Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>·>Загибаемость тоже ни при чем. Суть в дифферцируемости кривой (ака свойство гладкости). Но это уже за пределами школьной программы. 3>·>Можно на пальцах объяснить, что многоугольник при стремлении к бесконечности в малом масштабе всё более становится похож на прямую линию (углы стремятся к 180°) и поэтому в малом масштабе можно считать длину кривой как длину прямой. А ломаный квадрат так и будет кривым и так считать уже нельзя. 3>Дифференцируемость имеет отношение к обсуждаемому вопросу. Точнее, к метрике, в смысле которой последовательность кривых сходится к предельной. Эта метрика должна учитывать не только расстояние между функциями, но и их производными. 3>Например. 3>Пусть С(n) — график функции f(n; x) = sin(n*x)/n на интервале [0, 2*pi]. Понятно, что при n стремящемся к бесконечности эти кривые становятся все более близки к отрезку прямой [0, 2*pi]. Чуть более сложно убедиться, что при этом длина C(n) не зависит от n и сильно больше 2*pi (нужно уметь минимально обращаться с интегралами). При этом для любого сколь угодно малого положительного х длина графиков функций sin(n*x)/n^(1+x) на том же интервале бyдет таки стремиться к 2*pi. А все дело в поведении производной рассматриваемых последовательностей функций. Выпуклые кривые по ряду свойств близки к дифференцируемым. Поэтому аппоксимировать длину окружности длиной выпуклых многогранников корректно, в вот невыпуклых — нет.
Выпуклось тоже тут ни при чём. Можно, например, синусоиду невыпуклой ломаной померить, даже незамкнутой.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·>Выпуклось тоже тут непричём. Можно, например, синусоиду невыпуклой ломаной померить, даже незамкнутой.
Можно. Но локально выпуклой. Просто выпуклой не получится потому что синусоида не является выпуклой. Прочем, про т.н. выпуклый анализ я уже почти все забыл.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Можно. Но локально выпуклой. Просто выпуклой не получится потому что синусоида не является выпуклой. Прочем, про т.н. выпуклый анализ я уже почти все забыл.
Да, похоже... Выпулкую окружность можно померить только выпуклой ломаной. Закон сохранения выпуклости
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
DM>·>Загибаемость тоже ни при чем. Суть в дифферцируемости кривой (ака свойство гладкости). Но это уже за пределами школьной программы. DM>·>Можно на пальцах объяснить, что многоугольник при стремлении к бесконечности в малом масштабе всё более становится похож на прямую линию (углы стремятся к 180°). А ломаный квадрат так и будет кривым. DM>C многоугольником в школе (или около) было простое очень соображение: берем описывающий окружность n-угольник, и другой вписанный в нее. Показываем, что у одного периметр всегда больше длины окружности, у второго всегда меньше. Считаем их периметры при устремлении n к бесконечности, они оба стремятся к одному значению, и тем самым длину окружности определяют. DM>С квадратами так не выйдет, вроде.
Дык в том-то и дело, что выйдет! Начинай со вписанного квадрата и ломай углы по тому же принципу.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ·, Вы писали:
DM>>·>Загибаемость тоже ни при чем. Суть в дифферцируемости кривой (ака свойство гладкости). Но это уже за пределами школьной программы. DM>>·>Можно на пальцах объяснить, что многоугольник при стремлении к бесконечности в малом масштабе всё более становится похож на прямую линию (углы стремятся к 180°). А ломаный квадрат так и будет кривым. DM>>C многоугольником в школе (или около) было простое очень соображение: берем описывающий окружность n-угольник, и другой вписанный в нее. Показываем, что у одного периметр всегда больше длины окружности, у второго всегда меньше. Считаем их периметры при устремлении n к бесконечности, они оба стремятся к одному значению, и тем самым длину окружности определяют. DM>>С квадратами так не выйдет, вроде. ·>Дык в том-то и дело, что выйдет! Начинай со вписанного квадрата и ломай углы по тому же принципу.
Ох, я тормоз! Внешний квадрат будет 4, а внутренний 2√2, т.е. значения не сойдутся же.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
>Сперва надо бы понять, останутся ли теми же синус и косинус. А до них — решить, как теперь углы меряем.
