "бесконечно далеко в прошлом".

Таким образом, мы с помощю простых рассуждений убедились что это действительно пространство действительных чисел R.

Как вам, нравится такое естественное построение?

Продолжу.

Применим наше пространство времени к интервальной арифметике:

интервал [0,∞) означал бы "начиная с текущего момента на бесконечно долгое время",
интервал (-∞,0) означал бы "с бесконечно давних времен вплоть до сейчас".

А вот интервал (-∞,∞) означал бы весь континум времени "от бесконечно далеко в прошлом до бесконечно далеко в будущем". Выглядит мощно, и это означает что мы на правильном пути (математическая интуиция!).

Но вот что интересно. В интервальной арифметике по принятым нынче привычкам испольуется только одна половинка пространства, т.е.:

интервал [-2,5] — правильный,
а вот интервал [5,-2] — считается как бы "неправильным", таким, какого не может существовать при нынешнем взгляде на веши.

Но! Предствавим что мы работаем со временем и тогда интервал [5,-2] означал бы вполне логичную вещь "с 5 секунды в будущем до -2 секунды в прошлом, вспять".

Т.е. теперь мы приблизились к понятию течения времени, которое может идти как обычно в привычном нам мире, а может идти назад (вспять). Понятие реверсного времени иногда используется в физике когда говорят о симметричных обратимых процессах взаимодействия.

"Течение времени" не очень локаничное сочетание слов, поэтому условимся называть это "стрелой времени" (стрелкой, arrow). Можем ли мы измерить стрелу времени? Попробуем.

Для интервала [a,b] мы могли бы утверждать что arrow = b — a, и это было бы похоже на правду. Но, есть две проблемы:

• Разность между границами интервала требует введения метрики пространства (что не всегда доступно; для времени, например, доступно потому что это в нашем случае R, но для других пространств — не всегда)
  
• Стрелки для интервалов, содержащих неинклюзивные границы вроде (a,b] были бы непредставимы существующими средствами математики

Поэтому давайте утверждать, что arrow = sgn(b — a). Т.е. arrow = 1 при a < b, 0 при а = b и -1 при а > b. Это не требует метрики, а только операции равенства и сравнения, которые и так используются интервалом.

Подитожим на примерах:

интервал [0,∞) имеет стрелу 1,
интервал (∞,0] имеет стрелу -1,
интервал (5,5] имеет стрелу 0.

Мы ввели время и полностью заиспользовали пространство, возникающее при работе с интервалами.

Стоит ли продолжать?

Здравствуйте, TMU_2, Вы писали:

K>>Интуитивно кажется, что число 1000 более “позднее”, чем число 1.



TMU>Что-что? Твоя интуиция явно отличается от моей )

Вот такие мы все разные — для него I позднее М, а для тебя разве XXI "раньше" XIX?