, то они будут стремиться к Пи. ·>Магия? Почему от выбора формы ломаной зависит результат? Какой имеет смысл результат 4?
Почему магия-то? Вот мы приписываем некоторое число к кривой. Способов приписать число к кривой можно придумать множество. Так же можно придумывать несколько способов приписать число к прямым отрезкам. Обычно делают так: берут отрезок единичной длины и считают, сколько раз он уложится внутри измеряемого отрезка. Результат называю длиной. Но ведь так делать не обязательно. Можно сделать так же, как предлагается с окружностью в первом посте ветки: сказать, что длина отрезка равна периметру квадрата, где отрезок служит диагональю. Получится, что длина единичного отрезка равна 4. Ну какой смысл такого результата?
·>Потому что многоугольники дают длину кривой в евклидовой метрике, а квадраты — в манхэттенской.
Ну да. Думаю, что можно подобрать метрику так, что длина окружнасти будет бесконечной. И что?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, ·, Вы писали:
3>·>Я кажется понимаю откуда получается 4. Похоже, что такой способ вычисления даёт длину окружности в манхеттенской метрике.
3>Похоже на то, при соответствующем определении длины кривой на плоскости с такой метрикой. Но стоило бы проверить.
Ага. В манхэттенской метрике для кривой dL = |dx| + |dy| = |d(r*cos(a)| + |d(r*sin(a)| (в полярных координатах r = r(a)). Для окружности единичной длины dL = (|sin(a)| + |cos(a)|)da. Интегрируя по [0, 2*pi], получаем 8, т.е. 'рi' == 4.
Здравствуйте, Александр Кузнецов, Вы писали: АК>Даже в нашей вселенной — легко. Просто нужна неевклидова геометрия. Т.е., если пространство искривлено и, например, сферично. АК>Тогда если мы будем оперировать окружностями радиусом, сопоставимым с радиусом искривлённого пространства, то значение PI будет отлично от 3.1415926...
АК>Грубо, если взять за такое пространство замкнутую сферу размером с Землю, а потом попробовать построить окружность радиусом 20000 км, то её длина будет... 40000 км. И число PI, формально определяемое как "математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру", будет равно 1.
Боюсь, в искривленном пространстве искривлен не только радиус, но и сама окружность. А так как наблюдатели находятся внутри этого пространства, а не снаружи, но с их точки зрения искривления и изменения размеров не наблюдается от слова совсем.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
L>>>Возсожно ли существование вселенных с других значением числа PI? C>>То есть? Математически — нет. Так как математика от вселенной не зависит.
BFE>Если математика не зависит от вселенной, то почему математика применима для моделирования физики?
Математика строится на языке логики. А логика это производная от человеческого мышления и наблюдаемых нами законов мироздания. "Вещь в себе".
Ты не можешь создать логику, не опираясь на принципы работы человеческого мышления, не опираясь на наблюдаемые свойства мира.
Поэтому математика очень даже зависит от вселенной.
Представь мир, где при сложении двух идентичных объектов мы получаем один. Такой мир вполне возможен теоретически, как минимум в варианте виртуального (синтетического) мира.
А теперь представь законы логики, которыми будут оперировать разумные существа внутри этого мира.
Подобный мысленный эксперимент давно предложен философами как иллюстрация того, что наша математика и логика являются следствием нашего мира, и могут быть истинными только для того подмножества вселенных, в которых базовые законы логики идентичны нашим.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ага. В манхэттенской метрике для кривой dL = |dx| + |dy| = |d(r*cos(a)| + |d(r*sin(a)| (в полярных координатах r = r(a)). Для окружности единичной длины dL = (|sin(a)| + |cos(a)|)da. Интегрируя по [0, 2*pi], получаем 8, т.е. 'рi' == 4.
3>Ага. В манхэттенской метрике для кривой dL = |dx| + |dy| = |d(r*cos(a)| + |d(r*sin(a)| (в полярных координатах r = r(a)). Для окружности единичной длины dL = (|sin(a)| + |cos(a)|)da. Интегрируя по [0, 2*pi], получаем 8, т.е. 'рi' == 4.