не надо никаких углов, синусов, окружностей и комплексных чисел: пи — это просто сумма ряда:
Здравствуйте, Вумудщзук, Вы писали:
>>Сперва надо бы понять, останутся ли теми же синус и косинус. А до них — решить, как теперь углы меряем. В>не надо никаких углов, синусов, окружностей и комплексных чисел: пи — это просто сумма ряда: В>4 * (1/1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — ...)
А почему не 2 * (1/1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — ...) ?
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·>·>Дык в том-то и дело, что выйдет! Начинай со вписанного квадрата и ломай углы по тому же принципу. ·>Ох, я тормоз! Внешний квадрат будет 4, а внутренний 2√2, т.е. значения не сойдутся же.
Не, все нормально. Внутренний можно наращивать, увеличивая при этом периметр:
К какой величине он сойдется? Может, и к 4.
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
DM>·>·>Дык в том-то и дело, что выйдет! Начинай со вписанного квадрата и ломай углы по тому же принципу. DM>·>Ох, я тормоз! Внешний квадрат будет 4, а внутренний 2√2, т.е. значения не сойдутся же. DM>Не, все нормально. Внутренний можно наращивать, увеличивая при этом периметр: DM>Image: grow-square.png DM>К какой величине он сойдется? Может, и к 4.
Я кажется понимаю откуда получается 4. Похоже, что такой способ вычисления даёт длину окружности в манхеттенской метрике.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·>Я кажется понимаю откуда получается 4. Похоже, что такой способ вычисления даёт длину окружности в манхеттенской метрике.
Похоже на то, при соответствующем определении длины кривой на плоскости с такой метрикой. Но стоило бы проверить.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, ·, Вы писали:
3>·>Я кажется понимаю откуда получается 4. Похоже, что такой способ вычисления даёт длину окружности в манхеттенской метрике.
3>Похоже на то, при соответствующем определении длины кривой на плоскости с такой метрикой. Но стоило бы проверить.
Лично мне кажется, что мы вообще не туда поплыли. Сравним два утверждения, пусть N- количество шагов загибания углов квадрата:
1. При N равном бесконечности все точки квадрата совпадут с окружностью.
2. При N стремящемся к бесконечности квадрат "стремится" к окружности.
Из первого чисто логически следует, что пи=4, а из второго ни чего еще собственно не следует. Нам достаточно будет доказать, что первое условие не выполняется.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Лично мне кажется, что мы вообще не туда поплыли.
Вы меня извините сударь, но то, что Вам кажется, никому не интересно. Просто в силу Вашего очевидного полного невежества в данной области. Простите за прямоту.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>Лично мне кажется, что мы вообще не туда поплыли.
3>Вы меня извините сударь, но то, что Вам кажется, никому не интересно. Просто в силу Вашего очевидного полного невежества в данной области. Простите за прямоту.
Ой прости великодушно за назойливость и не сочтите за труд разъяснить мне в чем заключается мое невежество в данной области, сударь. Если это Вас не затруднит, конечно.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>1. При N равном бесконечности все точки квадрата совпадут с окружностью.
N не может быть равно бесконечности, т.к. бесконечность не число. А для любого числа N ни квадрат, ни многоугольник не совпадёт с окружностью.
Q>2. При N стремящемся к бесконечности квадрат "стремится" к окружности.
Как и многоугольник. Притом "стремиться" не должно быть в кавычках. А именно стремится, по определению предела — для любого сколь угодно малой разницы окружности и ломаной найдётся такое число M, что для всех N>M оно будет не больше этой разницы.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>1. При N равном бесконечности все точки квадрата совпадут с окружностью. ·>N не может быть равно бесконечности, т.к. бесконечность не число. А для любого числа N ни квадрат, ни многоугольник не совпадёт с окружностью.
Значит оно не верно.
Q>>2. При N стремящемся к бесконечности квадрат "стремится" к окружности. ·>Как и многоугольник. Притом "стремиться" не должно быть в кавычках. А именно стремится, по определению предела — для любого сколь угодно малой разницы окружности и ломаной найдётся такое число M, что для всех N>M оно будет не больше этой разницы.
А из стремления к пределу еще ни чего не следует, если это только заранее не определено, как например для длинны кривых линий:
Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.