Имхо достаточно очевидно из геометрических соображений. Сумма всех dx для половины окружности даст сторону описанного квадрата. Из соображений симметрии для длины кривой получаем его периметр.
Здравствуйте, andyp, Вы писали:
3>>Ага. В манхэттенской метрике для кривой dL = |dx| + |dy| = |d(r*cos(a)| + |d(r*sin(a)| (в полярных координатах r = r(a)). Для окружности единичной длины dL = (|sin(a)| + |cos(a)|)da. Интегрируя по [0, 2*pi], получаем 8, т.е. 'рi' == 4.
A>Имхо достаточно очевидно из геометрических соображений. Сумма всех dx для половины окружности даст сторону описанного квадрата. Из соображений симметрии для длины кривой получаем его периметр.
А каким образом эти геометрические соображение учитывают тот факт, что речь идет именно об окружности?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
A>>Имхо достаточно очевидно из геометрических соображений. Сумма всех dx для половины окружности даст сторону описанного квадрата. Из соображений симметрии для длины кривой получаем его периметр.
3>А каким образом эти геометрические соображение учитывают тот факт, что речь идет именно об окружности?
Только таким,что для окружности длина не будет зависеть от выбора направления координатных осей. Я лишь показал, как можно прийти к тому же результату без явного интегрирования.
Здравствуйте, andyp, Вы писали:
A>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
A>>>Имхо достаточно очевидно из геометрических соображений. Сумма всех dx для половины окружности даст сторону описанного квадрата. Из соображений симметрии для длины кривой получаем его периметр.
3>>А каким образом эти геометрические соображение учитывают тот факт, что речь идет именно об окружности?
A>Только таким,что для окружности длина не будет зависеть от выбора направления координатных осей. Я лишь показал, как можно прийти к тому же результату без явного интегрирования.
Вообще-то это довольно странно. Забавно, но длина "окружности" единичного радиуса в манхэттенской метрике — тоже 8 (в смысле той же метрики), хотя она вроде как вписана в евклидову окружность.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Вообще-то это довольно странно. Забавно, но длина "окружности" единичного радиуса в манхэттенской метрике — тоже 8 (в смысле той же метрики), хотя она вроде как вписана в евклидову окружность.
Точно вписана в евклидову. Для первой четверти: x, y >0:
Обе вписаны в квадрат со сторонами вдоль осей, определяющий их манхеттенскую длину. Определяет длину потому что производная в каждой четверти не меняет знак имхо.
Здравствуйте, andyp, Вы писали:
A>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Вообще-то это довольно странно. Забавно, но длина "окружности" единичного радиуса в манхэттенской метрике — тоже 8 (в смысле той же метрики), хотя она вроде как вписана в евклидову окружность.
A>Точно вписана в евклидову. Для первой четверти: x, y >0:
A>Манхеттенская окружность: A>y_m = 1 — x;
A>Евклидова: A>y_e^2 = 1 — x^2; y_e = sqrt((1-x)(1+x)) >= 1-x = y_m
A>Обе вписаны в квадрат со сторонами вдоль осей, определяющий их манхеттенскую длину. Определяет длину потому что производная в каждой четверти не меняет знак имхо.
Да я о другом. Получается, что в этой метрике длина дуги и стягивающей ее хорды одинаковы. Не каждой хорды конечно, но все равно забавно.
Здравствуйте, sharpcoder, Вы писали:
s> Поэтому математика очень даже зависит от вселенной.
Не зависит. Это просто абстрактные правила игры, вселенная им не нужна.
"Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями."
s> Представь мир, где при сложении двух идентичных объектов мы получаем один. Такой мир вполне возможен теоретически, как минимум в варианте виртуального (синтетического) мира.
И что? Ну будет какая-то другая аксиоматика, термины, теоремы. А сама структура не изменится.
Ведь тебе ничто не мешает построить такой виртуальный мир — придумывай правила, законы. Да и просто теоретически рассуждать о таких мирах — ничего сложного. Математика столько всего может насочинять... Тут проблема в другом — как из того что насочиняла математика выбрать то, что работает в нашем мире.
Здравствуйте, ·, Вы писали:
·>Ведь тебе ничто не мешает построить такой виртуальный мир — придумывай правила, законы. Да и просто теоретически рассуждать о таких мирах — ничего сложного. Математика столько всего может насочинять... Тут проблема в другом — как из того что насочиняла математика выбрать то, что работает в нашем мире.
Понятие вычислимости выглядит так, что его объехать не получится.
Т.е. ввести математику, где 1+1 = 1 — мы можем; а вот ввести такую математику, где проблема останова разрешима — нет, не можем.
Применимость к "нашему миру" — это уже физика, а не математика. Математика прекрасно сработает и в мире, где скорость света бесконечна, и где постоянная тонкой структуры в 100 раз больше; и где гравитация сильнее электростатики.
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Здравствуйте, anonymouse2, Вы писали:
A>Мы живем во Вселенной, кривизна пространства которой доподлинно неизвестна. Может быть, в нашей Вселенной физическое соотношение диаметра и длины окружности и не равно числу Пи. Может быть, оно даже переменное. Точнее, физически это соотношение совершенно точно переменное, и вблизи массивных объектов оно другое. A>Но это не отменяет математической абстракции числа Пи как таковой. A>Как я понимаю — вопрос топикстартера именно про математическую абстракцию. И это действительно очень интересно.
Эта математическая абстракция взялась из начертательной геометрии и соответственно отражает свойства пространства. То есть не такая уж она на самом деле математическая.
За чисто математическими абстракциями — это, пожалуй, в теорию чисел. Может ли существовать вселенная, в которой теорема Ферма неверна?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Здравствуйте, kgd, Вы писали:
kgd>>да и прямые углы вместо наклонных линий очевидно никогда не приблизятся к самой линии.
BFE>Как это не приблизятся? Для любого сколь угодно малого конечного числа найдётся такое n, что максимальное ближайшее расстояние от точки ломаной до окружности будет меньше этого заданного конечного числа. Т.е. при росте числа шагов точки ломанной будут лежать всё ближе и ближе к окружности, а значит ломанная приблизится к кривой.
Всё ещё хуже.
Возьмём единичный отрезок.
Построим "вокруг" него вот такую ломаную:
У нас опять получился отрезок длиной 1, и ломаная длиной 2. Максимальное расстояние от прямой — sqrt(3)/8.
Продолжая этот процесс, мы получаем всё более близкие "аппроксимаци" отрезка. Для любого эпсилон мы легко подберём количество итераций такое, что самые дальние точки ломаной будут ближе эпсилон.
При этом её длина продолжает оставаться равной 2. АААА! Длина единичного отрезка равна двум!
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Здравствуйте, lamai, Вы писали:
L>Возсожно ли существование вселенных с других значением числа PI?
Сама принципиальная возможность существования других вселённых — лишь гипотеза, которая никогда не будет доказана или опровергнута. Поэтому и рассуждения о возможности или невозможности каких-то конкретных вселённых не могут иметь серьёзных оснований. Игрушка для фантазии, не более того.
Здравствуйте, Sealcon190, Вы писали:
S> Эта математическая абстракция взялась из начертательной геометрии и соответственно отражает свойства пространства. То есть не такая уж она на самом деле математическая.
Евклидова пространства же — т.е. просто набор неких аксиом.
Но это совсем не то реальное физическое пространство. Вначале мы жили на плоской Земле, потом вдруг выяснилось что поверхность у нас кривая и даже углы треугольников какие попало могут быть... А потом ещё Эйнштейн пришел и всё совсем завернул. Но на значение Пи это никак не повлияло.
S> За чисто математическими абстракциями — это, пожалуй, в теорию чисел. Может ли существовать вселенная, в которой теорема Ферма неверна?
Арифметика нисколько не математичнее геометрии.