Отсюда:
Для загибаемого квадрата у нас нет ни какого определения. Вывод что пи=4 взят из воздуха.
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>>1. При N равном бесконечности все точки квадрата совпадут с окружностью. Q>·>N не может быть равно бесконечности, т.к. бесконечность не число. А для любого числа N ни квадрат, ни многоугольник не совпадёт с окружностью. Q>Значит оно не верно.
Правильно, твой пункт 1 бессмысленный, ничего не доказывает, ничего не опровергает.
Q>>>2. При N стремящемся к бесконечности квадрат "стремится" к окружности. Q>·>Как и многоугольник. Притом "стремиться" не должно быть в кавычках. А именно стремится, по определению предела — для любого сколь угодно малой разницы окружности и ломаной найдётся такое число M, что для всех N>M оно будет не больше этой разницы.
Q>А из стремления к пределу еще ни чего не следует, если это только заранее не определено, как например для длинны кривых линий:
Следует, т.к. точная грань.
Q>Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.
Q>Отсюда:
Q>Для загибаемого квадрата у нас нет ни какого определения. Вывод что пи=4 взят из воздуха.
Это тебе уже сказали, что ты не в тему отвечаешь. Пи=4 давно тут опровергли. Мы тут уже другой вопрос обсуждаем. Откуда взялось 4 и что оно значит. Моя гипотеза, что это длина кривой в Манхеттенской метрике.
Если смотреть приведённое тобой определение, то у нас случай, когда берётся не всё множество ломаных, а только такие, у которых соседние сегменты перпендикулярны.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·> Мы тут уже другой вопрос обсуждаем. Откуда взялось 4 и что оно значит.
Эээээ.... Что? 4 "взялось" из того, что взяли 4 отрезка по 1 и каждый такой отрезок разделили на множество мельких, а потом (не выкидывая никаких частей) посчитали их сумму. Согласитесь, что было бы странно, если бы сумма частей не равнялась целому.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>·> Мы тут уже другой вопрос обсуждаем. Откуда взялось 4 и что оно значит. BFE>Эээээ.... Что? 4 "взялось" из того, что взяли 4 отрезка по 1 и каждый такой отрезок разделили на множество мельких, а потом (не выкидывая никаких частей) посчитали их сумму. Согласитесь, что было бы странно, если бы сумма частей не равнялась целому.
Тоже тормозишь. А для вписанного ломаного квадрата
Здравствуйте, ·, Вы писали:
BFE>>·> Мы тут уже другой вопрос обсуждаем. Откуда взялось 4 и что оно значит. BFE>>Эээээ.... Что? 4 "взялось" из того, что взяли 4 отрезка по 1 и каждый такой отрезок разделили на множество мельких, а потом (не выкидывая никаких частей) посчитали их сумму. Согласитесь, что было бы странно, если бы сумма частей не равнялась целому. ·>Тоже тормозишь. А для вписанного ломаного квадрата
Периметер вписанного "ломаного квадрата" = (периметер внешнего "ломаного квадрата" — 2 * 4 * L)
Где L — расстояние от хорды до дуги. (При вписывании "ломаного квадрата" есть только 4 хорды). При росте числа шагов L стремится к нулю.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>>>·> Мы тут уже другой вопрос обсуждаем. Откуда взялось 4 и что оно значит. BFE>>>Эээээ.... Что? 4 "взялось" из того, что взяли 4 отрезка по 1 и каждый такой отрезок разделили на множество мельких, а потом (не выкидывая никаких частей) посчитали их сумму. Согласитесь, что было бы странно, если бы сумма частей не равнялась целому. BFE>·>Тоже тормозишь. А для вписанного ломаного квадрата
? BFE>Периметер вписанного "ломаного квадрата" = (периметер внешнего "ломаного квадрата" — 2 * 4 * L) BFE>Где L — расстояние от хорды до дуги. (При вписывании "ломаного квадрата" есть только 4 хорды). При росте числа шагов L стремится к нулю.
Ты опять тормозишь. Мы это уже всё обсудили.
Т.е. что для пределы и для вписанного, и для описанного ломаных квадратов стремятся к 4.
А если вместо квадратов взять правильные многоугольники как в школе
